第4課時(shí)基本不等式[考試要求]1．了解基本不等式的推導(dǎo)過程.2．會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題.3．理解基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用．1．基本不等式：ab(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0．(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．(3)其中，a+b2叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab叫做正數(shù)a2．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，則(1)x＋y≥2xy，若xy等于定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2p(簡(jiǎn)記：積定和最小)．(2)xy≤x+y22，若x＋y等于定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，提醒：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”．[常用結(jié)論]幾個(gè)重要的不等式1一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)不等式a2＋b2≥2ab與a+b2(2)若a>0，則a3＋1a2的最小值為2a．(3)函數(shù)f(x)＝sinx＋4sinx，x∈(0，π)的最小值為4．(4)“x＞0且y＞0”是“xy+yx≥2[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊(cè)P45例2改編)設(shè)x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則xy的最大值為()A．80 B．77C．81 D．82C[xy≤x+y22＝81，當(dāng)且僅當(dāng)2．(人教A版必修第一冊(cè)P48習(xí)題2.2T1(1)改編)已知x>2，則x＋1x?2A．1 B．2C．22 D．4D[∵x>2，∴x＋1x?2＝x－2＋1x?2＋2≥2x?2·1x?2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x3．(多選)(人教A版必修第一冊(cè)P46練習(xí)T2改編)若a，b∈R，則下列不等式成立的是()A．ba+ab≥2 C．a(chǎn)2+b2BC[當(dāng)ba<0時(shí)，A不成立；當(dāng)ab<0時(shí)，D不成立．4．(人教A版必修第一冊(cè)P46例3(2)改編)一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m，當(dāng)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為________m，寬為________m時(shí)，菜園面積最大．15152[設(shè)矩形的長(zhǎng)為xm，寬為ym，則x＋2y＝30(0＜x≤18)，所以S＝xy＝12x·2y≤12x+2y22考點(diǎn)一利用基本不等式求最值配湊法[典例1](1)(2024·河北衡水模擬)若x<23，則函數(shù)f(x)＝3x＋1＋9A．最大值0 B．最小值9C．最大值－3 D．最小值－3(2)函數(shù)y＝x2+2(1)C(2)23＋2[(1)因?yàn)閤<23，故3x－2<0，f(x)＝3x＋1＋93x?2＝3x－2＋93x?2＋3＝－?3x?2+當(dāng)且僅當(dāng)－(3x－2)＝9?3x?2，即x＝－(2)因?yàn)閤>1，所以x－1>0，則y＝x2+＝x?1＝(x－1)＋3x?1＋2≥23＋當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝3x?1即x＝3＋1時(shí)，取等號(hào)．]常數(shù)代換法[典例2]已知x，y都是正數(shù)，且x＋y＝1，則1x+493[由x＞0，y＞0，x＋y＝1，得1x+4y＝(x＋y)1x+4y＝5＋4xy+yx≥5＋24xy·yx＝9，當(dāng)且僅當(dāng)4x2＝y(tǒng)2，即x＝13，y＝23時(shí)，等號(hào)成立，所以1x+4y的最小值為9．1x+xy＝x+yx+x消元法[典例3]已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．6[法一(換元消元法)：由已知得x＋3y＝9－xy，∵x>0，y>0，∴x＋3y≥23xy，∴3xy≤x+當(dāng)且僅當(dāng)x＝3y，即x＝3，y＝1時(shí)取等號(hào)，∴x＋3y＋13即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，則t>0且t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y的最小值為6.法二(代入消元法)：由x＋3y＋xy＝9，得x＝9?3y1∴x＋3y＝9?3y1+y＋3＝9+3＝3(1＋y)＋121+y－6≥＝12－6＝6，當(dāng)且僅當(dāng)3(1＋y)＝121+y，即x∴x＋3y的最小值為6．]【教師備選資源】若x＞0，y＞0且x＋y＝xy，則xx?13＋22[因?yàn)閤＞0，y＞0且x＋y＝xy，則xy＝x＋y＞y，即有x＞1，同理y＞1，由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，于是得xx?1+2yy?1＝1＋1x?1＋2＋2＝3＋22，當(dāng)且僅當(dāng)1x?1＝2即x＝1＋22，y＝1＋2時(shí)取“＝”所以xx?1+2y1．利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，常用手段有添加項(xiàng)、拆項(xiàng)、調(diào)整參數(shù)、分離參數(shù)等．2．常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求ax+by的最值”的問題，先將ax3．當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值．4．構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對(duì)和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(多選)(2024·河北滄州模擬)下列函數(shù)中，函數(shù)的最小值為4的是()A．y＝x(4－x)B．y＝xC．y＝1x+1D．y＝x(2)(2024·重慶巴蜀中學(xué)模擬)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，則2x＋y的最小值是()A．4 B．5C．7 D．9(3)若實(shí)數(shù)x>1，y>12且x＋2y＝3，則1(1)CD(2)C(3)4[(1)y＝x(4－x)≤x+4?x22＝4，A錯(cuò)誤；y＝x2+9∵x(1－x)≤x+1?x2∴y＝1x+1當(dāng)且僅當(dāng)x＝1－x，即x＝12y＝x+4x＝x+4x(2)因?yàn)閤y＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y，即x＝2y+2+故2x＋y＝4＋4y+1＋y＋1－1≥4＋24y+1·y+(3)令x－1＝m，2y－1＝n，則m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，∴1x?1+12y?1＝1m+1＝2＋nm+當(dāng)且僅當(dāng)nm＝mn，即m＝n＝12，x＝32，y＝34∴1x?1+考點(diǎn)二基本不等式的常見變形應(yīng)用[典例4](多選)(2023·廣東汕頭三模)若a＞0，b＞0，a＋b＝4，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的a，b恒成立的是()A．a(chǎn)b≤2 B．a(chǎn)+bC．a(chǎn)23＋b2≥4 D．1ACD[對(duì)于A，a＞0，b＞0，a＋b≥2ab，即ab≤a+b2對(duì)于B，a＞0，b＞0，(a+b)2＝a＋b＋2ab＝4＋2ab≤4＋2又a+b＞0，則a+b≤22，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于C，a＋b＝4，b＝4－a＞0，所以0＜a＜4，則a23＋b2＝a23＋(4－a)2＝4a23－8a＋16＝43(對(duì)于D，a＞0，b＞0，a＋b＝4，所以a+則1a+1b＝1a當(dāng)且僅當(dāng)ba＝ab，即a＝故選ACD.]基本不等式的常見變形(1)ab≤a+b22≤a2+b(2)21a+1b[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)(多選)(2022·新高考Ⅱ卷)若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－xy＝1，則()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1(2)當(dāng)12＜x＜52時(shí)，函數(shù)y＝(1)BC(2)22[(1)由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤x+即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－3x+y∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A錯(cuò)誤，B正確；由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤x2∴x2＋y2≤2，故C正確，對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)x＝33，y＝－33時(shí)，滿足題設(shè)條件，但x2＋y2＝(2)由a+b2≤a2+b則y＝2x?1+5?2x≤22x?1+當(dāng)且僅當(dāng)2x?1＝5?2x，即x＝32【教師備選資源】(2024·佛山模擬)若m>n>1，a＝lnm·lnn，b＝12(lnm＋lnnA．a(chǎn)<b<c B．c<a<bC．b<a<c D．a(chǎn)<c<bA[∵m>n>1，∴l(xiāng)nm>lnn>0，∴12(lnm＋lnn)>lnm·lnn，∴b>a，∵m+n2>mn，∴l(xiāng)nm+n2>lnmn＝12ln(mn)＝12(lnm＋lnn考點(diǎn)三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用[典例5](2024·山東威海期末)某水產(chǎn)公司擬在養(yǎng)殖室修建三個(gè)形狀、大小完全相同的長(zhǎng)方體育苗池，其平面圖如圖所示．每個(gè)育苗池的底面面積為200m2，深度為2米，育苗池的四周均設(shè)計(jì)為2米寬的甬路．設(shè)育苗池底面的一條邊長(zhǎng)為xm(10≤x≤20)，甬路的面積為Sm2.(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知育苗池四壁的造價(jià)為200元/平方米，池底的造價(jià)為600元/平方米，甬路的造價(jià)為100元/平方米，若不考慮其他費(fèi)用，求x為何值時(shí)，總造價(jià)最低，并求最低造價(jià)．[解](1)由題意可得每個(gè)育苗池底面的另一邊長(zhǎng)為200x則S＝(x＋4)3×200x+2×4－600＝8x＋2400x＋32，10≤(2)設(shè)總造價(jià)為w元，則w＝200×26x+1200x＋600×3＝2400x＋480000x＋360000＋800x＋240000＝3200x＋720000x＋363200，10≤x≤其中3200x＋720000x≥23200x當(dāng)且僅當(dāng)3200x＝720000x，即x＝15∈[10，20]時(shí)，等號(hào)成立，故w＝3200x＋720000x＋363200所以當(dāng)x＝15m時(shí)，總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為459200元．利用基本不等式解決實(shí)際問題的注意點(diǎn)(1)設(shè)變量時(shí)，一般把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)．(2)解題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義對(duì)變量取值范圍的影響．(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解，如利用f(x)＝x＋ax(a(4)在實(shí)際問題中利用基本不等式求最值，必須指明等號(hào)成立的條件．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)單位時(shí)間內(nèi)通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”，“道路容量”與道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件相關(guān)．假設(shè)某條道路1h通過的車輛數(shù)N滿足關(guān)系N＝1000v0.7v+0.3v2+d0，其中d0(單位：m)為安全距離，A．135B．149C．165D．195(2)(2023·浙江溫州三模)某公司計(jì)劃租地建倉庫，已知每月土地費(fèi)用與倉庫到車站的距離成反比，每月貨物的運(yùn)輸費(fèi)用與倉庫到車站的距離成正比．經(jīng)測(cè)算，若在距離車站10km處建倉庫，則每月的土地費(fèi)用與運(yùn)輸費(fèi)用分別為2萬元和8萬元．要使每月的兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫和車站的距離應(yīng)為()A．4km B．5kmC．6km D．7km(1)B(2)B[(1)由題意得，N＝1000v0.7v+0.3v2+30＝10000.7+0.3v+30v≤10000.7+20.3(2)設(shè)倉庫到車站距離為x，每月土地費(fèi)用為y1，每月貨物的運(yùn)輸費(fèi)用為y2，由題意可設(shè)y1＝k1x，y2＝k2把x＝10，y1＝2與x＝10，y2＝8分別代入上式得k1＝20，k2＝45，所以y1＝20x，y2＝4費(fèi)用之和y＝y(tǒng)1＋y2＝20x+45x當(dāng)且僅當(dāng)20x＝45x，即所以當(dāng)倉庫建在離車站5km處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小．故選B.]【教師備選資源】1．如果一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于22，則當(dāng)這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)取最大值時(shí)，其面積為()A．2 B．1C．2 D．6C[設(shè)該直角三角形的斜邊為c＝22，直角邊為a，b，則a2＋b2＝c2＝8，因?yàn)?ab≤a2＋b2，所以a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，且a2＋b2＝8，即a＝b＝2時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)閍>0，b>0，所以a＋b≤4，所以a＋b的最大值為4，這個(gè)直角三角形周長(zhǎng)取最大值4＋22時(shí)，a＝b＝2，此時(shí)三角形的面積為12×2×2＝2.故2．某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是________．30[由題意得，一年購買600x次，則總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為6·600x＋4x＝4900x+x≥8900x·課時(shí)分層作業(yè)(四)基本不等式一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·山東濟(jì)南模擬)已知4a2＋b2＝6，則ab的最大值為()A．34 B．3C．52 B[由題意得，6＝4a2＋b2＝(2a)2＋b2≥2·2a·b，即ab≤32當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b，即a＝32，b＝3或a＝－32，b＝－所以ab的最大值為322．(2024·山西晉中期中)已知0<x<2，則y＝2x4?xA．2 B．4C．5 D．6B[因?yàn)?<x<2，所以y＝2x4?x2＝2x24?當(dāng)且僅當(dāng)x2＝4－x2時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?<x<2，解得x＝2.故選B.]3．(2024·哈師大附中模擬)若正數(shù)x，y滿足x＋6y＝3，則3yxA．4 B．98C．23 D．2A[∵x，y為正數(shù)，x＋6y＝3，∴3yx+1y＝3yx+x+6y3y＝3yx4．下列函數(shù)中，函數(shù)的最小值為2的是()A．y＝x＋2B．y＝xC．y＝ex＋e－xD．y＝log3x＋logx3(0<x<1)C[當(dāng)x＜0時(shí)，選項(xiàng)A不符合；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，log3x＜0，logx3＜0，選項(xiàng)D不符合；因?yàn)閥＝x2+3x2+2＝1x2+2+x2+2＞2，故選項(xiàng)B不符合．因?yàn)閑x＞0，e－x＞0，所以y5．(2024·河南名校聯(lián)考期中)現(xiàn)設(shè)計(jì)一個(gè)兩鄰邊長(zhǎng)度分別為a，b的矩形廣告牌，其面積為S，且S＝a－b＋5，則當(dāng)該廣告牌的周長(zhǎng)l最小時(shí)，S＝()A．3 B．4C．5 D．6A[由題意知a>0，b>0，且ab＝a－b＋5，所以b＝a+5a+1，則該廣告牌的周長(zhǎng)l＝2(a＋b)＝2a+a+5a+1＝2a+1+4a+1故選A.]6．原油作為“工業(yè)血液”“黑色黃金”，其價(jià)格的波動(dòng)牽動(dòng)著整個(gè)化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟(jì)．小李在某段時(shí)間內(nèi)共加油兩次，這段時(shí)間燃油價(jià)格有升有降，現(xiàn)小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說法正確的是()A．第一種方案更劃算B．第二種方案更劃算C．兩種方案一樣D．無法確定B[設(shè)小李這兩次加油的油價(jià)分別為x元/升、y元/升(x≠y)，則方案一：兩次加油平均價(jià)格為40x+40y80＝x方案二：兩次加油平均價(jià)格為400200x+200y＝2xy二、多項(xiàng)選擇題7．下列說法正確的有()A．若x<12，則2x＋1B．若x>－2，則x+6C．若x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最大值是2D．若x<1，則x2ABD[對(duì)于A，因?yàn)閤<12，所以2x－1<0，1－2x>0，所以2x＋12x?1＝(2x－1)＋12x?1＋1＝－1?2x+11?2x＋1≤－21?2x·對(duì)于B，因?yàn)閤>－2，所以x＋2>0，所以x+6x+2＝x+2+4x+2對(duì)于C，因?yàn)閤>0，y>0，所以x·2y≤x+2y22，即2xy≤x+2y24，因?yàn)閤＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤x+2y24，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x對(duì)于D，x2?x+9x?1＝x?12+x?1+9x?1＝－1?x8．(2024·河南信陽模擬)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＝3，則()A．xy≤98 B．4x＋2y≥4C．x2＋y24≤9ABD[因?yàn)?x＋y＝3，且x，y均為正實(shí)數(shù)，所以由基本不等式得2x＋y＝3≥22xy，即xy≤98，4x＋2y≥24x×2y＝222x+由不等式a2+b22≥a+b2，得4x2+y22≥2x+y因?yàn)?x＋y＝3，所以xy+1x＝xy+13x(2x＋y)＝23+三、填空題9．已知a＞0，b>0，且ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍為________；a＋b的取值范圍是________．[9，＋∞)[6，＋∞)[因?yàn)閍＞0，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)，等號(hào)成立，所以ab的取值范圍是[9，＋∞)．因?yàn)閍＞0，b>0，所以a＋b＋3＝ab≤a+變形，得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)，即a＋b的取值范圍是[6，＋∞)．]10．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則x2＋y2的最小值為________；若1x+4y≥12(－∞，9][因?yàn)閤＋y＝1，所以xy≤x+y所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－14×2＝12，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝12時(shí)取等號(hào)，即x2＋y2的最小值若a≤1x+4y恒成立，則因?yàn)?x+4y＝1x+4y(x＋y)＝5＋yx+4xy≥5＋2yx·4xy＝9，當(dāng)且僅當(dāng)2故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，9].]四、解答題11．某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙(記為矩形ABCD，如圖)上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄(欄面分別為一個(gè)等腰三角形和兩個(gè)全等的直角梯形)，宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1440cm2．為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2cm.當(dāng)直角梯形的高為多少時(shí)，用紙量最少(即矩形ABCD的面積最小)?[解]設(shè)直角梯形的高為xcm，∵宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1440cm2，且海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2cm，∴海報(bào)寬AD＝(x＋4)cm，海報(bào)長(zhǎng)DC＝1440x故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)1440x+8＝8x＋5760x＋1472≥2當(dāng)且僅當(dāng)8x＝5760x，即x＝125∴當(dāng)直角梯形的高為125cm時(shí)，用紙量最少．12．甲、乙兩地相距1000km，貨車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過80km/h，已知貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(單