備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第六篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題05函數(shù)與不等式相結(jié)合類型對應(yīng)典例不等式證明典例1構(gòu)造函數(shù)證明不等式典例2有關(guān)雙變量的證明典例3函數(shù)與數(shù)列結(jié)合的證明典例4【典例1】【廣東省2019年汕頭市普通高考第一次模擬考試】已知．（1）設(shè)是的極值點，求實數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間：（2）時，求證：．【典例2】【陜西省渭南市2019屆高三二?！恳阎瘮?shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．【典例3】【湖南省益陽市桃江縣第一中學2019屆高三5月模擬考試】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求函數(shù)的解析式，并證明：.（2）已知，且函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，兩點，且線段的中點為，證明：.【典例4】【安徽省合肥市2019屆高三第二次教學質(zhì)量檢測】已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.【針對訓練】1.【安徽省定遠中學2020屆高三月考】已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當時，.2.【山東省棲霞二中2020屆高三月考】已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，，且，證明：（為自然對數(shù)）.3.【廣西南寧市第三中學2020屆月考】已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：.4.【湖南省懷化市2019屆高三3月第一次模擬考試】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，證明：.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第六篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題05函數(shù)與不等式相結(jié)合類型對應(yīng)典例不等式證明典例1構(gòu)造函數(shù)證明不等式典例2有關(guān)雙變量的證明典例3函數(shù)與數(shù)列結(jié)合的證明典例4【典例1】【廣東省2019年汕頭市普通高考第一次模擬考試】已知．（1）設(shè)是的極值點，求實數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間：（2）時，求證：．【思路引導(dǎo)】（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由是函數(shù)的極值點，解得，又由，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1），進而得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，令，利用導(dǎo)數(shù)求得在上的單調(diào)性，即可作出證明.【詳解】（1）由題意，函數(shù)的定義域為，又由，且是函數(shù)的極值點，所以，解得，又時，在上，是增函數(shù)，且，所以，得，，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知因為，在上，是增函數(shù)，又（且當自變量逐漸趨向于時，趨向于），所以，，使得，所以，即，在上，，函數(shù)是減函數(shù)，在上，，函數(shù)是增函數(shù)，所以，當時，取得極小值，也是最小值，所以，令，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即成立，【典例2】【陜西省渭南市2019屆高三二?！恳阎瘮?shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．【思路引導(dǎo)】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值；(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明，即證,令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】(Ⅰ)的定義域為且令，得；令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為，無極小值(Ⅱ)，，即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且，則要證，即證，即證，即證即證由于，即，即證令則恒成立在遞增在恒成立【典例3】【湖南省益陽市桃江縣第一中學2019屆高三5月模擬考試】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求函數(shù)的解析式，并證明：.（2）已知，且函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，兩點，且線段的中點為，證明：.【思路引導(dǎo)】（1）利用切線方程可求得的解析式，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，從而證得結(jié)論；（2）通過分析法可知要證成立只需證；令，即證：；令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可知，得到成立；令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可知，得到成立，可知需證的不等式成立，則原不等式成立.【詳解】（1）由題意得：，即又，即，則，解得：則.令，令，解得：則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則：（2）要證成立，只需證：即證，即：只需證：設(shè)，即證：要證，只需證：令，則在上為增函數(shù)，即成立；要證，只需證明：令，則在上為減函數(shù)，即成立，成立成立【典例4】【安徽省合肥市2019屆高三第二次教學質(zhì)量檢測】已知函數(shù)是減函數(shù).（1）試確定a的值；（2）已知數(shù)列，求證：.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）求導(dǎo)得，由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，令其最大值小于等于0，即可求出；（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當時，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而，兩邊取對數(shù)，然后再證明恒成立即可，構(gòu)造函數(shù)，，通過求導(dǎo)證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）的定義域為，.由是減函數(shù)得，對任意的，都有恒成立.設(shè).∵，由知，∴當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在時取得最大值.又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為.∴，解得.（Ⅱ）由是減函數(shù)，且可得，當時，，∴，即.兩邊同除以得，，即.從而，所以①.下面證；記，.∴，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，而，∴當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即時，，∴當時，.∵，∴當時，，即②.綜上①②可得，.【針對訓練】1.【安徽省定遠中學2020屆高三月考】已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當時，.【思路引導(dǎo)】（1）先求導(dǎo)數(shù)，可得減區(qū)間，可得增區(qū)間；（2）不等式的證明轉(zhuǎn)化為最值的求解即可.解：（1）當時，，所以，討論：①當時，，有；②當時，由函數(shù)為增函數(shù)，有，有；③當時，由函數(shù)為增函數(shù)，有，有.綜上，函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為.證明：（2）當時，有，所以，所以.令，則.令，有.令，得.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以.所以分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為,所以,故當時，.2.【山東省棲霞二中2020屆高三月考】已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個不同的極值點，記作，，且，證明：（為自然對數(shù)）.【思路引導(dǎo)】（1）由題意可知，函數(shù)的定義域為，，因為函數(shù)在為增函數(shù)，所以在上恒成立，等價于，由此可求的取值范圍；（2）求出，因為有兩極值點，所以，設(shè)令，則，上式等價于要證，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證出即可．詳解：（1）由題意可知，函數(shù)的定義域為，，因為函數(shù)在為增函數(shù)，所以在上恒成立，等價于在上恒成立，即，因為，所以，故的取值范圍為.（2）可知，所以，因為有兩極值點，所以，欲證，等價于要證：，即，所以，因為，所以原式等價于要證明：，①由，可得，則有，②由①②原式等價于要證明：，即證，令，則，上式等價于要證，令，則因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，因此當時，，即.所以原不等式成立，即.3.【廣西南寧市第三中學2020屆月考】已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：.【思路引導(dǎo)】（1）由題意可得，利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）原問題等價于成立.令，則，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值可得，又由（1）可得在，據(jù)此可得題中的不等式成立.試題解析：（1）由題意可得，令，得.當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）要證成立，只需證成立.令，則，令，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又由（1）可得在上，所以，所以不等式得證.4.【湖南省懷化市2019屆高三3月第一次模擬考試】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)，證明：.【思路引導(dǎo)】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，分類討論和兩種情況，即可得出結(jié)果；（2）分類參數(shù)的方法，將化為，再由導(dǎo)數(shù)的方法求在的最小值即可；（3）先由（1）令可知對任意實數(shù)都有，即，再令，即可證明結(jié)論成立.