數(shù)學建模講義微分方程模型-------多種群增長模型生物多種群增長模型

4.1正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)

4.2微分方程解析解

4.3微分方程數(shù)值解

4.4微分方程穩(wěn)定性

4.5捕食系統(tǒng)的Volterra方程

4.1正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)

戰(zhàn)爭分類：正規(guī)戰(zhàn)爭，游擊戰(zhàn)爭，混合戰(zhàn)爭只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)

第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預測戰(zhàn)役結(jié)局的模型.一般模型

每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力

每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比

甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型正規(guī)戰(zhàn)爭模型

甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊作戰(zhàn)

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=

ay,a~乙方每個士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率0正規(guī)戰(zhàn)爭模型為判斷戰(zhàn)爭的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系平方律模型乙方勝游擊戰(zhàn)爭模型雙方都用游擊部隊作戰(zhàn)

甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=

cxy,c~乙方每個士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動面積sry~乙方射擊有效面積0游擊戰(zhàn)爭模型線性律模型0混合戰(zhàn)爭模型甲方為游擊部隊，乙方為正規(guī)部隊乙方必須10倍于甲方的兵力設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)4.2微分方程的解析解

求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…‘方程n’,‘初始條件’,‘自變量’)

結(jié)果：u=tg(t-c)

解

:輸入命令:

y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')結(jié)果為:y=3e-2xsin（5x）解輸入命令：

[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；

x=simple(x)%將x化簡

y=simple(y)z=simple(z)結(jié)果為：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t

y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t

微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義

在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復雜且大多得不出一般解。而在實際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個點上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計算的表達式。因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。（二）建立數(shù)值解法的一些途徑1、用差商代替導數(shù)

若步長h較小，則有故有公式：此即歐拉法。2、使用數(shù)值積分對方程y’=f(x,y),兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：實際應(yīng)用時，與歐拉公式結(jié)合使用：此即改進的歐拉法。故有公式：3、使用泰勒公式以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫塔法、線性多步法等方法。4、數(shù)值公式的精度

當一個數(shù)值公式的截斷誤差可表示為O（hk+1）時（k為正整數(shù)，h為步長），稱它是一個k階公式。k越大，則數(shù)值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進的歐拉法是二階公式。龍格-庫塔法有二階公式和四階公式。線性多步法有四階阿達姆斯外插公式和內(nèi)插公式。（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運用組合的4/5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時設(shè)定相對誤差10-3,絕對誤差10-6),命令為：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差.

1、在解n個未知函數(shù)的方程組時，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成.

2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組.注意:解:令y1=x，y2=y1’1、建立m-文件vdp1000.m如下：

functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

2、取t0=0，tf=3000，輸入命令：

[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-')3、結(jié)果如圖解

1、建立m-文件rigid.m如下：

functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令：

[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、結(jié)果如圖圖中，y1的圖形為實線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.4.4穩(wěn)定性問題

在研究許多實際問題時，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢。例如，在研究某頻危種群時，雖然我們也想了解它當前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問題。要解決這類問題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個與穩(wěn)定性有關(guān)的問題。一般的微分方程或微分方程組可以寫成：定義稱微分方程或微分方程組為自治系統(tǒng)或動力系統(tǒng)。（3.28）

若方程或方程組f(x)=0有解xo，x=xo顯然滿足（3.28）。稱點xo為微分方程或微分方程組（3.28)的平衡點或奇點。例7Logistic模型

共有兩個平衡點：N=0和N=K，分別對應(yīng)微分方程的兩兩個特殊解。前者為No=0時的解而后者為No=K時的解。

當No<K時，積分曲線N=N(t)位于N=K的下方；當No>K時，則位于N=K的上方。從圖3-17中不難看出，若No>0，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說明，平衡點N=0和N=K有著極大的區(qū)別。圖3-17

定義1:自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,…,xn）為坐標的空間Rn。特別,當n=2時，稱相空間為相平面?？臻gRn的點集:{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)滿足(3.28),i=1,…,n}稱為系統(tǒng)的軌線,所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。定義2設(shè)x0是（3.28）的平衡點，稱：

（1）x0是穩(wěn)定的，如果對于任意的ε>0，存在一個δ>0，只要|x(0)-x0|<δ，就有|x(t)-x0|<ε對所有的t都成立。（2）x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且。

微分方程平衡點的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過解析方法來討論，所用工具為以下一些定理。（3）x0是不穩(wěn)定的，如果（1）不成立。根據(jù)這一定義，Logistic方程的平衡點N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點N=0則是不穩(wěn)定的。3.4捕食系統(tǒng)的Volterra方程

問題背景：

意大利生物學家D’Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中他無意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚，如鯊魚、鰩魚等我們稱之為捕食者（或食肉魚）的一些不是很理想的魚類占總漁獲量的百分比。在1914~1923年期間，意大利阜姆港收購的魚中食肉魚所占的比例有明顯的增加：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.7

他知道，捕獲的各種魚的比例近似地反映了地中海里各種魚類的比例。戰(zhàn)爭期間捕魚量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會導致鯊魚、鰩魚等食肉魚比例的上升，即對捕食者有利而不是對食餌有利呢？他百思不得其解，無法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當時著名的意大利數(shù)學家V.Volterra，希望他能建立一個數(shù)學模型研究這一問題。Volterra將魚劃分為兩類。一類為食用魚（食餌），數(shù)量記為x1(t)，另一類為食肉魚（捕食者），數(shù)量記為x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。1、模型建立

大海中有食用魚生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚獨立生存將按增長率為r1的指數(shù)律增長（Malthus模型），既設(shè)：

由于捕食者的存在，食用魚數(shù)量因而減少，設(shè)減少的速率與兩者數(shù)量的乘積成正比（競爭項的統(tǒng)計籌算律），即：對于食餌（Prey）系統(tǒng)：λ1反映了捕食者掠取食餌的能力對于捕食者（Predator）系統(tǒng)：捕食者設(shè)其離開食餌獨立存在時的死亡率為r2，即：但食餌提供了食物，使生命得以延續(xù)。這一結(jié)果也要通過競爭來實現(xiàn)，再次利用統(tǒng)計籌算律，得到：綜合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程）的方程組：（3.31）方程組（3.31）反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的相互制約關(guān)系。下面我們來分析該方程組。2、模型分析

方程組（3.31）是非線性的，不易直接求解。容易看出，該方程組共有兩個平衡點，即：Po(0,0)是平凡平衡點且明顯是不穩(wěn)定，沒必要研究和解釋D’Ancona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象

引入捕撈能力系數(shù)ε，（0<ε<1），ε表示單位時間內(nèi)捕撈起來的魚占總量的百分比。故Volterra方程應(yīng)為：平衡點P的位置移動到了：由于捕撈能力系數(shù)ε的引入，食用魚的平均量有了增加，而食肉魚的平均量卻有所下降，ε越大，平衡點的移動也越大。食用魚的數(shù)量反而因捕撈它而增加，真的是這樣？！P-P模型導出的結(jié)果雖非絕對直理，但在一定程度上是附合客觀實際的，有著廣泛的應(yīng)用前景。例如，當農(nóng)作物發(fā)生病蟲害時，不要隨隨便便地使用殺蟲劑，因為殺蟲劑在殺死害蟲的同時也可能殺死這些害蟲的天敵，（害