數(shù)值積分近似計(jì)算8.1插值型求積公式思路利用插值多項(xiàng)式

則積分易算。

在[a,b]上取a

x0<x1<…<xn

b，做f的

n

次插值多項(xiàng)式，即得到Ak由決定，與無關(guān)。節(jié)點(diǎn)f(x)插值型積分公式誤差8.2復(fù)化求積公式如果積分區(qū)間比較大，直接地使用上述求積公式，精度難以保證。高次插值有Runge現(xiàn)象，故采用分段低次插值

分段低次合成的Newton-Cotes

復(fù)合求積公式。（1）等分求積區(qū)間，比如取步長，分[a,b]為n等分，分點(diǎn)為

k=0,1,2,…,n（2）在區(qū)間

[xk,xk+1]上使用以上求積公式求得Ik（3）取和值，作為整個(gè)區(qū)間上的積分近似值。

復(fù)化梯形公式：在每個(gè)上用梯形公式：=

Tn/*積分中值定理*/

復(fù)化Simpson公式：44444=

Sn例8.1：利用數(shù)據(jù)表

xk01/81/43/81/25/83/47/81f(xk)43.938463.764703.506853.200002.876402.460002.265492計(jì)算積分這個(gè)問題有明顯的答案取n=8用復(fù)化梯形公式取n=4,用辛卜生公式8.3變步長梯形方法8.4求積公式的誤差當(dāng)時(shí)，不考慮舍入誤差，求積公式是精確成立的。舍入誤差：

取f(x)

1，則若f(xk)的舍入誤差小于

，則1．梯形公式的截?cái)嗾`差2．辛卜生公式的截?cái)嗾`差8.5龍貝格求積公式龍貝格積分法是在計(jì)算梯形和序列的基礎(chǔ)上應(yīng)用了線性外推的加速方法，由此構(gòu)成的一種具有超線性收斂的自動(dòng)積分法方法思路:1.按照區(qū)間逐次分半的方法，計(jì)算梯形和序列由此生成序列T0,T1,…,Tn,…當(dāng)時(shí)，就可以結(jié)束計(jì)算。oh2TSnITTn+1Tnh2設(shè)Tn為梯形和，I為積分真值，由復(fù)化梯形公式

f(x)2.加速由解析幾何

令h=0，則此直線在T軸上的截距為由，得：用類似方法可推得：

柯特斯序列龍貝格序列由此法，可得如下三角形數(shù)表梯形辛卜生柯特斯龍貝格T0T3T2T1S0

S2S1

C0

C1

D0計(jì)算方法的實(shí)現(xiàn)：首先構(gòu)造T數(shù)表：計(jì)算步驟：1．取，計(jì)算2．對(duì)k=1,2,…計(jì)算下列各步3．對(duì)n=0,1,2,…,k=n–1,n–2,…4．收斂控制若或則輸出積分值，否則轉(zhuǎn)3。

8.6

高斯型求積公式問題：在節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)一定的情況下，是否可以在[a,b]上自由選擇節(jié)點(diǎn)的位置，使求積公式的精度提得更高？代數(shù)精確度：稱：

為一般求積公式。這里Ak為不依賴f(x)的常數(shù)若（8.9）對(duì)任意不高于m次的多項(xiàng)式精確成立，而對(duì)于xm+1不能精確成立，就說（8.9）式具有m次代數(shù)精確度。（8.9）例

8.2：求形如

的兩點(diǎn)求積公式。（1）用梯形公式（即以x0=-1，x1=1為節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式）立即可得一次代數(shù)精確度。

（2）若對(duì)求積公式中的四個(gè)待定系數(shù)A0,A1,x0,x1適當(dāng)選取，使求積公式對(duì)f(x)=1，x，x2，x3都準(zhǔn)確成立oxyabABf(x)求積公式的代數(shù)精確度不僅與積分節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而且與這些這點(diǎn)的所在位置有關(guān)。適當(dāng)調(diào)整這些點(diǎn)的分布和求積系數(shù)，能使求積公式達(dá)到最高的代數(shù)精確度。引入權(quán)函數(shù)以后，考慮積分假定采取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式系數(shù)Ai(i==0,1,2,…,n)不依賴于f(x)，但與權(quán)函數(shù)

(x)有關(guān)，可以適當(dāng)?shù)剡x取n個(gè)節(jié)點(diǎn)，和相應(yīng)的n個(gè)系數(shù)A0,A1,A2,…,An，使得積分公式具有最大的代數(shù)精確度

首先考慮對(duì)于固定的n值，公式最大可以達(dá)到多少次代數(shù)精確度？設(shè)對(duì)所有的m次多項(xiàng)式(m待定)是準(zhǔn)確的。于是有令并重新組合上式右端各項(xiàng)，得由于系數(shù)am,am-1,…,a0的任意性，使上式成立的充要條件是：定理：插值型求積公式中，節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,2,…,n)是高斯點(diǎn)的充分必要條件是：在區(qū)間[a,b]上，以這些點(diǎn)為零點(diǎn)的n+1次多項(xiàng)式與所有次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式P(x)都正交，即高斯型求積公式的特點(diǎn)：（1）代數(shù)精確度達(dá)到2n–1；（2）節(jié)點(diǎn)是

[a,b]上的

n+1次正交多項(xiàng)式的n+1個(gè)零點(diǎn)。

高斯型求積公式的構(gòu)造

根據(jù)以上定理，構(gòu)造高斯型求積公式的方法就是去找[a,b]上的n+1次多項(xiàng)式，再把它的n+1個(gè)零點(diǎn)求出來，由于正交多項(xiàng)式具有性質(zhì)；在[a,b]上的n+1次多項(xiàng)式一定有n+1個(gè)不同零點(diǎn)，且全部位于[a,b]內(nèi)，所以只要將此n+1個(gè)零點(diǎn)作為n+1次插值多項(xiàng)式的節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造出的插值多項(xiàng)式即為高斯型求積公式。不失一般性，假定積分區(qū)間為（-1,1），因?yàn)榭偪梢岳米儞Q

將區(qū)間（a,b）變成（-1,1）而積分變?yōu)椋?.高斯-勒讓德(Gauss-Legendre)求積公式在高斯型求積公式中，若取權(quán)

，區(qū)間為[-1,1]，相對(duì)應(yīng)的正交多項(xiàng)式為勒讓德多項(xiàng)式

，則此時(shí)的高斯型求積公式稱為高斯-勒讓德求積公式，例8.3：運(yùn)用高斯――勒讓德公式計(jì)算積分解：兩點(diǎn)勒讓德公式兩點(diǎn)梯形公式三點(diǎn)勒讓德公式：三點(diǎn)辛卜生公式：2.高斯-切比雪夫（Gaoss-Chebyshev）求積公式若取權(quán)函數(shù)

，區(qū)間為[-1,1]，則相應(yīng)的正交多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式

，稱此時(shí)的高斯型求積公式為高斯-切比雪夫求積公式，其形式為例8.5求兩點(diǎn)（n=1）高斯切比雪夫求積公式解：由xi，Ai

的定義有