第3課時圓的方程[考試要求]1.理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題．考點(diǎn)一圓的方程1．圓的定義及方程定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圓心-D半徑1提醒：當(dāng)D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一個點(diǎn)-D2，-E2；當(dāng)D2＋E2－4F＜0時，方程x2＋y2＋Dx2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圓心為A(a，b)，半徑為r，圓A的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則點(diǎn)M與圓A的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點(diǎn)M(x0，y0)在圓A內(nèi)|MA|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；x02+y02＋Dx0＋點(diǎn)M(x0，y0)在圓A上|MA|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；x02+y02＋Dx0＋點(diǎn)M(x0，y0)在圓A外|MA|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；x02+y02＋Dx0＋[典例1](2024·四川廣安高三模擬)分別根據(jù)下列條件，求圓的方程：(1)過兩點(diǎn)A(0，4)，B(4，6)，且圓心在直線x－2y－2＝0上；(2)半徑為13，且與直線2x＋3y－10＝0切于點(diǎn)(2，2)．[解](1)由于圓心在直線x－2y－2＝0上，可設(shè)圓心坐標(biāo)為(2b＋2，b)，再根據(jù)圓過兩點(diǎn)A(0，4)，B(4，6)，可得[(2b＋2)－0]2＋(b－4)2＝[(2b＋2)－4]2＋(b－6)2，解得b＝1，可得圓心為(4，1)，半徑為4-故所求的圓的方程為(x－4)2＋(y－1)2＝25.(2)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)，則n-∴m＝0，n＝－1或m＝4，n＝5，∴圓的方程為x2＋(y＋1)2＝13或(x－4)2＋(y－5)2＝13.求圓的方程的兩種方法跟進(jìn)訓(xùn)練1如圖，在四邊形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC，AB與CD間的距離為3.求等腰梯形ABCD的外接圓的方程，并求這個圓的圓心坐標(biāo)和半徑．[解]法一：由題意可知A(－3，0)，B(3，0)，C32設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則9-3D+F=0故所求圓的方程為x2＋y2－34y其圓心坐標(biāo)為0，12-3法二：由題意，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3，0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是32，3，線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)是94，32，直線BC的斜率kBC＝－2，線段BC與方程x＝0聯(lián)立，解得y＝38所以四邊形ABCD外接圓的圓心E的坐標(biāo)是0，半徑|EB|＝0-32所以四邊形ABCD的外接圓的方程是x2＋y-38這個圓的圓心坐標(biāo)是0，38考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題斜率型、截距型、距離型最值問題[典例2]已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，3為半徑的圓．(1)yx所以設(shè)yx＝k，即y＝kx當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時2k-0k2+1＝3，解得k所以yx的最大值為3，最小值為－3(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時2-0+b2＝3，解得b＝－2±6所以y－x的最大值為－2＋6，最小值為－2－6.(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，x2＋y2在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖③)．又圓心到原點(diǎn)的距離為2-所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.建立函數(shù)關(guān)系求最值[典例3]設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)，則PA·12[由題意，知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2－4，由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圓的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以當(dāng)y＝4時，]1.與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如μ＝y(tǒng)-(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．2．建立函數(shù)關(guān)系式求最值問題的解題策略根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用基本不等式求最值．跟進(jìn)訓(xùn)練2已知點(diǎn)A(4，2)，點(diǎn)P是圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上的任意一點(diǎn)．(1)當(dāng)r＝2時，求|PA|的最大值；(2)若|PA|的最小值為3，求r的值．[解]圓C的圓心坐標(biāo)為(1，－2)，由兩點(diǎn)間的距離公式得|AC|＝4-(1)由|AC|>r＝2知，點(diǎn)A在圓C外，所以|PA|max＝|AC|＋r＝5＋2.(2)當(dāng)點(diǎn)A在圓C外時，|PA|min＝|AC|－r＝3，即5－r＝3，即r＝2；當(dāng)點(diǎn)A在圓C內(nèi)時，|PA|min＝r－|AC|＝3，即r－5＝3，即r＝8.故滿足條件的r的值為2或8.考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題[典例4]已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．[解](1)法一(直接法)：設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.又kAC＝y(tǒng)x+1，kBC＝y(tǒng)所以yx+1·yx-3＝－1，化簡得x2因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二(定義法)：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1，0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝12|AB|＝2.由圓的定義知，動點(diǎn)C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3，0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝x0+32，y＝y(tǒng)0+02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解．(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)求解圓的方程．(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解．跟進(jìn)訓(xùn)練3(2024·山東濰坊高三模擬)已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1，1)和B(2，－2)，且圓心C在直線l：x－y＋1＝0上．(1)求圓C的方程；(2)線段PQ的端點(diǎn)P的坐標(biāo)是(5，0)，端點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動，求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．[解](1)設(shè)點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，直線m為線段AB的垂直平分線，則D32又kAB＝－3，所以km＝13，所以直線m的方程為x－3y由x-3y-則半徑r＝|CA|＝-3所以圓C的方程為(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.(2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，Q(x0，y0)．因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，0)，所以x=x0又點(diǎn)Q(x0，y0)在圓C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上運(yùn)動，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25，整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝254即線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝254【教師備用】設(shè)定點(diǎn)M(－3，4)，動點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡．[解]如圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則ON＝(x0，y0)，MP＝(x＋3，y－4)．因?yàn)樗倪呅蜯ONP為平行四邊形，所以O(shè)N＝MP，所以x因?yàn)辄c(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上，所以x02+y02＝4，即(x＋3)當(dāng)O，M，P三點(diǎn)共線時，不構(gòu)成平行四邊形．直線OM的方程為y＝－43x聯(lián)立(x+3)解得x=-9所以點(diǎn)P的軌跡是以(－3，4)為圓心，半徑為2的圓，除去兩點(diǎn)-95，12提示：對于求點(diǎn)的軌跡或軌跡方程的問題，在求出軌跡方程后，應(yīng)判斷一下題目中的條件有沒有特殊的限制或要求，是否需要排除掉某些特殊點(diǎn)．本題中容易忽略掉O，M，P三點(diǎn)共線時的情況，因此得到軌跡為整個圓的錯誤結(jié)論．【教師備用】拓展視野1阿波羅尼斯圓如圖，點(diǎn)A，B為兩定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|PA|＝λ|PB|.則λ＝1時，動點(diǎn)P的軌跡為直線；當(dāng)λ>0且λ≠1時，動點(diǎn)P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓．證明：設(shè)|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(－m，0)，B(m，0)．又設(shè)P(x，y)，則由|PA|＝λ|PB|得x+m2+y2兩邊平方并化簡整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．當(dāng)λ＝1時，x＝0，軌跡為線段AB的垂直平分線；當(dāng)λ>0且λ≠1時，x-λ2+1λ2-1m2[典例](1)(多選)(2023·海南中學(xué)模擬)已知在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A-2，0，B(4，0)．點(diǎn)P滿足PAPB＝12A．C的方程為x+42＋y2B．在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)(1，1)的距離為10C．在C上存在點(diǎn)M，使得MO＝2MAD．C上的點(diǎn)到直線3x－4y－13＝0的最大距離為9(2)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，設(shè)點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在點(diǎn)P，使得|PA|＝2|PB|，|PC|＝|PD|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(1)AD(2)[－22－1，22－1][(1)由題意可設(shè)點(diǎn)Px，y，由A-2，0，B4，0化簡得x2＋y2＋8x＝0，即x+42＋y2點(diǎn)(1，1)到圓上的點(diǎn)的最大距離-4-1設(shè)M(x0，y0)，由MO＝2MA，得x02+y0聯(lián)立方程消去y0得x0＝2，解得y0無解，故C錯誤；C的圓心(－4，0)到直線3x－4y－13＝0的距離為d＝3×-4-135＝5，且曲線C的半徑為4，則C上的點(diǎn)到直線3x－4y(2)設(shè)P(x，y)，則x-12+y2＝2·x-32+y2，整理得(x－5)2＋y2＝8，即動點(diǎn)P在以(5，0)為圓心，22為半徑的圓上運(yùn)動．另一方面，由|PC|＝|PD|知動點(diǎn)P在線段CD的垂直平分線y＝a＋1上運(yùn)動，因而問題就轉(zhuǎn)化為直線y＝a＋1與圓(x－5)2＋y2＝8有交點(diǎn)．所以|課后習(xí)題(四十四)圓的方程1．(人教B版選擇性必修第一冊P121習(xí)題2－3A組T2改編)圓x2＋y2＋2x－2ay－4＝0(a∈R)的面積最小值是()A．52B[圓x2＋y2＋2x－2ay－4＝0(a∈R)的半徑r＝124+4a2+16＝a2∴Smin＝5π.]2．(人教A版選擇性必修第一冊P85練習(xí)T3改編)已知點(diǎn)A(1，－1)，B(－1，1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4A[法一：AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，|AB|＝1--12+-1-1法二：(應(yīng)用常用結(jié)論)以AB為直徑的圓的方程為(x－1)·(x＋1)＋(y＋1)(y－1)＝0，即x2＋y2＝2.]3．(人教A版選擇性必修第一冊P84例3改編)過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1，1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C[法一：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.因?yàn)閳A心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二：由已知條件得，線段AB的垂直平分線的方程是y＝x，由y=x，x+y∴圓心坐標(biāo)為(1，1)，∴r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4，∴圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.故選C.]4．(人教A版選擇性必修第一冊P86例4改編)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為________．x2＋y2－2x＝0[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圓經(jīng)過點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(2，0)，∴F=0，2+D+E+F=0，∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0.]5．(2024·河南鄭州模擬預(yù)測)圓心在射線y＝34x(x≤A．x2＋y2－8x－6y＝0 B．x2＋y2－6x－8y＝0C．x2＋y2＋8x＋6y＝0 D．x2＋y2＋6x＋8y＝0C[因?yàn)閳A心在射線y＝34x(x≤0)上，故設(shè)圓心為a，34又半徑為5，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以a2+34a即圓的圓心坐標(biāo)為(－4，－3)，則圓的方程為(x＋4)2＋(y＋3)2＝25，即x2＋y2＋8x＋6y＝0.故選C.]6．(2023·廣東湛江二模)若與y軸相切的圓C與直線l：y＝33x也相切，且圓C經(jīng)過點(diǎn)P(2，3)，則圓CA．2B．2或143C．74D．7B[因?yàn)橹本€l：y＝33x所以圓C的圓心在兩切線所成角的角平分線y＝3x上．設(shè)圓心C(a，3a)，則圓C的方程為(x－a)2＋(y－3a)2＝a2，將點(diǎn)P(2，3)的坐標(biāo)代入，得(2－a)2＋(3-3a)2＝a整理得3a2－10a＋7＝0，解得a＝1或a＝73所以圓C的直徑為2或143故選B.]7．如果實(shí)數(shù)x，y滿足(x－1)2＋y2＝34，那么yA．12B．33C．3D[顯然x≠0，令yx＝k，即y＝kx，代入(x－1)2＋y2＝34得(1＋k2)x2－2x＋14＝0，所以Δ＝4－4×(1＋k2)×14≥0，解得－3≤所以k的最大值為3.故選D.]8．(2024·梧州模擬預(yù)測)若圓x2＋y2－ax＋2y＋1＝0與圓x2＋y2＝1關(guān)于直線y＝x－1對稱，過點(diǎn)C(－a，a)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為()A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2－2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0C[圓x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圓心為Aa2，-1，圓x2＋y2因?yàn)閳Ax2＋y2－ax＋2y＋1＝0與圓x2＋y2＝1關(guān)于直線y＝x－1對稱，所以AB的中點(diǎn)a4，-12滿足直線y＝過點(diǎn)C(－2，2)的圓P與y軸相切，設(shè)圓心P的坐標(biāo)為(x，y)，所以x+22+y解得y2＋4x－4y＋8＝0.故選C.]9．(2024·云南昆明模擬)已知點(diǎn)A(－2，0)，B(0，2)，動點(diǎn)M滿足AM·MB＝0，則點(diǎn)M到直線y＝0或1(只寫一個即可)[由題設(shè)知AM⊥MB，即M在以AB為直徑的圓上，且圓心為(－1，1)，半徑為2，所以M的軌跡為(x＋1)2＋(y－1)2＝2，而(－1，1)到直線y＝x＋2的距離為d＝02所以M到直線y＝x＋2的距離范圍為[0，2]，所以點(diǎn)M到直線y＝x＋2的距離的整數(shù)值可以是0或1.]10．(2023·銀川三模)若圓x2＋y2－2ax－2by＝0(a>0，b>0)被直線x＋y＝1平分，則1a3＋22[由x2＋y2－2ax－2by＝0?(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2，所以該圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，因?yàn)閳Ax2＋y2－2ax－2by＝0被直線x＋y＝1平分，所以圓心(a，b)在直線x＋y＝1上，因此有a＋b＝1，所以1a+2b＝(a