福建省廈門市外國語學校2023-2024學年高一下學期第一次月考數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復數(shù)，從而得到其共軛復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因為，所以，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，位于第三象限.故選：C2．如圖所示，梯形是平面圖形ABCD用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形ABCD中對角線AC的長度為（）A． B． C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則確定原圖形，利用勾股定理求得長度．【詳解】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形ABCD，如圖，由斜二測法則知，，所以．故選：C．3．已知，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】將兩邊平方，求出的值，利用向量夾角公式，即可求得答案.【詳解】由于，故，即，則，故，故選：A4．在中，若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理將化簡為，從而可求解.【詳解】由，得，由余弦定理得，化簡得，當時，即，則為直角三角形；當時，得，則為等腰三角形；綜上：為等腰或直角三角形，故D正確.故選：D.5．如圖，在四邊形中，，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在直角三角形中求出，然后在三角形中，由減法法則求出，進而，得解.【詳解】解：由，，，得,三角形中，,,.故選：C.6．在中，a，b，c分別為A，B，C的對邊，則下列敘述正確的是（

）A．若是銳角三角形，則B．若，則C．若，則解此三角形的結果有一解D．若角C為鈍角，則【答案】D【分析】通過余弦定理由C為鈍角得到，利用不等式性質(zhì)即得判斷D項正確；對于A,B項，利用正弦定理、正余弦函數(shù)的單調(diào)性以及二倍角公式、誘導公式即可排除；對于C項，則通過圖形分析即可排除.【詳解】對于A項，因是銳角三角形，則，即,因函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即得，故A錯誤；對于B項，由正弦定理可得，因，則又由可得.若為直角或鈍角，顯然有若是銳角，即,因為在上單調(diào)遞減，則所以；又因，故由可得，即B錯誤；對于C項，因，故此時三角形有兩解，故C錯誤；對于D項，因角C為鈍角，則由余弦定理，，即，則，故，故D正確.故選：D.7．點P是銳角內(nèi)一點，且存在，使，則下列條件中，不能判斷出為等腰三角形的是（

）A．點是的垂心 B．點是的重心C．點是的外心 D．點是的內(nèi)心【答案】B【分析】由已知判斷點P在直線上，結合垂心、重心、外心、內(nèi)心的定義逐一判斷即可.【詳解】記的中點為D，則，所以，點P在直線上.A選項：若點是的垂心，則，所以，所以為等腰三角形，A正確；B選項：若點是的重心，則點在邊的中線上，無法推出，B錯誤；C選項：若點是的外心，則點在邊的中垂線上，所以，所以為等腰三角形，C正確；D選項：若點是的內(nèi)心，則為的角平分線，所以，又，所以與全等，故，D正確.故選：B8．設正數(shù)，，滿足，，，是以為圓心的單位圓上的個點，且.若是圓所在平面上任意一點，則的最小值是A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積及建立不等式，即可求出最小值.【詳解】是以為圓心的單位圓上的個點,,故而，，，故，當且僅當點與點重合時等號成立，即的最小值是,故選：B【點睛】本題主要考查了數(shù)量積的性質(zhì)，考查了分析推理能力，入手困難，屬于難題.二、多選題9．若復數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的虛部是B．若復數(shù)的共軛復數(shù)為，則C．在復數(shù)范圍內(nèi)，是方程的根D．若復數(shù)：滿足，則的最大值為6【答案】CD【分析】由復數(shù)的減法和虛部的定義，判斷選項A；由復數(shù)的乘法運算和模長公式，計算后判斷選項B；驗證方程的復數(shù)根判斷選項C；由復數(shù)模的幾何意義判斷選項D.【詳解】對A，復數(shù)，，其虛部是，A選項錯誤；對B，，，，B選項錯誤；對C，，復數(shù)范圍內(nèi)，是方程的根，C選項正確；對D，設，，，則復平面內(nèi)點的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，的幾何意義為點到原點的距離，由圓心到原點的距離為5，則的最大值為6，D選項正確.故選：CD.10．如圖所示設Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系xOy為仿射坐標系．若﹐則把有序數(shù)對叫做向量的仿射坐標，記為．在的仿射射坐標系中，．則下列結論中，正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】AD【分析】根據(jù)向量的仿射坐標的定義，將選項中關于向量加減，模長，垂直，投影向量的運算通過向量的線性表達式進行即可判斷.【詳解】由可得，依題意，，對于A項，因，即，故A正確；對于B項，因，故B錯誤；對于C項，，故C錯誤；對于D項，由C項知，，又，則在上的投影向量為故D正確.故選：AD.11．的內(nèi)角的對邊分別為，若，則（

）A． B．C．角A的最大值為 D．面積的最小值為【答案】ABC【分析】由平面向量的數(shù)量積計算可得A，由余弦定理可得B，由基本不等式及余弦定理可判斷C，結合條件可得，由項判定的范圍即可.【詳解】由，故A正確；由余弦定理結合A項可得，故B正確；由上結合基本不等式及余弦定理有故，而，單調(diào)遞減，所以由，當且僅當時取得最大值，故C正確；由上可得，又，所以，故D錯誤.故選：ABC三、填空題12．在平面直角坐標系中，，若A，B，C三點能構成三角形，則實數(shù)m的取值范圍為．【答案】【分析】求A，B，C三點不共線的條件即可.【詳解】A，B，C三點能構成三角形，則與不共線，，若與共線，則有，解得，若A，B，C三點能構成三角形，即實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：13．如圖，直三棱柱中，，，為線段上的一個動點，則的最小值是.

【答案】【分析】根據(jù)已知條件及直棱柱的性質(zhì)，結合直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解.【詳解】將圖中的和放置于同一平面內(nèi)，如圖所示，

則.因為直三棱柱中，，，所以中，.同理，在中，,所以所以在圖中，,所以,即.所以的最小值是.故答案為：.14．如圖，某商場內(nèi)有一家半圓形時裝店，其平面圖如圖所示，O是圓心，直徑MN為24米，P是弧的中點．一個時裝塑料模特A在OP上，．計劃在弧上設置一個收銀臺B，記，其中（1）則（用表示）：（2）若越大，該店店長在收銀臺B處的視線范圍越大，則當?shù)觊L在收銀臺B處的視線范圍最大時，AB的長度為米．【答案】【分析】（1）由正弦定理和兩角和的余弦公式求解即可；（2）換元后，構造函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，根據(jù)余弦定理求解長度即可.【詳解】（1）因為是P是弧的中點，所以.因為，所以，則米.由題意知，在中，設，則，由，得，則，則.故答案為：（2）設.令，則.令，當，即，取得最大值.，即的最大值為.因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當取得最大值時，也取得最大值，店長在收銀臺B處的視線范圍最大，此時.故當視線范圍最大時，米.故答案為：【點睛】本題屬于解三角形問題和二次函數(shù)最值問題的結合，解題難點在于正確換元構造函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.另外，正余弦定理和三角恒等變換等知識也必須熟練掌握，才能很好理解和計算本題.四、解答題15．已知是復數(shù)，為實數(shù)，為純虛數(shù)（為虛數(shù)單位）．(1)求復數(shù)；(2)復數(shù)在復平面對應的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系數(shù)結合實數(shù)、純虛數(shù)的概念即可求解.（2）由（1）可知，從而可以化簡，結合已知即可求出實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）設復數(shù)，是實數(shù)，所以，則，所以，因為為純虛數(shù)，所以且，解得，所以.（2）由（1）知，,在復平面上對應的點為，又已知在復平面上對應的點在第二象限，所以，解得，即實數(shù)m的取值范圍為.16．的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(1)求B的值；(2)若，，BD為的平分線，BE為中線，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩角和差的正弦公式化簡已知等式，可得，即可求得，可得答案；（2）利用三角形面積公式求出c的值，再結合，即可求得，利用，結合模的計算求出，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知中，，即即，即，而，故；（2）由于，，故，又BD為的平分線，且，即，又BE為中線，故，故，故.17．如圖所示的一塊正四棱錐木料，側(cè)棱長和底面邊長均為13，M為側(cè)棱PA上的點．(1)若，要經(jīng)過點M和棱將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線?（請寫出必要作圖說明）(2)若，在線段上是否存在一點N，使直線平面?如果不存在，請說明理由，如果存在，求出的值以及線段MN的長.【答案】(1)答案見解析(2)存在，，7【分析】（1）作，連接，利用平行公理可得共面，即可說明如何畫線；（2）連接并延長交于E，連接，利用線面平行的性質(zhì)定理推出，結合線段成比例，即可推出結論；利用余弦定理求出，結合線段成比例，即可求得線段MN的長.【詳解】（1）因為，所以M為的中點，作，交于G，則G為的中點，連接，則，由題意知四邊形為平行四邊形，則，故，即共面，故要經(jīng)過點M和棱將木料鋸開，在木料表面沿線段畫線即可；（2）存在，，說明如下：假設在線段上存在一點N，使直線平面，連接并延長交于E，連接，因為平面，平面，平面平面，故，則，由題意知四邊形為正方形，故，則，即假設成立，故在線段上存在一點N，使直線平面，此時；由于，，故，故，中，，則，即，而，，故，則.18．如圖，在邊長為1的正三角形ABC中，O為中心，過點O的直線交邊AB與點M，交邊AC于點N，(1)若P為內(nèi)部一點（不包括邊界），求的取值范圍；(2)若，求AN的值；(3)求的最大值與最小值.【答案】(1)(2)(3)最大值，最小值【分析】（1）取BC的中點D，，由的取值范圍求的取值范圍；（2）設，則，因為三點共線，所以，可求AN的值；（3）設，和中，由正弦定理可得，關于的表達式，從而得到，利用換元法，結合構造函數(shù)利用單調(diào)性求最值.【詳解】（1）取BC的中點D，連接PD，正三角形ABC邊長為1，則，，，，，又，即，得，故的取值范圍.（2）延長AO交BC于D，因為O為正三角形的中心，所以D為BC的中點，則有，由，得，設，因為，所以，因為，所以，可知，因為三點共線，所以，解得，即AN的值為.（3）因為正三角形的邊長為1，O為正三角形的中心，所以，，設，則，當點與點重合時，取最小值；當點與點重合時，取最大值.在中，由正弦定理可得，所以，在中，同理可得，所以，令，則，所以，因為，所以，，所以，即，令，任取，，由，，，則，，所以在上單調(diào)遞增，有，即，所以，有，則有，所以，即最大值，最小值.19．在銳角中，，點O為的外心．(1)若，求的最大值；(2)若．①求證：；②求的取值范圍．【答案】(1)；(2)①證明見解析；②.【分析】（1）計算出和，由以及平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得和，解出，再利用基本不等式即可求出的最大值；（2）①證出，設出與的夾角為，計算得到，由可得，即可證得結論；②計算出的外接圓半徑為1，可得，求出角的取值范圍，結合余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）取的中點，連接,則,不妨設，因，同理可得，則由可得，即得：①又由可得，即得：②聯(lián)立①,②，解得：則，因，