第一章

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系第2課時空間中直線、平面的平行熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的平行關系.學習目標XUEXIMUBIAO內容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一線線平行的向量表示設u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.知識點二線面平行的向量表示設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.知識點三面面平行的向量表示設n1

，n2

分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.思考怎么利用向量證明或判定直線和平面的位置關系？答案證明或判定直線和平面的位置關系有兩類思路(1)轉化為線線關系，然后利用兩個向量的關系進行判定；(2)利用直線的方向向量和平面的法向量進行判定.預習小測自我檢驗YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.已知直線l的方向向量為a＝(－1,2,0)，平面α的法向量為n＝(2,1，－1)，則A.l⊥α B.l∥αC.l?α D.l∥α或l?α√預習小測自我檢驗YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.已知直線l的方向向量為a＝(－1,2,0)，平面α的法向量為n＝(2,1，－1)，則A.l⊥α B.l∥αC.l?α D.l∥α或l?α√√3.若兩個不同平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－1)，v＝(－4，－8,4)，則平面α，β的位置是________.α∥β2題型探究PARTTWO一、證明線線平行例1在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點S在DD1上，且SD1＝2SD，點N，R分別為A1D1，BC的中點.求證：MN∥RS.證明方法一

如圖所示，建立空間直角坐標系，因為M?RS，所以MN∥RS.證明方法一

如圖所示，建立空間直角坐標系，因為M?RS，所以MN∥RS.又R?MN，所以MN∥RS.反思感悟利用向量證明線線平行的思路證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可.跟蹤訓練1如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點.求證：四邊形AEC1F是平行四邊形.證明以點D為坐標原點，不妨設正方體的棱長為1，又∵F?AE，F(xiàn)?EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四邊形AEC1F是平行四邊形.二、證明線面平行例2在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點.證明：PA∥平面EDB.證明如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設PD＝DC＝a.連接AC，交BD于點G，連接EG，方法一

設平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.方法二

因為四邊形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，而EG?平面EDB，且PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.又PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.反思感悟證明線面平行問題的方法(1)證明直線的方向向量與平面內的某一向量是共線向量且直線不在平面內；(2)證明直線的方向向量可以用平面內兩個不共線向量表示且直線不在平面內；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內.跟蹤訓練2在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點，求證：AB∥平面DEG.證明∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA兩兩垂直.以點E為坐標原點，EB，EF，EA分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知得，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(xiàn)(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，設平面DEG的法向量為n＝(x，y，z)，令y＝1，得z＝－1，x＝－1，則n＝(－1,1，－1)，∵AB?平面DEG，∴AB∥平面DEG.三、證明面面平行例3已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，求證：平面ADE∥平面B1C1F.證明建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,0,1)，B1(2,2,2)，設n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，令z1＝2，則y1＝－1，所以可取n1＝(0，－1,2).同理，設n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2).因為n1＝n2，即n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.反思感悟證明面面平行問題的方法(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行.(2)將面面平行轉化為線線平行然后用向量共線進行證明.跟蹤訓練3在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F(xiàn)是棱AB的中點.試用向量的方法證明：平面AA1D1D∥平面FCC1.證明因為AB＝4，BC＝CD＝2，F(xiàn)是棱AB的中點，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF為正三角形.因為ABCD為等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，所以∠BAD＝∠ABC＝60°.取AF的中點M，連接DM，則DM⊥AB，所以DM⊥CD.以D為原點，DM為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標系Dxyz，所以DD1∥CC1，DA∥CF，又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA?平面AA1D1D，CC1，CF?平面FCC1，所以平面AA1D1D∥平面FCC1.核心素養(yǎng)之邏輯推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI面面平行之探究典例如圖所示，在正方體AC1中，O為底面ABCD中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO.解如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，在CC1上任取一點Q，連接BQ，D1Q.設正方體的棱長為1，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，則Q(0,1，z)，即AP∥BQ，又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B，AP，OP?平面PAO，BQ，BD1?平面D1BQ，則有平面PAO∥平面D1BQ，∴當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.素養(yǎng)提升(1)求點的坐標：可設出對應點的坐標，根據面面平行的判定定理轉化為向量共線問題或者利用兩個平面的法向量共線，進而建立與所求點的坐標有關的等式.(2)由結論推應具備的條件的逆向推理是邏輯推理中的一種基本形式，通過應用推理的方式與方法，能較好的培養(yǎng)學生的合乎邏輯的思維品質.3隨堂演練PARTTHREE1.已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則√123452.如果直線l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直線l上有一點P不在平面α上，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么A.l⊥α B.l∥α C.l?α D.l與α斜交√12345解析∵直線l的方向向量是a＝(－2,0,1)，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，∴a·b＝－4＋0＋4＝0，∴直線l在平面α內或者與平面平行，又直線l上有一點P不在平面α上，∴l(xiāng)∥α.3.若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是A.a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B.a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C.a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D.a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)√12345解析若l∥α，則a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D選項中a·n＝－3＋3＝0.4.設平面α，β的一個法向量分別為u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，則α，β的位置關系為______.12345平行解析∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u，∴α∥β.5.已知直線l∥平面ABC，且l的一個方向向量為a＝(2，m，1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)則實數m的值是________.－3解析∵l∥平面ABC，∴(2，m，1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)，123451.知識清單：(1)線線平行的向量表示.(2)線面平行的向量表示.(3)面面平行的向量表示.2.方法歸納：坐標法、轉化化歸.3.常見誤區(qū)：通過向量和平面平行直接得到線面平行，忽略條件直線不在平面內.課堂小結KETANGXIAOJIE4課時對點練PARTFOUR1.與向量a＝(1，－3,2)平行的一個向量的坐標是√基礎鞏固12345678910111213141516A.α∥β B.α⊥βC.α與β相交但不垂直 D.α∥β或α與β重合√12345678910111213141516解析因為n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α與β重合.3.已知直線l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，則l與α的位置關系是A.l⊥α B.l∥αC.l與α相交但不垂直 D.l∥α或l?α√12345678910111213141516解析因為a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l?α.4.(多選)若直線l的一個方向向量為d＝(6,2,3)，平面α的一個法向量為n＝(－1,3,0)，則直線l與平面α的位置關系是A.垂直 B.平行C.直線l在平面α內 D.不能確定√12345678910111213141516√解析∵d·n＝－6＋2×3＋0＝0，∴d⊥n，∴直線l與平面α的位置關系是直線l在平面α內或平行.5.已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，則λ的值是√12345678910111213141516解析∵α∥β，∴α的法向量與β的法向量也互相平行.6.已知平面α內的三點A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個法向量為n＝(－1，－1，－1)，且β與α不重合，則β與α的位置關系是________.α∥β＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，∴n也為α的一個法向量，又α與β不重合，∴α∥β.12345678910111213141516123456789101112131415168.已知α，β為兩個不重合的平面，設平面α與向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β與向量b＝(－2,4，－8)垂直，則平面α與β的位置關系是________.12345678910111213141516平行解析由題意得a，b分別為α，β的一個法向量，又a∥b，∴α∥β.9.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F(xiàn)分別為A1C1和BC的中點.求證：C1F∥平面ABE.12345678910111213141516證明如圖，以B為坐標原點，分別以BC，BA，BB1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設BC＝a，AB＝b，BB1＝c，設平面ABE的一個法向量為n＝(x，y，z)，1234567891011121314151612345678910111213141516又C1F?平面ABE，所以C1F∥平面ABE.10.已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是A1C1，A1D和B1A上任意一點.求證：平面A1EF∥平面B1MC.12345678910111213141516證明如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，C(0,1,0)，設n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分別是平面A1EF與平面B1MC的法向量，12345678910111213141516所以可取n1＝(1,1,－1).12345678910111213141516可取n2＝(1,1，－1)，所以n1＝n2，所以n1∥n2，所以平面A1EF∥平面B1MC.11.如圖，在正方體AC1中，PQ與直線A1D和AC都垂直，則直線PQ與BD1的關系是A.異面直線B.平行直線C.垂直不相交D.垂直且相交√12345678910111213141516綜合運用解析設正方體的棱長為1，取D點為坐標原點建系后，1234567891011121314151612.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點的坐標為√12345678910111213141516解析方法一

以C為原點，建立空間直角坐標系如圖所示.設M(a，a，1)，平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，1234567891011121314151612345678910111213141516方法二

設AC與BD相交于O點，連接OE，由AM∥平面BDE，且AM?平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，所以AM∥EO，又O是正方形ABCD對角線交點，所以M為線段EF的中點.1234567891011121314151613.(多選)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點，平行六面體的各棱長均相等.下列結論中正確的是A.A1M∥D1PB.A1M∥B1QC.A1M∥平面DCC1D1D.A1M∥平面D1PQB1√12345678910111213141516√√12345678910111213141516又B1Q與D1P不平行，故B不正確.14.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B，AC的中點，則MN與平面BB1C1C的位置關系是________.12345678910111213141516平行解析建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，又平面BB1C1C的一個法向量為n＝(0,1,0)，∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，∴MN∥平面BB1C1C.1234567891011121314151615.直線l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量為n＝(2，x2＋x，－x)，若直線l∥平面α，則實數x的值為√拓廣探究解析∵直線l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量為n＝(2，x2＋x，－x)，直線l∥平面α，1234567891011121314151616.如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝

AD＝1.問：在棱PD上是否存在一點E，使得CE∥平面PAB？若存