第一章

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第2課時夾角問題1.會用向量法求線線、線面、面面夾角.2.能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系.學習目標XUEXIMUBIAO內(nèi)容索引知識梳理題型探究隨堂演練課時對點練1知識梳理PARTONE知識點一兩個平面的夾角平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中

的二面角稱為平面α與平面β的夾角.不大于90°知識點二空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設兩異面直線l1，l2

所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝_____直線與平面所成的角設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝_____________＝______|cos〈u，n〉|兩個平面的夾角設平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_______預習小測自我檢驗YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成角的大小是√解析以D為原點，DA，DC，DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，2.已知向量m，n分別是直線l與平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝

，則l與α所成的角為A.30° B.60° C.150° D.120°√解析設l與α所成的角為θ，故選B.2.已知向量m，n分別是直線l與平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝

，則l與α所成的角為A.30° B.60° C.150° D.120°√解析設l與α所成的角為θ，故選B.3.已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，則平面α與β的夾角為____.2題型探究PARTTWO一、兩條異面直線所成的角例1如圖，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝

，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值.建立如圖所示的空間直角坐標系，建立如圖所示的空間直角坐標系，反思感悟求異面直線夾角的方法(1)傳統(tǒng)法：作出與異面直線所成角相等的平面角，進而構(gòu)造三角形求解.(2)向量法：在兩異面直線a與b上分別取點A，B和C，D，則

與

可分別為a，b的方向向量，則cosθ＝

.跟蹤訓練1如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點，則B1M與D1N所成角的余弦值為√解析建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，二、直線與平面所成的角例2如圖所示，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝

AB，N為AB上一點，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點.(1)證明：CM⊥SN；證明設PA＝1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系(如圖).則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，因此CM⊥SN.(2)求SN與平面CMN所成角的大小.設a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，取y＝1，得a＝(2,1，－2).設SN與平面CMN所成的角為θ，反思感悟利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟(1)建立空間直角坐標系.(2)求直線的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)設線面角為θ，則sinθ＝

.跟蹤訓練2如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F(xiàn)依次為C1C，BC的中點.求A1B與平面AEF所成角的正弦值.解以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,1,0)，設平面AEF的一個法向量為n＝(a，b，c)，令a＝1可得n＝(1，－1,2).設A1B與平面AEF所成角為θ，三、兩個平面的夾角例3如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明：O1O⊥平面ABCD；證明因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因為AC∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，所以O1O⊥平面ABCD.(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1與平面OB1D夾角的余弦值.解因為四棱柱的所有棱長都相等，所以四邊形ABCD為菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1兩兩垂直.如圖，以O為原點，OB，OC，OO1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.設棱長為2，因為∠CBA＝60°，平面BDD1B1的一個法向量為n＝(0,1,0)，設平面OC1B1的法向量為m＝(x，y，z)，延伸探究本例不變，求平面B

A1C與平面A1CD夾角的余弦值.設平面BA1C的法向量為m＝(x1，y1，z1)，反思感悟求兩平面夾角的兩種方法(1)定義法：在兩個平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角.也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同.跟蹤訓練3如圖所示，在幾何體S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD與平面SAB夾角的余弦值.解如圖，過點D作DC的垂線交SC于E，以D為原點，以DC，DE，DA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，設平面SAD的法向量為m＝(x，y，z)，核心素養(yǎng)之數(shù)學建模HEXINSUYANGZHISHUXUEJIANMO空間向量和實際問題典例如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處.從A，B到直線(庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長為c，甲乙之間拉緊的繩長為d，求庫底與水壩所在平面夾角的余弦值.解由題意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d，素養(yǎng)提升利用空間向量解決實際問題(1)分析實際問題的向量背景，將題目條件、結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)對于和垂直、平行、距離、角度有關(guān)的實際問題，可以考慮建立向量模型，體現(xiàn)了數(shù)學建模的核心素養(yǎng).3隨堂演練PARTTHREE1.若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°，則l1與l2所成的角為√123452.已知向量m，n分別是平面α和平面β的法向量，若cos〈m，n〉＝

，則α與β的夾角為A.30° B.60° C.120° D.150°√解析設α與β所成的角為θ，且0°≤θ≤90°，123453.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為√12345解析如圖所示，以C為原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CC1為z軸建立空間直角坐標系，設CA＝CB＝1，123454.如圖所示，點A，B，C分別在空間直角坐標系Oxyz的三條坐標軸上，

＝(0,0,2)，平面ABC的一個法向量為n＝(2,1,2)，平面ABC與平面ABO的夾角為θ，則cosθ＝_____.123455.正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為_____.12345解析設正方體的棱長為1，建立空間直角坐標系如圖.則D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).1.知識清單：(1)兩條異面直線所成的角.(2)直線和平面所成的角.(3)兩個平面的夾角.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū)：混淆兩個向量的夾角和空間角的關(guān)系，不能正確理解空間角的概念，把握空間角的范圍.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時對點練PARTFOUR1.已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，則直線AB與直線CD所成角的余弦值為√基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面夾角為A.45° B.135°C.45°或135° D.90°√即〈m，n〉＝45°.所以兩平面的夾角為45°.123456789101112131415163.設直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈a，n〉＝

，則l與α所成的角為√123456789101112131415164.若平面α的一個法向量為n＝(4,1,1)，直線l的一個方向向量為a＝(－2，－3,3)，則l與α所成角的余弦值為√解析設α與l所成的角為θ，123456789101112131415165.正方形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，則平面PAB與平面PCD的夾角為A.30° B.45° C.60° D.90°√12345678910111213141516解析如圖所示，建立空間直角坐標系，設PA＝AB＝1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1).12345678910111213141516∴平面PAB與平面PCD的夾角為45°.6.如圖，在正方體ABCD

－A1B1C1D1中，M是C1C的中點，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意點，則直線BM與OP所成的角為_____.12345678910111213141516解析建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為2，A1P＝x，則O(1,1,0)，P(2，x，2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，123456789101112131415167.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為________.12345678910111213141516解析如圖所示，建立空間直角坐標系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，連接AC，易證AC⊥平面BB1D1D，123456789101112131415168.已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC夾角的余弦值等于________.12345678910111213141516解析如圖，建立空間直角坐標系.設正方體的棱長為1，平面ABC的法向量為n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量為n2＝(x，y，z).12345678910111213141516取x＝1，則y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3).123456789101112131415169.如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，點D是BC的中點.求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值.12345678910111213141516解以點A為原點，AB，AC，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，D(1,1,0)，C1(0,2,4)，12345678910111213141516證明如圖，以D為原點建立空間直角坐標系Dxyz，設AB＝a，PD＝h，則A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，10.四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上.(1)求證：平面AEC⊥平面PDB；∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，DP，DB?平面PDB，∴AC⊥平面PDB，又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.12345678910111213141516連接OE，由(1)知AC⊥平面PDB，∴∠AEO為AE與平面PDB所成的角，∴∠AEO＝45°，即AE與平面PDB所成角的大小為45°.1234567891011121314151611.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為√12345678910111213141516綜合運用解析不妨設CA＝CC1＝2CB＝2，1234567891011121314151612.已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是側(cè)棱BB1的中點，則直線AE與平面A1ED1所成角的大小為A.60° B.90°C.45° D.以上都不對√12345678910111213141516解析以點D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖.由題意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，12345678910111213141516設平面A1ED1的一個法向量為n＝(x，y，z)，令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，12345678910111213141516設直線與平面A1ED1所成角為θ，則sinθ＝1，所以直線AE與平面A1ED1所成的角為90°.13.在空間中，已知平面α過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(0,0，a)(a>0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45°，則a＝____.解析平面xOy的法向量n＝(0,0,1)，1234567891011121314151614.已知正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則平面ABD與平面BDC夾角的余弦值為____.12345678910111213141516解析取BC的中點O，連接AO，DO，建立如圖所示的空間直角坐標系.設平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，123456789101112131415161234567891011121314151615.如圖，在三棱錐V－ABC中，頂點C在空間直角坐標系的原點處，頂點A，B，V分別在x軸、y軸、z軸上，D是線段AB的中點，且AC＝BC＝2，∠VDC＝

，則異面直線AC與VD所成角的余弦值為_____.12345678910111213141516拓廣探究解析∵AC＝BC＝2，D是AB的中點，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).1234567891011121314151616.如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，A1D1的中點.12345678910111213141516(1)求直線A1C與DE所成角的余弦值；解以A為坐標原點，分別以AB，AD，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz.12345678910111213141516(2)求直線AD與平面B1EDF所成角的余弦值；12345678910111213141516解連接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，∴AD在平面B1EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上.又四邊形B1EDF為菱形，∴DB1為∠EDF的平分線，故直線AD與平面B1EDF所成的角為∠ADB1.由A(0,0,0)，B1(a，0，a)，D(0，a，0)，12345678910111213141516(3)求平面B1