八年級(jí)初二數(shù)學(xué)平行四邊形知識(shí)點(diǎn)-+典型題附解析

一、選擇題

1.如圖，QABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于O,BD=2AD,E,F,G分別是0C,0D,AB

②四邊形BEFG是平行四邊形

③EG=GF

④EA平分NGEF

其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

2.如圖，已知正方形ABCO的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)、E，尸分別在邊BC、CO上，

ZEAF=45°.當(dāng)斤=8時(shí)，AE/7的面積是（）.

A.8B.16C.24D.32

3.如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4,BC=8,點(diǎn)E,F分別在AD,BC上，將ABCD沿

直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊

形CFHE是菱形；②EC平分NDCH；③線段BF的取值范圍為3WBFW4；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A

重合時(shí)，EF=275.其中正確的結(jié)論是（）

4.如圖，在矩形ABC。中，8。=2b,48=4,0為邊48的中點(diǎn)，P為矩形ABCO外

一動(dòng)點(diǎn)，且NAPC=90，則線段OP的最大值為（）

p

D

C

A.5+囪B.3+75C.475-2D.273+1

5.如圖，ABC。中，對(duì)角線AC,8。交于點(diǎn)O，BD=2AD，2口，G分別是

OC,OD,A3的中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（）

①EG=EF；②△EFG也△GBE；③用平分DEFG：④石4平分NGEF：⑤四邊形

8瓦6是菱形.

A.③⑤B.①②④C.①②③④D.①②③④⑤

6.如圖，在平行四邊形A8CO中，E、尸是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)且AE=CF,下列說

法中正確的是（）

①BE=DF；②BE//DF；③AB=DE；④四邊形￡出工＞為平行四邊形；

A.①⑥B.①②④⑥C.①②③④D.①②④⑤⑥

7.如圖，E是邊長(zhǎng)為2的正方形A8CO的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB,F為BE上

任意一點(diǎn)，F(xiàn)GAAC于點(diǎn)G,FHLAB于點(diǎn)H，則FG+FH的值是（）

C.2D.1

8.如圖，在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC、6。相交于0,BD=2AD，E、

F、G分別是0C、OD、AB的中點(diǎn)，下列結(jié)論：

@BELAC-,②EG=GF；③b￡FGmkGBE；④E4平分NGE/；⑤四邊形

8EFG是菱形.

A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤

9.在ABCR中，BC=2AB,C￡>_LA8于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AE的中點(diǎn)，若

NADE=50°,則E>3的度數(shù)是（）

C.70°D.80°

10.如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)、,且BD=LcD.點(diǎn)

2

E，產(chǎn)分別在邊AB,AC上，且NEOF=90°,M為邊族的中點(diǎn)，連接CM交OE

于點(diǎn)N.若“7/A8,則CM的長(zhǎng)為（

B.%

C.-V3D.73

346

二、填空題

11.如圖，某景區(qū)湖中有一段“九曲橋"連接湖岸A,B兩點(diǎn)，"九曲橋"的每一段與AC平行

或BD平行，若AB=100m,ZA=ZB=60°,貝此"九曲橋"的總長(zhǎng)度為.

12.已知：點(diǎn)B是線段AC上一點(diǎn)，分別以AB,BC為邊在AC的同側(cè)作等邊和等

邊BCE,點(diǎn)、M,N分別是AD,CE的中點(diǎn)，連接MN.若AC=6,設(shè)BC=2,則線段MN的

長(zhǎng)是.

13.如圖，動(dòng)點(diǎn)E、E分別在正方形ABC。的邊A。、BC上，AE=CF,過點(diǎn)C作

CG±EF,垂足為G,連接8G,若AB=4,則線段8G長(zhǎng)的最小值為.

3

14.已知在矩形ABC。中，45=一,5c=3,點(diǎn)尸在直線8C上，點(diǎn)。在直線CD上，且

2

AP±PQ,當(dāng)AP=PQ時(shí)，AP=.

15.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E,若NCBF=20。，則

ZAED等于一度.

16.已知：如圖，在A6C中，ADLBC,垂足為點(diǎn)。，BE1AC，垂足為點(diǎn)E，

M為A3邊的中點(diǎn)，連結(jié)ME、MD、ED，設(shè)A3=4，N/XC=30。則

EM=；EDM的面積為，

A

17.定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即：如圖1,在RtAABC中，ZACB

=90°,若點(diǎn)。是斜邊A8的中點(diǎn)，則CD=‘4B,運(yùn)用：如圖2,ZkABC中，ZBAC=90°,

2

AB=2,AC=3,點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，將AABD沿AD翻折得到AAED連接8E,CE,DE,則

CE的長(zhǎng)為.

18.如圖，在四邊形ABC。中，4)//8C,A￡>=5,BC=18,E是BC的中點(diǎn).點(diǎn)尸以每秒

1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q同時(shí)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度

從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).點(diǎn)尸停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

f秒時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則r的值等于.

19.如圖所示，已知A8=6,點(diǎn)C,D在線段A8上，AC=DB=1,P是線段CD上的動(dòng)

點(diǎn)，分別以AP,PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△4EP和等邊△PFB,連接EF,設(shè)EF的中

點(diǎn)為G,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是,

B

20.如圖，在平行四邊形ABCZ）中，AB=5,AD=3,㈤。的平分線AE交CD于點(diǎn)

21.在四邊形ABCD中，/A=/8=/C=N7)=9O，AB=CD=1。,

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E落在CD邊上時(shí)，利用尺規(guī)作圖，在圖1中作出滿足條件的圖形（不寫

作法，保留作圖痕跡，用2B鉛筆加粗加黑）.并直接寫出此時(shí)。七=:

②如圖2,若點(diǎn)P為BC邊的中點(diǎn)，連接CE,則CE與AP有何位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

（2）點(diǎn)Q為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將AOQ沿AQ翻折，點(diǎn)D恰好落在直線BQ上的點(diǎn)

￡>'處，則；

22.如圖，點(diǎn)E為。A8CD的邊AD上的一點(diǎn)，連接EB并延長(zhǎng)，使BF=BE,連接EC并延

長(zhǎng)，使CG=CE,連接FG.H為FG的中點(diǎn)，連接DH,AF.

(1)若/8A￡=70°,NDCE=20°,求/DEC的度數(shù)；

(2)求證：四邊形AFH。為平行四邊形；

(3)連接E"，交8c于點(diǎn)。，若OC=OH,求證：EF±EG.

AB-3cm>BC-5cm>NB=60，G是CD的中

點(diǎn)，E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，EG的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，連接CE,DF.

（1）求證：四邊形CEDE是平行四邊形；

（2）①當(dāng)AE的長(zhǎng)為多少時(shí)，四邊形CED9是矩形；

②當(dāng)A￡=c加時(shí)，四邊形CEDE是菱形，（直接寫出答案，不需要說明理由）.

24.如圖，在平行四邊形ABC。中，的平分線交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于

F，以EC、C尸為鄰邊作平行四邊形ECFG.

G

（1）求證：四邊形ECFG是菱形；

（2）連結(jié)6。、CG,若NABC=120。，則ABOG是等邊三角形嗎？為什么？

（3）若NABC=90°,AB=10,AD=24，M是所的中點(diǎn)，求。M的長(zhǎng).

25.已知正方形ABCD.

(1)(2)(3)

（1）點(diǎn)P為正方形ABCD外一點(diǎn)，且點(diǎn)P在AB的左側(cè),ZAPB=45°.

①如圖（1）,若點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：四邊形APBC為平行四邊形.

②如圖（2）,若點(diǎn)P在直線AD和BC之間，以AP,AD為鄰邊作UAPQD,連結(jié)AQ.求

ZPAQ的度數(shù).

（2）如圖（3）,點(diǎn)F在正方形ABCD內(nèi)且滿足BC=CF,連接BF并延長(zhǎng)交AD邊于點(diǎn)E,過

Ap1

點(diǎn)E作EHLAD交CF于點(diǎn)H,若EH=3,FH=1,當(dāng)而=§時(shí).請(qǐng)直接寫出HC的長(zhǎng)

26.（1）如圖①，在正方形ABCD中，AAE尸的頂點(diǎn)E,F分別在BC,CD邊上，高AG與

正方形的邊長(zhǎng)相等，求NE4/的度數(shù)；

（2）如圖②，在用ZVLBO中，N￡MO=90°,AQ=A5,點(diǎn)M,N是BD邊上的任意兩

點(diǎn)，且NMAN=45°，將A4W繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至位置，連接NH,試判

斷MN,ND,DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

(3)在圖①中，連接BD分別交AE,AF于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,

(圖①)(圖②)

27.如圖，在矩形A8CD中，E是AO的中點(diǎn)，將AABE沿3E折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

(1)填空：如圖1,當(dāng)點(diǎn)G恰好在5c邊上時(shí)，四邊形ABGE的形狀是；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在矩形ABCO內(nèi)部時(shí)，延長(zhǎng)BG交OC邊于點(diǎn)F.

①求證：BF=AB+DF.

②若A。=GAB,試探索線段。尸與FC的數(shù)量關(guān)系.

28.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(—6,6),AB_Lx軸，垂足為3,AC_Ly軸，垂足為C,點(diǎn)

2E分別是射線B。、上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)。不與點(diǎn)3、。重合，ZDAE=45°.

(1)如圖L當(dāng)點(diǎn)。在線段30上時(shí)，求&D0E的周長(zhǎng)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段8。的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AAD￡的面積為5，4。0七的面積為

邑，請(qǐng)猜想S1與S2之間的等量關(guān)系，并證明你的猜想.

29.已知：如下圖，A3C和BCD中，N8AC=NB￡>C=90"，E為8C的中點(diǎn)，連

接DE、AE.若DCAE,在。C上取一點(diǎn)尸，使得=連接“交AZ)于。.

(1)求證：EFrDA.

(2)若8。=4,4。=2百，求EF的長(zhǎng).

30.在正方形AMFN中，以AM為BC邊上的高作等邊三角形ABC,將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。至點(diǎn)D,D點(diǎn)恰好落在NF上，連接BD,AC與BD交于點(diǎn)E,連接CD,

(1)如圖1,求證：AAMC^AAND；

(2)如圖1,若DF=5求AE的長(zhǎng)；

⑶如圖2,將ACDF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?(0<a<90),點(diǎn)C,F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為G、F\，

AG

連接4月、8C一點(diǎn)G是BG的中點(diǎn)，連接AG,試探索隹是否為定值，若是定值，則求

出該值；若不是，請(qǐng)說明理由.

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)可得。B=BC,由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①正確，由直角三角形的性

質(zhì)和三角形中位線定理可判斷③錯(cuò)誤，由BG=EF,BG〃EF〃CD可證四邊形BEFG是平行四

邊形，可得②正確.由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可判斷④正確.

【詳解】

???四邊形ABCD是平行四邊形，

1

BO=DO=-BD,AD=BC,AB=CD,ABIIBC,

2

又BD=2AD,

OB=BC=OD=DA,且點(diǎn)E是OC中點(diǎn)，

BE±AC,

故①正確，

1??E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，

1

EFIICD,EF=-CD,

2

?.?點(diǎn)G是RtAABE斜邊AB上的中點(diǎn)，

1

GE=-AB=AG=BG,

2

EG=EF=AG=BG,無法證明GE=GF,

故③錯(cuò)誤，

BG=EF,BGIIEFIICD,

四邊形BEFG是平行四邊形，

故②正確，

???EFIICDIIAB,

ZBAC=NACD=NAEF,

???AG=GE,

ZGAE=NAEG,

ZAEG=ZAEF,

：.AE平分NGEF,故④正確，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定

理等知識(shí)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.D

解析：D

【分析】

如圖：Z\ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABH,可得AH=AF,ZBAH=ZDAF,進(jìn)

一步求出NEAH=NEAF=45°,再利用"邊角邊"證明4AEF和4AEH全等，再根據(jù)全等三

角形的面積相等，即可解答.

【詳解】

解：如圖，將4ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABH,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AH=AF,NBAH=/DAF,

；NEAF=45°,/BAD=90°

；.NEAH=/EAF=45°

在AAEF和AAEH中

AF=AHZEAH=ZEAF=45°,AE=AE

.,.△AEF^AAEH(SAS),

，EH=EF=8,

SAFE=SZ\AEH=--x8X8=32.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記并靈活應(yīng)用它們的性質(zhì)并利用旋轉(zhuǎn)作

輔助線、構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

3.D

解析：D

【分析】

①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CF=FH,然后根據(jù)鄰邊相等

的平行四邊形是菱形證明即可判斷出①正確；

②根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得/BCH=NECH,然后求出只有NDCE=30°時(shí)EC平分

ZDCH,即可判斷出②錯(cuò)誤；

③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的

最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF=CD,求出BF=4,然后寫出BF的取值范圍，即可判斷出

③正確；

④過點(diǎn)F作FMJ_AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,即可判斷出④正

確.

【詳解】

①：FH與CG,EH與CF都是矩形ABCD的對(duì)邊AD、BC的一部分，

；.FH〃CG,EH〃CF,

，四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質(zhì)得,CF=FH,

四邊形CFHE是菱形，故①正確；

②???四邊形CFHE是菱形，

.\ZBCH=ZECH,

,只有/DCE=30°時(shí)EC平分NDCH,故②錯(cuò)誤；

③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)BF=x,則AF=FC=8-x,

在Rt/XABF中，AB2+BF2=AF2,BP42+x2=(8-x)2,

解得x=3,

點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，CF=CD=4,

；.BF=4,

線段BF的取值范圍為3WBFW4,故③正確；

④如圖，過點(diǎn)F作FMJ_AD于M,

由勾股定理得，EF=JM產(chǎn)+ME?=2后,故④正確；

綜上所述，結(jié)論正確的有①③④，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

4.B

解析：B

【分析】

連接AC,取AC的中點(diǎn)E,根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AC,0E,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線

等于斜邊的一半可得PE=-ACf然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得0、

2

E、P三點(diǎn)共線時(shí)0P最大.

【詳解】

解：如圖，連接AC,取AC的中點(diǎn)E,

?..矩形ABCD中，BC=2?AB=4,0為AB的中點(diǎn),

:.AC=\lAB2+BC2=6,OE=-BC=\[5,

2

VAP1CP,

:.PE=-AC=-x6=3,

22

由三角形的三邊關(guān)系得，0、E、P三點(diǎn)共線時(shí)0P最大，

此時(shí)O埸大=3+#).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、勾股定理、中位線定理.能正確構(gòu)造輔助

線，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定0P最大值是解題關(guān)鍵.

5.B

解析：B

【分析】

由中點(diǎn)的性質(zhì)可得出E戶//CZ),且EF=gc/)=8G,結(jié)合平行即可證得②結(jié)論成立，由

5￡>=23。得出30=8。，即而得出BE1AC，由中線的性質(zhì)可知G尸〃鹿，且

GP=；BE,AO=EO,通過證DAPG@DEPG得出AG=EG=EF得出①成立，再證

DG/>E@DfP￡；得出④成立，此題得解.

【詳解】

解：令GF和AC的交點(diǎn)為點(diǎn)P,如圖

:.EFHCD,S.EF=-CD,

2

四邊形A8CD為平行四邊形，

:.ABHCD，且45=C￡>,

：.AB//EF

\?FEG?BGE(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

點(diǎn)G為A3的中點(diǎn)，

\BG=-AB=-CD=FE,

22

pG=FE

在AEFG和AGBE中，T?FEG?BGE,

|GE=EG

\DEFG@DGBE(SAS),即②成立，

\?EGF?GEB,FE=BG,

\GFIIBE(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)，

=25。，點(diǎn)0為平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn),

\BO=-BD=BC,

2

E為0C中點(diǎn)，

:.BELOC,

\GPAAC,

\?APG2EPG90?

QGP//BE,G為AB中點(diǎn)，

r.P為AE中點(diǎn)，即AP=P￡，且GP=！BE,

2

?AP=EP

在A4PG和AECP中，i?APG?EPG,

|GP=GP

\DAPG@DEPG(SAS),

\AG=EG=-AB,

2

:.EG=EF,即①成立，

EF//BG,GFIIBE,

四邊形BGFE為平行四邊形，

:.GF=BE,

QGP=-BE^-GF,

22

\GP=FP,

QGF"AC,

\2GPE2FPE90?

iGP=FP

在DG總和AFPE中，GPE?FPE,

\EP=EP

\DGPE@DFPE(SAS),

\?GEP?FEP,

.?.E4平分NGE/7,即④成立，

綜上所述，正確的有①②④，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線定理以及平行線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是

利用中位線，尋找等量關(guān)系，借助于證明全等三角形找到邊角相等.

6.D

解析：D

【分析】

先根據(jù)全等三角形進(jìn)行證明，即可判斷①和②，然后作輔助線，推出。D=OF,得出四邊形

BEDF是平行四邊形，求出BM=DM即可判斷④和⑤，最后根據(jù)AE=CF,即可判斷⑥.

【詳解】

①：四邊形ABCD是平行四邊形，

AB〃DC,AB=DC,

ZBAC=ZADC,

在AABE和4DFC中

AE=FC

<ABAC=AADC

AB=DC

/.△ABE^ADFC(SAS),

；.BE=DF,

故①正確.

?VAABE^ADFC,

ZAEB=ZDFC,

ZBEF=ZDFE,

；.BE〃DF,

故②正確.

③根據(jù)已知的條件不能推AB=DE,故③錯(cuò)誤.

④連接BD交AC于0,過D作DM_LAC于M,過B作BN_LAC于N,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.\DO=BO,OA=OC,

VAE=CF,

；.OE=OF,

...四邊形BEDF是平行四邊形，

故④正確.

@VBN±AC,DM±AC,

AZBN0=ZDM0=90°,

在△BNO和△DMO中

ZBN0=ZDM0

.ZB0N=ZD0M

OB=OD

AABNO^ADMO(AAS)

...BN=DM

VS.=—xAExDM,S-xAExBN

△AADr)EP2AABE?

''°AADEaAABE，

故⑤正確.

(6)VAE=CF,

；.AE+EF=CF+EF,

；.AF=CE,

故⑥正確.

故答案是D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定以及性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

7.B

解析：B

【分析】

過點(diǎn)E作EMJ_AB,連接AF,先求出EM,由SAABE=AB?EM='AE?GF+'AB?FH,可得

222

FG+FH=EM,則FG+FH的值可求.

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)E作EM_LAB,連接AF,

D.

AMH

:四邊形ABCD是正方形，

AZACB=45°,

/.△AEM是等腰直角三角形，

VAB=AE=2,

AM2+EM2=1EM-=AE2=4

SAABE=SAAEF+SAABF，

111

-0ABE=—AB?EM=-AE?GF+-AB?FH,

222

.,.EM=FG+FH=V2;

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，運(yùn)用面積法得出線段的和差關(guān)系是解

題的關(guān)鍵.

8.B

解析：B

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)可得OB=BC,由等腰三角形的性質(zhì)可判斷①正確，由直角三角形的性

質(zhì)和三角形中位線定理可判斷②錯(cuò)誤，通過證四邊形BGFE是平行四邊形，可判斷③正

確，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可判斷④正確，由/BACX30。可判斷⑤錯(cuò)誤.

【詳解】

解：；四邊形ABCD是平行四邊形

1

；.BO=DO=-BD,AD=BC,AB=CD,AB〃BC,

2

又：BD=2AD,

.".OB=BC=OD=DA,且點(diǎn)E是。C中點(diǎn)，

ABEXAC,故①正確，

；E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，

1

，EF〃CD,EF=-CD,

2

丁點(diǎn)G是RtAABE斜邊AB上的中點(diǎn)，

1

；.GE=—AB=AG=BG

2

，EG=EF=AG=BG,無法證明GE=GF,故②錯(cuò)誤，

；BG=EF,AB〃CD〃EF

四邊形BGFE是平行四邊形，

；.GF=BE,且BG=EF,GE=GE,

...△BGE絲ZXFEG(SSS)故③正確

：EF〃CD〃AB,

ZBAC=ZACD=ZAEF,

VAG=GE,

.?.ZGAE=ZAEG,

AZAEG=ZAEF,

；.AE平分NGEF,故④正確，

若四邊形BEFG是菱形

1

；.BE=BG=-AB,

2

AZBAC=30°

與題意不符合，故⑤錯(cuò)誤

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定

理等知識(shí)，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

9.D

解析：D

【分析】

連結(jié)CE,并延長(zhǎng)CE,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,根據(jù)已知條件和平行四邊形的性質(zhì)可證明

/XNAE^ACFE,所以N￡=CE,NA=CF,再由已知條件CDJ_AB于D,NAOE=50°,即可

求出N8的度數(shù).

【詳解】

解：連結(jié)CE,并延長(zhǎng)CE,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

?.?四邊形ABCF是平行四邊形,

：.AB//CF,AB=CF,

；.NNAE=NF,

??,點(diǎn)E是的AF中點(diǎn)，

：.AE^FE,

在△/VAE和ACFE中，

'NNAE=NF

<AE=FE,

NAEN=NFEC

:.△NAEgACFE(ASA),

:.NE=CE,NA=CF,

"：AB=CF,

：.NA=AB,BPBN=2AB,

"：BC=2AB,

；.BC=BN,NN=NNCB,

?.?CD_1_A8于。，即NNDC=90°且NE=CE,

：.DE=-NC=NE,

2

/N=/NDE=50°=NNCB,

AZB=80°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助

線，構(gòu)造全等三角形，在利用等腰三角形的性質(zhì)解答.

10.C

解析：C

【分析】

根據(jù)等邊三角形邊長(zhǎng)為2,在RtABDE中求得OE的長(zhǎng)，再根據(jù)CM垂直平分。E，在

RtACDN中求得CN,利用三角形中位線求得MN的長(zhǎng)，最后根據(jù)線段和可得CM的

長(zhǎng).

【詳解】

解：等邊三角形邊長(zhǎng)為2,BD^-CD,

2

24

ABD=-,CD=~,

33

等邊三角形ABC中，DF//AB,

:.ZFDC=ZB=6O°,

NEDF=9。。,

:.ZBDE=30°,

：.DE±BE，

如圖，連接DW，貝URtADEF中，DM=-EF=FM,

2

ZFDC=ZFCD=60°f

.?.△CDb是等邊三角形，

4

；.CD=CF=—,

3

...C以垂直平分。/，

.-.ZDCN=30°,

42,C

r.RtACDN中，DF=—，DN=—，CN=—,

333

'：EM=FM,DN=FN,

.....i??G

?"MN=—ED=—，

26

r..2G后5n

CM=CN+MN=-------b——=--------.

366

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)、勾股定

理、平行線的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定等.熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.200m

【分析】

如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)HK交AE于F,延長(zhǎng)NJ交FH于M,則四邊形EDHF,

四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形，4ABC是等邊三角形，由此即可解決問題.

【詳解】

如圖，延長(zhǎng)AC、BD交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)HK交AE于F,延長(zhǎng)NJ交FH于M

E

由題意可知，四邊形EDHF,四邊形MNCF,四邊形MKGJ是平行四邊形

：/A=/B=60°

NE=18()-ZA—ZB=60

???△ABC是等邊三角形

，ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

"九曲橋"的總長(zhǎng)度是AE+EB=2AB=200m

故答案為：200m.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行

四邊形、等邊三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解.

12.V21

【分析】

如圖(見解析)，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)可得

MEHAB,ME=AB=4,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NFEN=NC=60°,然后利用直角

三角形的性質(zhì)、勾股定理可得后尸=2,"尸=26，從而可得/W=3,最后在HrFMN

中，利用勾股定理即可得.

【詳解】

如圖，連接ME,過點(diǎn)M作MELCE,交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,

A/WD和3CE都是等邊三角形，BC=2,

:.ZA=ZCBE=ZC=60°,BE=CE=BC^2,AD=AB,

:.ADHBE,

AC=6,

AD=AB=6—2=4,

點(diǎn)M,N分別是AD,CE的中點(diǎn)，

.■.AM=-AD^2,EN=-CE^\,

22

???四邊形ABEM是平行四邊形，

：.ME//AB,ME=AB=4,

.?.NFEM=NC=60。，

在RtAEFM中，NEMF=90°-60°=30°,

EF=-ME=2,MF=yjME2-EF2=26,

2

:.FN=EN+EF=1+2=3,

則在必FMN中,MN=J/+M產(chǎn)=,2+(2后=后,

故答案為：＞/21?

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形是解題關(guān)鍵.

13.V10-V2

【分析】

連結(jié)AC,取OC中點(diǎn)M,連結(jié)MB,MG,則MB,MG為定長(zhǎng)，利用兩點(diǎn)之間線段最短解

決問題即可.

【詳解】

連接AC,交EF于。，

.\ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO,

：AE=CF,

.,.△AEO^ACFO(ASA),

AOA=OC,

二0是正方形的中心，

VAB=BC=4,

.?.AC=40,0c=20,

取0C中點(diǎn)M,連結(jié)MB,MG,過點(diǎn)M作MH_LBC于H,

VMC=y0C=V2>

，MH=CH=1,

ABH=4-1=3,

由勾股定理可得MB=J32+貨=,

在RtAGOC中，M是OC的中點(diǎn)，則MG=/oC=&,

?/BG>BM-MG=VlO-V2，

當(dāng)B,M,G三點(diǎn)共線時(shí)，BG最小=標(biāo)-近，

故答案為：V10-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出當(dāng)E,F運(yùn)動(dòng)到AD,BC的中點(diǎn)時(shí)，

MG最小是解決本題的關(guān)鍵.

14.3血或」師

22

【分析】

根據(jù)點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)。在直線CO上，分兩種情況：LP、Q點(diǎn)位于線段上；2.P、Q

點(diǎn)位于線段的延長(zhǎng)上，再通過三角形全等得出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股即可求解.

【詳解】

解：當(dāng)P點(diǎn)位于線段BC上，Q點(diǎn)位于線段CD上時(shí)：

四邊形ABCD是矩形

APLPQ,

：.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

AP=PQ

ABPsPCQ

333

pc=AB=-,BP=BC-PC=3--=-

222

??.AP=J（”+（2）2=3亞

V222

當(dāng)P點(diǎn)位于線段BC的延長(zhǎng)線上，Q點(diǎn)位于線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí):

???四邊形ABCD是矩形

AP±PQ,

：.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

AP=PQ

ABP=PCQ

339

PC=AB=-,BP=BC+PC=3+二=一

222

???AP-/（-）2+（-）2=-Vio

V222

故答案為：,或二jny

22

【點(diǎn)睛】

此題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)、勾股定理，熟練運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

15.65

【分析】

先由正方形的性質(zhì)得到NABF的角度，從而得到NAEB的大小，再證4AEB^^AED,得到

ZAED的大小

【詳解】

:四邊形ABCD是正方形

AZACB=ZACD=ZBAC=ZCAD=45°,ZABC=90",AB=AD

VZFBC=200,.\ABF=70°

.?.在△ABE中，ZAEB=65°

在aABE與AADE中

AB=AD

<NBAE=NEAD=45°

AE^AE

AAABE^AADE

/.ZAED=ZAEB=65°

故答案為：65°

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的證明，解題關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)，推導(dǎo)出

ZAEB的大小.

16.2G

【分析】

根據(jù)EW是斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可

求出的長(zhǎng)；根據(jù)已知條件推導(dǎo)出。腔是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2,進(jìn)一步計(jì)算即

可得解.

【詳解】

解：???AOLBC,M為邊的中點(diǎn)，A3=4

.,.在RtAAB。中，DM=AM=1AB=-X4=2

22

同理，在HrAABE中，EM=AM=-AB=-x4^2

22

AZMDA=ZMAD，ZMEA^ZMAE

,**ZBME=ZMEA+ZMAE=2ZMAE，ZBMD=ZMDA+ZMAD=2ZMAD

???ZDME=ZBME-ZBMD

=2ZMAE-2ZMAD

=2(NMAE-NMAD)

=2ZQ4C

=60°

?：DM=EM

DME是等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2

=—x2x-\/3=6

,,SEDM

2

故答案是：2；73

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、三角形的外角定理、角的和差以及等邊三角

形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是進(jìn)行推理論證的前提.

175V13

13

【分析】

根據(jù)』?8C?AH=』?4B?AC,可得AH=^,根據(jù)'A°?8O='BDWH,得。B=

221322

生叵，再根據(jù)8E=2O8=吆叵，運(yùn)用勾股定理可得EC.

1313

【詳解】

設(shè)BE交4?于。，作AH_LBC于H.

在R"BC中，N8AC=90°,A8=2,AC=3,

由勾股定理得：BC=V13,

:點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，

/7T

：.AD=DC=DB^^—,

2

?/-?BC?AH=-?AB?AC,

22

?AH-6屈

13

；AE=AB,DE=DB,

點(diǎn)人在BE的垂直平分線上，點(diǎn)。在8E的垂直平分線上,

：.AD垂直平分線段8E,

-AD*BO=-BD?AH,

22

?CA-6任

??C/D--------9

13

.DC-^D_12V13

??DC.-ZUD----------j

13

VDE=DB=CD/

AZDBE=ZDEB,ZDEC=ZDCE,

.\ZDEB+ZDEC=-X18O°=90°,即：ZBEC=90°,

2

...在RtABCf中，EC=ylBC2-BE2='(715)2-(今皆)2=

故答案為：士叵.

13

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及翻折的性質(zhì)，掌握“直角三角形斜邊長(zhǎng)的

中線等于斜邊的一半”以及面積法求三角形的高，是解題的關(guān)鍵.

18.2或3.5

【分析】

分別從當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和B之間、當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和C之間去分析求解即可求得答案.

【詳解】

1

/.BE=CE=-BC=9,

2

①當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和B之間，則得：

3t-9=5-t,

解得：t=3.5；

②當(dāng)Q運(yùn)動(dòng)到E和C之間，則得：

9-3t=5-t,

解得：t=2,

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為2秒或3.5秒時(shí)，以點(diǎn)P,Q,E,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】

“點(diǎn)睛”此題考查了梯形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì).解題時(shí)注意掌握輔助線的

作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用.

19.2

【分析】

分別延長(zhǎng)AE,BF交于點(diǎn)H,易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出點(diǎn)G為PH的中點(diǎn)，則

G的運(yùn)動(dòng)軌跡為AHCD的中位線MN,再求出CD的長(zhǎng)度，運(yùn)用中位線的性質(zhì)求出MN的長(zhǎng)

度即可.

【詳解】

解：如圖，分別延長(zhǎng)AE,BF交于點(diǎn)H,

VZA=ZFPB=60°,

AAHIIPF,

VZB=ZEPA=60°,

ABHIIPE

四邊形EPFH為平行四邊形，

AEF與HP互相平分，

?.?點(diǎn)G為EF的中點(diǎn),

...點(diǎn)G為PH的中點(diǎn)，即在P運(yùn)動(dòng)的過程中，G始終為PH的中點(diǎn)，

AG的運(yùn)動(dòng)軌跡為aHCD的中位線MN,

VCD=6-1-1=4,

Z.MN=-CD=2,

2

，點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形及中位線的性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)的問題，是中考熱點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是得

出G的運(yùn)動(dòng)軌跡為aHCD的中位線MN.

20.1072

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)證明AD=DE=3,再根據(jù)=證明

BC=BE,由此根據(jù)三角形的三線合一及勾股定理求出BF,即可求出平行四邊形的面積.

【詳解】

過點(diǎn)3作跖，8于點(diǎn)尸，如圖所示.

；AE是/明。的平分線，

ZDAE^ZBAE.

V四邊形ABCD是平行四邊形，

ACD=AB=5,BC=AD=3,NBAD=NBCE,AB//CD,

：.ZBAE=ZDEA，

：.ZDAE^ZDEA,

DE—AD-3，

CE=CD-DE=2.

?：/BAD=/BEC,

：.ZBCE=ZBEC,

；.BC=BE,

/.CF=EF=-CE=1,

2

BF=ylBC2-CF2=732-l2=2V2?

平行四邊形ABCD的面積為6DCO=2拒x5=10C.

故答案為：10匹.

【點(diǎn)睛】

此題考查平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，等腰三角形的等角對(duì)等邊的性

質(zhì)、三線合一的性質(zhì)，勾股定理.

三、解答題

21.(1)①6；②結(jié)論：EC//PA；(2)為4和16.

【分析】

(1)①如圖1中，以A為圓心AB為半徑畫弧交CD于E,作NEAB的平分線交BC于點(diǎn)

P,點(diǎn)P即為所求?理由勾股定理可得DE.

②如圖2中，結(jié)論：EC//PA.只要證明PALBE，EC_LBE即可解決問題.

(2)分兩種情形分別求解即可解決問題.

【詳解】

解：(1)①如圖1中，以A為圓心AB為半徑畫弧交CD于E,作NE43的平分線交BC于

點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求.

圖1

在RtADE中，/￡)=90>AE—AB—10>AD-S>

DE=ylAE2-AD2=V102-82=6,

故答案為6.

②如圖2中，結(jié)論：EC//PA.

圖2

理由：由翻折不變性可知：AE^AB，PE=PB，

.?.B4垂直平分線段BE,

即24,BE，

PB=PC=PE,

BEC=90，

??.EC上BE,

：.EC//PA.

BD'=>/AB2-AD,2=6-

在RtBQC中，CQ2+BC2=BQ2,

(10-x)2+82=(x+6)2,

x=4，

DQ=4.

②如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí),

/.NDQA=/QAB,

/DQA=NAQB,

.?./QAB=/AQB,

AB=BQ=10,

在RtBCQ中，CQ=jBQ2_BC2=6,

..DQ=DC+CQ=16,

綜上所述，滿足條件的DQ的值為4或16.

故答案為4和16.

【點(diǎn)睛】

本題屬于幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題.

22.(1)50。；(2)見解析；(3)見解析

【分析】

(1)由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)得出答案即可；

(2)由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=8C,AD//BC-,證明BC是△EFG的中位線，得出

BC//FG,BC=；FG,證出AD〃FH,AD//FH,由平行四邊形的判定方法即可得出結(jié)論；

(3)連接EH,CH,根據(jù)三角形的中位線定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)

論.

【詳解】

明：(1)?四邊形A8CD是平行四邊形，

：.ZBAE=ZBCD=70°,AD//BC,

：NDCE=20。，

'SAB//CD,

：.ZCDE=180°-ZBAE=1W°,

：.ZDEC=180°-ZDCE-ZCD￡=50°；

(2).四邊形A8CD是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,N8AE=/BCD,

：BF=8E,CG=CE,

；.BC是AFFG的中位線，

：.BC//FG,BC=」FG,

2

,:H為FG的中點(diǎn),

：.FH=LFG,

2

：.BC//FH,BC=FH,

：.AD//F