專題7.3復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（重難點(diǎn)題型精講）1．復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的加法法則

設(shè)SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.(2)復(fù)數(shù)的加法滿足的運(yùn)算律

對(duì)任意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∈C，有

①交換律：SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0；

②結(jié)合律：(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0).(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,d∈R)對(duì)應(yīng)的向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=(a,b)，SKIPIF1<0=(c,d).以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形SKIPIF1<0(如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng)的向量.2．復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算及其幾何意義(1)復(fù)數(shù)的減法法則類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).

根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差SKIPIF1<0-SKIPIF1<0對(duì)應(yīng)的向量是SKIPIF1<0-SKIPIF1<0，即向量SKIPIF1<0.如果作SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，那么點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是SKIPIF1<0-SKIPIF1<0(如圖所示).

這說(shuō)明兩個(gè)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的差SKIPIF1<0就是與復(fù)數(shù)(a-c)+(b-d)i對(duì)應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向量的減法來(lái)進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.3．復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+SKIPIF1<0=(ac-bd)+(ad+bc)i.

可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把SKIPIF1<0換成-1，并且把實(shí)部與虛部分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∈C，有

①交換律：SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0；

②結(jié)合律：(SKIPIF1<0SKIPIF1<0)SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(SKIPIF1<0SKIPIF1<0)；

③分配律：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律仍然成立.即對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0和正整數(shù)m,n，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.4．復(fù)數(shù)的除法(1)定義

我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除以復(fù)數(shù)c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或SKIPIF1<0(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).(1)復(fù)數(shù)的除法法則(a+bi)÷(c+di)=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0i(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).

由此可見，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).5．|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義

設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0=a+bi，SKIPIF1<0=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是SKIPIF1<0(a,b)，SKIPIF1<0(c,d)，則|???????SKIPIF1<0SKIPIF1<0|=SKIPIF1<0，又復(fù)數(shù)SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=(a-c)+(b-d)i，則|SKIPIF1<0-SKIPIF1<0|=SKIPIF1<0.

故|???????SKIPIF1<0SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0-SKIPIF1<0|，即|SKIPIF1<0-SKIPIF1<0|表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.6．復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)數(shù)系一元二次方程的根

若一元二次方程SKIPIF1<0+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當(dāng)SKIPIF1<0>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；

當(dāng)SKIPIF1<0=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=-SKIPIF1<0；

當(dāng)SKIPIF1<0<0時(shí)，方程有兩個(gè)虛根SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，且兩個(gè)虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù).7．復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用技巧(1)復(fù)數(shù)常見運(yùn)算小結(jié)論①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0.(2)常用公式SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【題型1復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相加(減)，就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相加(減)，虛部相加(減).復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，兩個(gè)復(fù)數(shù)相減，也可以看成是加上這個(gè)復(fù)數(shù)的相反數(shù).當(dāng)多個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)時(shí)，可將這些復(fù)數(shù)的所有實(shí)部相加(減)，所有虛部相加(減).【例1】（2022秋·貴州畢節(jié)·高三階段練習(xí)）已知z1=1+i，z2=2?2A．4 B．5+3i C．4?3i【變式1-1】（2022秋·陜西延安·高三階段練習(xí)）若z?3+5i=8?2i，則zA．5?3i B．11?7i C．8+7【變式1-2】（2022春·廣西桂林·高一期末）1+i+?2+2A．?1+3i B．1+i C．?1+【變式1-3】（2023·山西大同·大同市模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足2z+z+3z?A．12+C．2+2i D．【題型2復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)向量加、減運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加、減法幾何意義的依據(jù).(2)利用向量的加法“首尾相接”和減法“指向被減向量”的特點(diǎn)，在三角形內(nèi)可求得第三個(gè)向量及其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【例2】（2022春·北京西城·高一階段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1,?z3=?2+A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【變式2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，若A，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－1＋i和－4－3i，則該平行四邊形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為（

）A．5 B．5 C．25 D．10【變式2-2】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,?2+i,0，那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）．A．3+i B．3?i C．1?3i D．?1+3i【變式2-3】（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)向量OP，PQ，OQ所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，z2，z3，那么（）A．z1－z2－z3＝0B．z1＋z2＋z3＝0C．z2－z1－z3＝0D．z1＋z2－z3＝0【題型3復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算】【方法點(diǎn)撥】(1)復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項(xiàng)式的乘法計(jì)算，只是在結(jié)果中要將SKIPIF1<0換成-1，并將實(shí)部、虛部分別合并.(2)復(fù)數(shù)的除法法則在實(shí)際操作中不方便使用，一般將除法寫成分式形式，采用分母“實(shí)數(shù)化”的方法，即將分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母成為實(shí)數(shù)，再計(jì)算.【例3】（2023·遼寧·遼寧模擬預(yù)測(cè)）已知z1+i=7+5i，則A．6?i B．6+i C．3?2【變式3-1】（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(?1,1)，則z1+i=A．?1+i B．?1?i C．i【變式3-2】（2022春·陜西榆林·高二期中）已知復(fù)數(shù)z=?1+2i（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為z，則z?iA．-2-i B．-2+i C．2?i D．【變式3-3】（2022秋·河北唐山·高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z?i=4+3iA．3+3i B．3?3i C．?3+3【題型4虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算的周期性】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算的周期性，進(jìn)行求解即可.【例4】（2022·云南紅河·?？寄M預(yù)測(cè)）已知i為虛數(shù)單位，則i20231?iA．?12+12i【變式4-1】（2022春·湖北十堰·高一階段練習(xí)）i2022=（A．?1 B．1 C．?i D．【變式4-2】（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）設(shè)i是虛數(shù)單位，則i+i2A．i+1 B．i?1 C．【變式4-3】1+i1?iA．i B．?i C．22005【題型5解復(fù)數(shù)方程】【方法點(diǎn)撥】實(shí)系數(shù)