二次函數(shù)復(fù)習(xí)二：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)班級(jí)：姓名：知識(shí)點(diǎn)一.二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y0xy0x性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x≤時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x≥時(shí)，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x≤時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x≥時(shí)，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，1.二次函數(shù)圖像的畫法:五點(diǎn)作圖法（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再找到該點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)。2.拋物線中，a、b、c的作用（1）決定開口方向及開口大小.>0時(shí)，拋物線開口向上,<0時(shí)，拋物線開口向下(a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小)。（2）和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線的對(duì)稱軸是直線，故：①時(shí)，對(duì)稱軸為軸；②（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè).（口訣：左同右異，即a、b同號(hào)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)）（3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：①，拋物線經(jīng)過原點(diǎn);②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，則.3.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)。因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)。當(dāng)>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)。對(duì)稱軸，在x軸上截的線段長是。4.二次函數(shù)圖象的平移①對(duì)于拋物線y=ax2+bx+c的平移.通常先將一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，再遵循左加右減，上加下減的的原則,化為頂點(diǎn)式有兩種方法：配方法，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式法。在用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)后，在寫頂點(diǎn)式時(shí)，要減去頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，加上頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。②沿軸平移：向上（下）平移（m＞0）個(gè)單位，變成（或）③當(dāng)然，對(duì)于拋物線的一般式平移時(shí)，也可以不把它化為頂點(diǎn)式：向左（右）平移（m＞0）個(gè)單位，變成（或）5.二次函數(shù)的最值如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時(shí)，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=時(shí)，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。例題講解【例1】已知函數(shù)y=x2-2x-3，（1）寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及圖象與y軸的交點(diǎn)關(guān)于圖象對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)。然后畫出函數(shù)圖象的草圖；（2）求圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積：（3）根據(jù)第（1）題的圖象草圖，說出x取哪些值時(shí)，①y=0；②y<0；③y>0【例2】如圖，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-2，0）和（-1，0）之間（包括這兩點(diǎn)），頂點(diǎn)C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（1）abc0（＞或＜或=）（2）a的取值范圍是 OOO-1OxOy1323【例3】下列二次函數(shù)中，圖象以直線x=2為對(duì)稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)(0，1)的是()A．y=(x?2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x?2)2?3D．y=(x+2)2?3【例1】已知二次函數(shù)的圖像（0≤x≤3）如圖所示,關(guān)于該函數(shù)在所給自變量取值范圍內(nèi),下列說法正確的是()A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1,有最大值0C．有最小值－1,有最大值3 D．有最小值－1,無最大值【練習(xí)1】拋物線y=x2-2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.【練習(xí)2】二次函數(shù)有()A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【練習(xí)3】由二次函數(shù)，可知（）A．其圖象的開口向下B．其圖象的對(duì)稱軸為直線C．其最小值為1D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大【例4】已知函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是()A. B. C.且 D.且【練習(xí)4】下列函數(shù)中,當(dāng)x>0時(shí)y值隨x值增大而減小的是（）．A．y=x2 B．y=x－１ C．y=eq\f(3,4)x D．y=eq\f(1,x)【練習(xí)5】若二次函數(shù)．當(dāng)≤l時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍是（）=lB．>lC．≥lD．≤l【練習(xí)6】已知二次函數(shù)y=（x+m）2+2，當(dāng)x＞2時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________ .【例5】將拋物線向左平移2個(gè)單位后，得到的拋物線的解析式是()A．B．C．D．【練習(xí)7】將拋物線y=x2－2x向上平移3個(gè)單位,再向右平移4個(gè)單位等到的拋物線是_______.【練習(xí)8】拋物線可以由拋物線平移得到,則下列平移過程正確的是()A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位【例6】如圖為拋物線的圖像，A、B、C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且OA=OC=1，則下列關(guān)系中正確的是()A．a(chǎn)＋b=－1B．a(chǎn)－b=－1C．b<2aD．a(chǎn)c<0【練習(xí)9】已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()a>0B．b＜0C．c＜0D．a(chǎn)＋b＋c>0【練習(xí)10】如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，劉星同學(xué)觀xy-11O1察得出了下面四條信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+cxy-11O1A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)【練習(xí)11】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【練習(xí)12】如圖，是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象的一部分，給出下列命題：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1；④a-2b+c＞0．其中正確的命題是．（只要求填寫正確命題的序號(hào)）【練習(xí)13】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，兩條拋物線有相同的對(duì)稱軸，則下列關(guān)系正確的是（）A．m＝n，k＞hB．m＝n，k＜hC．m＞n，k＝hD．m＜n，k＝h【例7】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A．B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求直線AC的解析式及B．D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A．P、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）請(qǐng)?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．【例8】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；（3）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值．【例9】如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊），與y軸交于C，連接BC，以BC為一邊，點(diǎn)O為對(duì)稱中心作菱形BDEC，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q。（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l分別交BD、BC于點(diǎn)M、N。試探究m為何值時(shí)，四邊形CQMD是平行四邊形，此時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)Q，使⊿BDQ為直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。練習(xí)1、平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5m處．繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂．已知學(xué)生丙的身高是1．5m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m2、已知函數(shù)，則使y=k成立的x值恰好有三個(gè)，則k的值為（）A．0 B．1 C．2 D．33.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（）.4.如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（－1，0），（1，－2），當(dāng)隨的增大而增大時(shí)，的取值范圍是．5.若二次函數(shù)y=ax2+4，當(dāng)x分別取x1、x2（x1≠x2）時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)x?。▁1+x2）時(shí)，函數(shù)值是____6.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線繞著它與y軸的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（）．A．B．C．D．7已知二次函數(shù)的圖像如圖，其對(duì)稱軸，給出下列結(jié)果①②③④⑤，則正確的結(jié)論是（）A.①②③④B.②④⑤C.②③④D.①④⑤8．拋物線上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如下表：x…－2－1012…y…04664…從上表可知，下列說法中正確的是．（填寫序號(hào)）①拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為（3,0）；②函數(shù)的最大值為6；③拋物線的對(duì)稱軸是；④在對(duì)稱軸左側(cè)，隨增大而增大．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（－2，4），過點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，連結(jié)OA．(1)求△OAB的面積；(2)若拋物線經(jīng)過點(diǎn)A．①求c的值；②將拋物線向下平移m個(gè)單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在△OAB的內(nèi)部（不包括△OAB的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）．10.“已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c，－2），，這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說明理由。11.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點(diǎn)M，且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（-1，0），B(-1，2)，D(3，0)，連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON，若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)D、M、N．（1）求拋物線的解析式（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P．使得PA=PC．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在．請(qǐng)說明理由。（3）設(shè)拋物線與x軸的另—個(gè)交點(diǎn)為E．點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸上的—個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)有最大？并求出最大值。ABABCDOENMxy圖12.如圖，拋物線y=x2+bx－2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（一1，0）．⑴求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；⑶點(diǎn)M(m，0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+DM的值最