4.2.1等差數(shù)列的概念（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．(2023·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高二階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．90 B．100 C．180 D．2002．(2023·云南保山·高一期末）干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法，干支是天干和地支的總稱甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸為天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為地支，把十天干和十二地支依次相配，如甲對子、乙對丑、丙對寅、…、癸對寅，其中天干比地支少兩位，所以天干先循環(huán)，甲對戍、乙對亥…接下來地支循環(huán)，丙對子、丁對丑、…，以此用來紀(jì)年，今年2022年是壬寅年，那么中國共產(chǎn)黨成立時(shí)的1921年是（

）A．戊辰年 B．壬戌年 C．辛酉年 D．庚午年3．(2023·北京市第一六一中學(xué)高二期中）數(shù)列{}中，則該數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)乘積為負(fù)數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若，，，…，為各項(xiàng)都大于0的等差數(shù)列，公差，則（

）．A． B．C． D．5．(2023·廣東珠海·高二期末）已知數(shù)列，，點(diǎn)在直線上，則（

）A．2 B．3 C．4 D．56．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．7．(2023·四川·遂寧中學(xué)高一期末）在2022北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨(dú)有的浪漫傳達(dá)給了全世界.我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同，即太陽照射物體影子的長度增長或減少的量相同，周而復(fù)始（晷是按照日影測定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，已知雨水的晷長為9.5尺，立冬的晷長為10.5尺，則大雪所對的晷長為（

）A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺8．(2023·四川遂寧·模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則（

）A．4043 B．4042 C．4041 D．4040二、多選題9．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）在等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，依次取出項(xiàng)的序號被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列，則（

）A． B．C． D．中的第506項(xiàng)是中的第2022項(xiàng)10．(2023·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）已知方程的四個根組成一個首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則的值等于（

）A． B． C． D．三、填空題11．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，，從第9項(xiàng)開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是______．12．(2023·江蘇南京·高二期末）寫出一個同時(shí)具有下列性質(zhì)（1）（2）（3）的數(shù)列的通項(xiàng)公式：___________．（1）是無窮等差數(shù)列；（2）數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；（3）數(shù)列的最小項(xiàng)有且僅有第5項(xiàng)．四、解答題13．(2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；14．(2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)高二期中）已知數(shù)列滿足，，．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求n為何值時(shí)，最?。瓸能力提升15．(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）1934年，東印度（今孟加拉國）學(xué)者森德拉姆（Sundaram）發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”：4

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…(1)這個“正方形篩子”的每一行有什么特點(diǎn)？每一列呢？(2)“正方形篩子”中位于第100行的第100個數(shù)是多少？16．(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）諾沃爾（Knowall）在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人類都可以看到這顆彗星，即彗星每隔83年出現(xiàn)一次．(1)從發(fā)現(xiàn)那次算起，彗星第8次出現(xiàn)是在哪一年？(2)你認(rèn)為這顆彗星會在2500年出現(xiàn)嗎？為什么？C綜合素養(yǎng)17．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18．(2023·江蘇·金沙中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且．(1)求證：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．4.2.1等差數(shù)列的概念（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．(2023·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高二階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．90 B．100 C．180 D．200答案：C【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，故，故，而，故選：C.2．(2023·云南保山·高一期末）干支紀(jì)年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法，干支是天干和地支的總稱甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸為天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥為地支，把十天干和十二地支依次相配，如甲對子、乙對丑、丙對寅、…、癸對寅，其中天干比地支少兩位，所以天干先循環(huán)，甲對戍、乙對亥…接下來地支循環(huán)，丙對子、丁對丑、…，以此用來紀(jì)年，今年2022年是壬寅年，那么中國共產(chǎn)黨成立時(shí)的1921年是（

）A．戊辰年 B．壬戌年 C．辛酉年 D．庚午年答案：C【詳解】解：根據(jù)題意可得，天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，從1921年到2022年經(jīng)過101年，且2022年為“壬寅”年，以2022年的天干和地支分別為首項(xiàng)，則，則1921年的天干為辛，，則1921年的地支為酉，所以1921年為辛酉年．故選：C．3．(2023·北京市第一六一中學(xué)高二期中）數(shù)列{}中，則該數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)乘積為負(fù)數(shù)的是（

）A． B． C． D．答案：C【詳解】依題意，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，由得，所以故選：C4．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若，，，…，為各項(xiàng)都大于0的等差數(shù)列，公差，則（

）．A． B．C． D．答案：B【詳解】由題意，可知，，故選項(xiàng)C、D錯誤；由，，，則，即，故選：B.5．(2023·廣東珠海·高二期末）已知數(shù)列，，點(diǎn)在直線上，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D【詳解】因點(diǎn)在直線上，所以，所以數(shù)列是以為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，所以，故選：D6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．答案：D【詳解】因?yàn)?，所以．又，故，所以?shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，則．故選：D．7．(2023·四川·遂寧中學(xué)高一期末）在2022北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨(dú)有的浪漫傳達(dá)給了全世界.我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同，即太陽照射物體影子的長度增長或減少的量相同，周而復(fù)始（晷是按照日影測定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，已知雨水的晷長為9.5尺，立冬的晷長為10.5尺，則大雪所對的晷長為（

）A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺答案：B【詳解】設(shè)相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為，則立冬到大雪增加，大雪到雨水先增加一個再減少,設(shè)大雪的晷長為,則,解得,故選：B.8．(2023·四川遂寧·模擬預(yù)測（文））已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則（

）A．4043 B．4042 C．4041 D．4040答案：A【詳解】由知：為等差數(shù)列，又，，則公差，所以，故，則，可得，而也滿足，所以，則.故選：A二、多選題9．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）在等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，依次取出項(xiàng)的序號被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列，則（

）A． B．C． D．中的第506項(xiàng)是中的第2022項(xiàng)答案：AC【詳解】因?yàn)椋?，所以，故C正確；數(shù)列中項(xiàng)的序號被4除余3的項(xiàng)是第3項(xiàng)、第7項(xiàng)、第11項(xiàng)、…，所以，，故A正確，B錯誤；對于D，設(shè)數(shù)列中的第k項(xiàng)是數(shù)列中的第m項(xiàng)，則，所以當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列中的第506項(xiàng)是中的第2023項(xiàng)，故D錯誤．故選：AC10．(2023·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）已知方程的四個根組成一個首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則的值等于（

）A． B． C． D．答案：BD【詳解】設(shè)方程的四根分別為、、、，則數(shù)列、、、是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，①若、為方程的兩根，則、為方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，可得，，則，，此時(shí)，，則；②若、為的兩根，、為方程的兩根，同理可得，，則.綜上所述，.故選：BD.三、填空題11．(2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中，，從第9項(xiàng)開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是______．答案：【詳解】由題意知，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，即，解得.故答案為：.12．(2023·江蘇南京·高二期末）寫出一個同時(shí)具有下列性質(zhì)（1）（2）（3）的數(shù)列的通項(xiàng)公式：___________．（1）是無窮等差數(shù)列；（2）數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；（3）數(shù)列的最小項(xiàng)有且僅有第5項(xiàng)．答案：(答案不唯一)【詳解】由題意可得，滿足（1）是無窮等差數(shù)列；（2）數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列；（3）數(shù)列的最小項(xiàng)有且僅有第5項(xiàng)，故答案為：（答案不唯一）四、解答題13．(2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；答案：證明見解析，.【詳解】證明：，，，則，即，解得，所以，，即，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故.14．(2023·湖北·荊門市龍泉中學(xué)高二期中）已知數(shù)列滿足，，．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求n為何值時(shí)，最?。鸢福?1)(2)或(1)解：由且，即，即又，，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上式也成立．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2)解：由（1）可知．當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)或時(shí)，的值最小．B能力提升15．(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）1934年，東印度（今孟加拉國）學(xué)者森德拉姆（Sundaram）發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子”：4

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…(1)這個“正方形篩子”的每一行有什么特點(diǎn)？每一列呢？(2)“正方形篩子”中位于第100行的第100個數(shù)是多少？答案：(1)答案見解析．(2)20200(1)觀察“正方形篩子”得，每一行都成等差數(shù)列，每一列也都成等差數(shù)列，第行和第列的公差相等，為；(2)由（1）得第100行的第一個數(shù)是，第100行的公差是201，所以第100行的第100個數(shù)是．16．(2023·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）諾沃爾（Knowall）在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人類都可以看到這顆彗星，即彗星每隔83年出現(xiàn)一次．(1)從發(fā)現(xiàn)那次算起，彗星第8次出現(xiàn)是在哪一年？(2)你認(rèn)為這顆彗星會在2500年出現(xiàn)嗎？為什么？答案：(1)2321年(2)不會(1)1740，1823，1906，1989，…，構(gòu)成等差數(shù)列首項(xiàng)，公差，通項(xiàng)公式為故，即彗星第8次出現(xiàn)是在2321年.(2)由，解得，故這顆彗星不會在2500年出現(xiàn).C綜合素養(yǎng)17．(2023·全國·高三專