第二章微積分的直接基礎(chǔ)——極限主講人:陳建凱2024/7/14§1從阿基里斯追趕烏龜談起

——數(shù)列極限割圓術(shù)

我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》利用圓內(nèi)接正多邊形計(jì)算圓面積的方法--割圓術(shù)，就是極限思想在幾何上的應(yīng)用。一、數(shù)列概念2024/7/14“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”播放——(魏晉)劉徽割圓術(shù)2024/7/14正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積說明：劉徽從圓內(nèi)接正六邊形，逐次邊數(shù)加倍到正3072邊形得到圓周率的近似值為3.14162024/7/14數(shù)列的定義例如稱為無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列.

2024/7/14說明：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)2024/7/14

公元前五世紀(jì),以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家芝諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識,引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑,讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始,假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍,也永遠(yuǎn)也追不上烏龜.芝諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時(shí)候,阿基里斯跑了1000米,此時(shí)烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個(gè)100米時(shí),烏龜仍然前于他10米,…,

如此分析下去,顯然阿基里斯離烏龜越來越近,但卻是永遠(yuǎn)也追不上烏龜?shù)?這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,但奇怪的是,這種推理在邏輯上卻沒有任何毛病.那么,問題究竟出在哪兒呢？

芝諾悖論—阿基里斯與烏龜2024/7/14

如果我們從級數(shù)的角度來分析這個(gè)問題,芝諾的這個(gè)悖論就會不攻自破.

2024/7/142024/7/14中國古代哲學(xué)家稱悖論“飾人之心，易人之意，能勝人之口，不能服人之心”.科學(xué)家們通過悖論來提出問題.悖論是科學(xué)中基礎(chǔ)理論缺陷的產(chǎn)物，是對科學(xué)理論體系的挑戰(zhàn)，是對人類智力的挑戰(zhàn).研究悖論能使我們了解學(xué)科基礎(chǔ)理論的缺陷，而解決悖論的最大意義是能幫我們解決學(xué)科基礎(chǔ)理論的缺陷——修改或重建某些基礎(chǔ)理論，從而使科學(xué)研究朝著健康的方向發(fā)展.這是一種客觀的需要.2024/7/14Example Koch

雪花做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形——“Koch雪花”．2024/7/1412024/7/1422024/7/1432024/7/1442024/7/1452024/7/1462024/7/14第一次分叉：2024/7/14周長為面積為第次分叉：2024/7/14于是有雪花的面積存在極限（收斂）．結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界．做一個(gè)雪花蛋糕會比較有趣，這樣就可以宣稱“我吃掉了一條無限長的曲線”了.

2024/7/14

這種奇怪的幾何怪物的發(fā)現(xiàn),向十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)家提出了挑戰(zhàn)，因?yàn)檫@種曲線打破了人們的直覺觀念:連續(xù)曲線總能借助于鉛筆的不間斷移動(dòng)畫出來，局部曲線總是“光滑”的.但是Koch曲線提醒人們，在研究無窮過程時(shí)，直覺是一個(gè)很不可靠的向?qū)В@種挑戰(zhàn)迫使數(shù)學(xué)家們?yōu)槠渎殬I(yè)制定更高更嚴(yán)的標(biāo)準(zhǔn)，曲線的定義也需要加以修改，以適應(yīng)類似這種“病態(tài)”的雪花怪物.Koch曲線是一條浪漫的分形曲線，它的周長為無限大，曲線上任兩點(diǎn)之間的距離也是無限大，卻包圍著有限的面積.曲線在任何一點(diǎn)處都連續(xù)，但卻處處“不可導(dǎo)”（每一點(diǎn)都是“尖點(diǎn)”）.還好我的浪漫沒這么抽象

2024/7/14截杖問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”2024/7/14數(shù)列極限的定性描述Definition

如果n無限增大時(shí)，數(shù)列{an}的通項(xiàng)an無限接近于常數(shù)a，則稱該數(shù)列以a為極限，記做或如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.上例中，2024/7/14以0為極限的變量稱為無窮小量.

如每一項(xiàng)均為常數(shù)的數(shù)列稱為常數(shù)列.

常數(shù)列的極限仍是該常數(shù).

如數(shù)列{1,1,1,…}為常數(shù)列，且絕對值無限變大的變量稱為無窮大量，或稱其收斂于∞，或－∞.

如2n,-2n均為無窮大量，且為n→∞時(shí)的無窮小量2024/7/14播放數(shù)列極限的定量描述2024/7/14問題:當(dāng)n無限增大時(shí),是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它?通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:2024/7/142024/7/14如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：定義總存在正數(shù)N,

不等式記為或2024/7/14幾何解釋:其中2024/7/14例6證2024/7/14例7證2024/7/14§2函數(shù)極限1、自變量在有限點(diǎn)處的極限2024/7/143.幾何解釋:說明：2024/7/14例1證例2證2024/7/14證得證。例32024/7/14單側(cè)極限：左極限：右極限：2024/7/14解左右極限存在且相等,例42024/7/14左右極限存在但不相等,例12證2024/7/14播放2、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限2024/7/14通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”？2024/7/14例5證2024/7/14幾何解釋:2024/7/142024/7/14例7解例6解xy2024/7/14三、有極限的函數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1函數(shù)極限的唯一性性質(zhì)2有極限函數(shù)的局部有界性2024/7/14性質(zhì)4性質(zhì)3有極限函數(shù)的局部保號性注意推論2定理2024/7/143.3 無窮小(量)定義以零為極限的函數(shù)(或數(shù)列)稱為無窮小(量).例如,注:1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混為一談;3.零是唯一可以作為無窮小的數(shù).2.稱一個(gè)函數(shù)是無窮小，必須指明自變量的變化趨勢.2024/7/14無窮小和極限的關(guān)系:定理

變量u以A為極限的充分必要條件是：變量u可以表示為A與一個(gè)無窮小量的和。即lim

u=A

u=A+a

，其中a是無窮小

。定理表明：

極限概念可以用無窮小量概念來描述.無窮小量的性質(zhì)：

1°

有限多個(gè)無窮小量之和仍是無窮小量；

定理2°

無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量；

3°

有限多個(gè)無窮小量之積仍是無窮小量。

2024/7/14例1解2024/7/14無窮大(量)定義

如果變量u在其變化過程中|u|無限增大，則稱u為無窮大(量)，記作

精確定義：1.無窮大量是一個(gè)變量，不可與很大很大的數(shù)混為一談；2.稱函數(shù)是無窮大量，必須指明其自變量的變化趨勢。注:2024/7/14無窮大量與無窮小量的關(guān)系意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.例32024/7/14無窮小量階的比較例如,

比值極限不同,反映了兩者趨向于零的“快慢”程度不同.觀察各極限2024/7/14定義：2024/7/14說明:

1、稱一個(gè)變量為高階或低階無窮小，是沒有意義的，只有在同一個(gè)變化過程中的兩個(gè)無窮小比較時(shí)，才能說它們階的高低或是否同階.

2、類似可對型不定式進(jìn)行階的比較.2024/7/14例4證2024/7/14例5但是，不存在，2024/7/143.4極限的運(yùn)算法則定理2024/7/14說明：1.有兩層意思:(1)在lim

u和lim

v都存在的前提下，lim(u+v)也存在；(2)lim

(u+v)的數(shù)值等于lim

u+lim

v.2.lim

(u+v)存在,不能倒推出lim

u和lim

v都存在.3.若lim

u存在,而lim

v不存在,則lim

(u+v)必不存在.4.可推廣到有限多項(xiàng).反證:若lim

(u+v)存在,已知lim

u

存在,由定理知lim

v

存在,矛盾2024/7/14推論1推論2例12024/7/14例2解2024/7/14解例3消零因子法2024/7/14例4解一般,無窮小量分出法2024/7/14例5解2024/7/14共扼因子法，有理化法解解變量代換法

例6例72024/7/14兩個(gè)重要極限2024/7/14解所以例2例32024/7/14例12024/7/14另一個(gè)重要的極限:

以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，

可以證明，相應(yīng)的函數(shù)極限有

或2024/7/14例5解2024/7/14例62024/7/14§3 極限應(yīng)用的一個(gè)例子——連續(xù)函數(shù)1、函數(shù)的增量一、函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)2024/7/14

例1

證明函數(shù)y=x2在給定點(diǎn)x0處連續(xù)。

證

在x0處，函數(shù)的改變量為所以y=x2在給定點(diǎn)x0處連續(xù)。2、函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義2024/7/14下面給出函數(shù)連續(xù)的定義的另一種等價(jià)形式。2024/7/14例2證2024/7/14定理3.單側(cè)連續(xù)2024/7/14例3解即不右連續(xù)也不左連續(xù),xy-11O2024/7/14例4解2024/7/14二、連續(xù)函數(shù)2024/7/14三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算和初等函數(shù)的連續(xù)性定理1例如,1、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2024/7/14定理2

嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2、反函數(shù)的連續(xù)性2024/7/14定理33、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可以交換2024/7/144、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★★均在其定義域內(nèi)連續(xù).2024/7/14所有基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.也就是說，對初等函數(shù)來說，連續(xù)區(qū)間即為其定義域。2024/7/14

利用函數(shù)的連續(xù)性可以計(jì)算一些極限.

初等函數(shù)求極限的方法：代入法.例6例7解解2024/7/14定理1(有界性與最大值最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界