1.4.1用空間向量研究直線、

平面的位置關(guān)系第三課時(shí)空間中直線、平面的垂直人教A版2019高二數(shù)學(xué)（選修一）第一章空間向量與立體幾何目錄/CONTENTS新知探究情景導(dǎo)入學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂小結(jié)分層練習(xí)錯(cuò)因分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.用向量語言描述線線、線面、面面垂直的關(guān)系（重點(diǎn)）2.用向量語言證明直線、平面垂直的相關(guān)判定定理（重點(diǎn)）3.用向量語言解決立體幾何直線、平面垂直的相關(guān)問題（難點(diǎn)）類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關(guān)系？觀察下圖回答。位置關(guān)系向量表示線線垂直設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2=0線面垂直設(shè)直線l的方向向量為u,平面α的法向量為n,則l⊥α?u∥n?

?λ∈R,使得u=λn面面垂直設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2=0情景導(dǎo)入直線平面方向向量法向量位置關(guān)系空間向量立體幾何位置關(guān)系問題1如何用空間向量表示空間中直線與平面？復(fù)習(xí)回顧線線平行線面平行面面平行類似空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線，直線與直線，平面與平面的垂直關(guān)系中，直線的方向向量與平面的法向量之間有什么關(guān)系？1.空間中直線、平面垂直新知探究問題2由直線與直線垂直的關(guān)系，可以得到這兩條直線的方向向量有什么關(guān)系？顯然的，就是這兩條直線的方向向量垂直l1l2(1)問題3由直線與平面平行的關(guān)系，可以得到直線的方向向量與平面的法向量有什么關(guān)系？問題4由平面與平面平行的關(guān)系，可以得到這兩個(gè)平面的法向量有什么關(guān)系？要求：（1）以小組形式進(jìn)行討論，類比上一節(jié)課直線、平面平行的向量表示，回答出上述的兩個(gè)問題；（2）將上述的兩個(gè)問題，能夠數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解釋說明。直線與平面垂直，就是直線的方向向量與平面的法向量平行；l(2)概念歸納(3)平面與平面垂直，就是兩平面的法向量垂直概念歸納若一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．l2.平面與平面垂直判定定理新知探究1.數(shù)形結(jié)合2.轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號(hào)3.利用直線的方向向量與平面的法向量進(jìn)行解答!概念歸納BCDD1A1B1C1A例4如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.分析：直線A1C⊥平面BDD1B1A1C⊥BDA1C⊥BB1其中，n是平面BDD1B1的法向量3.利用空間向量方法解決立體幾何中直線、平面平行的相關(guān)問題新知探究BCDD1A1B1C1A例4如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.證明：因?yàn)锳B=

AD=AA1=1,所以基底法BCDD1A1B1C1A證明：則對(duì)于平面BDD1B1上任意一點(diǎn)P,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì),使得.

在平面BDD1B1上,取為基向量,基底法l例5證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，當(dāng)BF⊥PE時(shí)，AF∶FD的值為 ()A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．題型1線線垂直問題B典例剖析1．利用向量法證明線線垂直的依據(jù)和關(guān)鍵點(diǎn)(1)依據(jù)：轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量垂直，即證明它們的方向向量的數(shù)量積為0.(2)關(guān)鍵：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，正確地表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求直線的方向向量．2．應(yīng)用線線垂直求點(diǎn)的坐標(biāo)的策略(1)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)利用點(diǎn)滿足的條件建立與坐標(biāo)有關(guān)的方程．(3)通過解方程的方法求出點(diǎn)的坐標(biāo)．概念歸納1．如圖，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝BB1.求證：BC1⊥AB1.練一練證明：如圖，以點(diǎn)C1為原點(diǎn)，分別以C1A1，C1B1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．練一練如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C中點(diǎn)．求證：MN⊥平面A1BD．素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．題型2線面垂直問題典例剖析用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟方法一：(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示．(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量．(4)分別計(jì)算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.方法二：(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示．(3)求出平面的法向量．(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．提醒：用坐標(biāo)證明垂直問題，關(guān)鍵是根據(jù)題目中的垂直關(guān)系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．概念歸納練一練證明：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(xiàn)(0,3,2)，D1(3,3,3)，典例剖析方向2探究性問題

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中點(diǎn)，試在棱CC1上求一點(diǎn)P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.素養(yǎng)點(diǎn)睛：考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．典例剖析解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)將一平面內(nèi)兩相交直線的方向向量用坐標(biāo)表示．(3)由兩條相交直線的方向向量，計(jì)算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0.(4)同理求出另一個(gè)平面的法向量．概念歸納探索性問題的解決方法(1)猜測法：猜測滿足的條件，然后以此為基礎(chǔ)結(jié)合題目中的其他條件進(jìn)行證明結(jié)論成立，或者利用題目條件用變量設(shè)出條件，再結(jié)合結(jié)論逆向推導(dǎo)出變量的取值．(2)逆推法：利用結(jié)論探求條件；如果是存在型問題，那么先假設(shè)結(jié)論存在，若推證無矛盾，則結(jié)論存在；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在．概念歸納3．在三棱錐P－ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直且相等，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點(diǎn)，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證：平面EFG⊥平面PBC．證明：方法一，如圖，以三棱錐的頂點(diǎn)P為原點(diǎn)，以PA，PB，PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．令PA＝PB＝PC＝3，則A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，練一練如圖，在棱長為2的正方體中ABCD－A1B1C1D1，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)當(dāng)λ＝1時(shí)，求證：直線BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ，使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．規(guī)范解答利用空間向量解答平行、垂直問題典例剖析分析：(1)要證明BC1∥平面EFPQ，只要證明BC1與平面EFPQ內(nèi)的一條直線平行，依據(jù)題意可證BC1∥FP.(2)由平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角知，兩個(gè)平面互相垂直，故它們的法向量互相垂直，由此可根據(jù)數(shù)量積為0，求λ的值．反思感悟1．關(guān)注解決空間平行、垂直關(guān)系的依據(jù)平行、垂直關(guān)系的向量表示是解題依據(jù)，是解題的前提和根本，也是避免無謂丟分的關(guān)鍵，如本例利用向量平行證明線線平行；通過證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直，得兩個(gè)平面互相垂直．2．準(zhǔn)確計(jì)算，避免失誤利用向量法解決空間平行垂直問題的最大特點(diǎn)是通過計(jì)算證明位置關(guān)系，這也是向量法與幾何法的主要區(qū)別．因此，準(zhǔn)確計(jì)算是此類問題的關(guān)鍵，如本例中兩個(gè)平面的法向量坐標(biāo)必須計(jì)算準(zhǔn)確.概念歸納課本練習(xí)ABCDD1A1B1C1xyzABCDD1A1B1C1EFxyzABCDD1A1B1C1EFxyz1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，則 (

)A．l1∥l2 B．l1⊥l2C．l1，l2相交不垂直 D．不能確定【解析】因?yàn)閍＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，所以1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，即a·b＝0，所以a⊥b.所以l1⊥l2.分層練習(xí)-基礎(chǔ)B2．兩平面α，β的法向量分別為u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y,1)，若α⊥β，則y＋z的值是 (

)A．－3 B．6C．－6 D．－12【解析】α⊥β?u·v＝0?－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.分層練習(xí)-基礎(chǔ)B4分層練習(xí)-基礎(chǔ)4．向量a＝(－1,2，－4)，b＝(2，－2,3)是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，直線l的一個(gè)方向向量m＝(2,3,1)，則l與α是否垂直？________(填“是”或“否”)．【答案】否【解析】m·a＝(2,3,1)·(－1,2，－4)＝－2＋6－4＝0，m·b＝(2,3,1)·(2，－2,3)＝4－6＋3＝1≠0.所以l與α不垂直．分層練習(xí)-基礎(chǔ)5．如圖，在四棱錐E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.求證：平面ADE⊥平面ABE.分層練習(xí)-鞏固分層練習(xí)-鞏固分層練習(xí)-鞏固6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AC的中點(diǎn).求證:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.分層練習(xí)-鞏固證明

以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,則

分層練習(xí)-鞏固7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求證:BD⊥平面PAC.分層練習(xí)-鞏固證明

因?yàn)锳P⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空