1-微專題34向量的模長問題——幾何法一、基礎學問：1、向量和差的幾何意義：已知向量，則有：（1）若共起點，則利用平行四邊形法則求，可得是以為鄰邊的平行四邊形的對角線（2）若首尾相接，則利用三角形法則求出，可得，圍成一個三角形2、向量數乘的幾何意義：對于（1）共線（平行）特點：與為共線向量，其中時，與同向；時，與反向（2）模長關系：3、與向量模長問題相關的定理：（1）三角形中的相關定理：設三個內角所對的邊為①正弦定理：②余弦定理：（2）菱形：對角線垂直平分，且為內角的角平分線特殊的，對于底角的菱形，其中一條對角線將此菱形分割為兩個全等的等邊三角形。（3）矩形：若四邊形的平行四邊形，則對角線相等是該四邊形為矩形的充要條件4、利用幾何法求模長的條件：條件中的向量運算可構成特殊的幾何圖形，且所求向量與幾何圖形中的某條線段相關，則可考慮利用條件中的幾何學問處理模長二、典型例題：例1：（2015屆北京市重點中學高三8月開學測試數學試卷）已知向量的夾角為，且，則（）A.B.C.D.思路：本題利用幾何圖形可解，運用向量加減運算作出如下圖形：可知，只需利用余弦定理求出即可。解：如圖可得：，在中，有：即：解得或（舍）所以，答案：選例2：若平面對量兩兩所成的角相等，且，則等于（）A.B.C.或D.或思路：首先由兩兩所成的角相等可推斷出存在兩種狀況：一是同向（如圖1，此時夾角均為0），則為，另一種狀況為兩兩夾角（如圖2），以為突破口，由平行四邊形法則作圖得到與夾角相等，（底角為的菱形性質），且與反向，進而由圖得到，選C答案：C例3：已知向量，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.思路：先作出，即有向線段，考慮，將的起點與重合，終點繞旋轉且，則即為的長度，通過視察可得與共線時達到最值。所以，且連續(xù)改變，所以的取值范圍是答案：C例4：設是兩個非零向量，且，則_______思路：可知為平行四邊形的一組鄰邊和一條對角線，由可知滿意條件的只能是底角為，邊長的菱形，從而可求出另一條對角線的長度為答案：例5：已知為平面對量，若與的夾角為，與的夾角為，則（）A.B.C.D.思路：可知為平行四邊形的一組鄰邊及對角線，通過作圖和平行四邊形性質得：在中，，由正弦定理可得：，即答案：D例6：已知是單位向量，且的夾角為，若向量滿意，則的最大值為（）A.B.C.D.思路：本題已知模長且夾角特殊，通過作圖可得為模長為，設，則可得且，而可視為以共起點，終點在以起點為圓心，2為半徑的圓上。通過數形結合可得的最大值為（此時的終點位于點）答案：A例7：在中，，設是的中點，是所在平面內的一點，且，則的值是（）A.B.C.D.思路：本題的關鍵在于確定點的位置，從而將與已知線段找到聯(lián)系，將考慮變形為，即，設，則三點共線，且，所以由平行四邊形性質可得：答案：B例8：已知向量，對隨意的，恒有，則的值為________思路：本題以作為突破口，通過作圖設，為直線上一點，則有。從而可得，即，所以點為直線上到距離最短的線段，由平面幾何學問可得最短的線段為到的垂線段。所以，即，所以有答案：0小煉有話說：本題若用圖形解決，找到在圖上的位置和兩個向量的聯(lián)系是關鍵例9：已知平面對量滿意，且，若向量的夾角為，則的最大值是_________思路：由條件可得夾角的余弦值，若用代數方法處理夾角的條件，則運算量較大。所以考慮利用圖形，設，則，即，從而，可判定四點共圓，則的最大值為四邊形外接圓的直徑，即的直徑。在中，由余弦定理可得：，所以，由正弦定理可得：，即答案：小煉有話說：若條件中向量的夾角為特殊角且很難用數量積，模進步行計算時，可考慮找尋幾何圖形進行求解。例10：（2010年，浙江，16）已知平面對量滿意，且與的夾角為，則的取值范圍是___________思路：本題很難找到與數量積相關的條件，那么考慮利用圖形協(xié)助求解。從圖中可視察到構成，，從而可利用正余弦定理求出即的取值范圍解：在中，由正弦定理可得：而答案：的取值范圍是小煉有話說：例題中的部分問題也可采納模長平方的方式，從而轉化成為數量積求解。詳細解法如下：例1：解：，解得例2：解：夾角相同當