試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2022年9月《浙江省新高考研究卷》（全國I卷）數(shù)學(xué)試題（一）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．若集合，則（

）A． B． C． D．或2．若復(fù)數(shù)z滿足，，則（

）A．1 B． C．2 D．3．已知，，（

）A． B． C． D．4．設(shè)直線與平面，所成角分別為，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．某工廠要生產(chǎn)容積為的圓柱形密封罐.已知相同面積的底的成本為側(cè)面成本的倍，為使成本最小，則圓柱的高與底面半徑之比應(yīng)為（

）A． B． C． D．6．從2至8這7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取3個(gè)不同的整數(shù)，則這三個(gè)數(shù)能作為銳角三角形三邊長的概率為（

）A． B． C． D．7．已知，是橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過且傾斜角為的直線交橢圓C于點(diǎn)P，Q（P在第一象限），與的平分線分別交直線于點(diǎn)M，N，則M，N縱坐標(biāo)比（

）A． B． C． D．－18．已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且對于，，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知函數(shù)的一條對稱軸為，則（

）A．的最小正周期為 B．C．在上單調(diào)遞增 D．10．已知，則（

）A． B．C． D．11．如圖，已知，點(diǎn)M，N滿足，，BN與CM交于點(diǎn)P，AP交BC于點(diǎn)D，.則（

）A． B．C． D．12．已知1，，，…，，2為等差數(shù)列，記，，則（

）A．為常數(shù) B．為常數(shù)C．隨著n的增大而增大 D．隨著n的增大而增大三、填空題13．已知函數(shù)，則______.14．寫出一個(gè)半徑為2，且與圓內(nèi)切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程______.15．已知變量X，Y滿足回歸模型，令，利用，的樣本數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程，則根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)變量X的方差為______.16．已知正四面體ABCD，M，N分別是棱AB，CD上的點(diǎn)，且滿足，直線MN的軌跡為曲面.P，Q，R分別為AB，AC，AD的中點(diǎn)，曲面與平面PQR的交線為圓錐曲線的一部分，該圓錐曲線的離心率為______.四、解答題17．已知長方體，，，，P，Q，R分別為AB，，的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求到平面的距離.18．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為數(shù)列的前n項(xiàng)和.(1)求；(2)若對于，恒成立，求的取值范圍.19．小軍在校園內(nèi)測對岸廣電大廈樓頂無線塔的高度，他在校園水平面上選取兩點(diǎn)，測得，測得，，，，.(1)求；(2)求無線塔的高度.20．小明進(jìn)行射擊練習(xí)，他第一次射擊中靶的概率為0.7，從第二次射擊開始，若前一次中靶，則該次射擊中靶的概率為0.9，否則中靶概率為0.7.(1)求小明射擊3次恰有2次中靶的概率；(2)①分別求小明第2次，第3次中靶的概率.②求小明第n次中靶的概率.21．已知直線l：為雙曲線C：的一條漸近線，且雙曲線C經(jīng)過點(diǎn).(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)A，B是雙曲線右支上兩點(diǎn)，若直線l上存在點(diǎn)P，使得為正三角形，求直線AB的斜率的取值范圍.22．已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，證明：；(2)證明：對于，存在的極值點(diǎn)，滿足.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【分析】將集合分別化簡，然后根據(jù)集合的運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】將集合化簡即可得到，，則，所以故選:B.2．C【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接求解.【詳解】由，∴.故選：C3．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：因?yàn)?，即，，，所?故選：D4．B【分析】從充分和必要兩個(gè)方面分別舉反例和證明得出結(jié)論.【詳解】充分條件:如圖正方體中取直線l與平面，所成角分別為，，由,不平行,故“”是“”不充分條件必要條件:設(shè)直線l與平面，所成角分別為，,若,在取一點(diǎn)作直線,,與所成角相等,與所成角與線面角，都互余,所以,故“”是“”的必要條件;故選:.5．D【分析】設(shè)圓柱底面半徑為，高為，利用圓柱體積公式可得；設(shè)單位面積的成本為，總成本為，結(jié)合圓柱底面積和側(cè)面積公式可表示出，利用三項(xiàng)基本不等式的取等條件可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為，高為，則，；設(shè)單位面積的成本為，總成本為，圓柱上下底的總面積為，側(cè)面積為，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），當(dāng)總成本最小時(shí)，，.故選：D.6．C【分析】根據(jù)題意可知，從7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取3個(gè)不同的整數(shù)共有種組合，再列舉出這三個(gè)數(shù)能作為銳角三角形三邊長的所有情況，即可求出其概率.【詳解】由題可知，從2至8這7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取3個(gè)不同的整數(shù)，共有種組合，若要這三個(gè)數(shù)能作為銳角三角形三邊長，設(shè)三角形的三邊長為，且，由余弦定理可知，只需滿足即可；三角形的三邊長為4，5，6時(shí)，，滿足題意；三角形的三邊長為4，6，7時(shí)，，滿足題意；三角形的三邊長為4，7，8時(shí)，，滿足題意；三角形的三邊長為5，6，7時(shí)，，滿足題意；三角形的三邊長為5，7，8時(shí)，，滿足題意；三角形的三邊長為6，7，8時(shí)，，滿足題意；所以，共6種組合滿足題意；即能作為銳角三角形三邊長的概率為.故選：C.7．A【分析】根據(jù)題意可寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立解得兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)是直線與角平分線的交點(diǎn)，再利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等即可解出符合題意的縱坐標(biāo)取值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，如圖所示，，過且傾斜角為的直線方程為聯(lián)立直線和橢圓方程整理得，解得或又因?yàn)镻在第一象限，所以，，所以直線的方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在的平分線上，即點(diǎn)到直線與直線（軸）的距離相等，又點(diǎn)直線上，設(shè)所以，即，解得或（舍）；同理，直線的方程為，設(shè)，點(diǎn)到直線與直線（軸）的距離相等，，即，解得或（舍）；所以故選：A.8．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)設(shè)在中，∵對于，，∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∴，解得：故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對新函數(shù)的構(gòu)造，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性比較大小等，具有很強(qiáng)的綜合性.9．ABD【分析】先根據(jù)二倍角的余弦公式將函數(shù)化簡，然后再利用余弦函數(shù)的的對稱軸即可求出函數(shù)的解析式，最后再逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的一條對稱軸為，所以，解得：，又因?yàn)椋?，則，對于，函數(shù)的最小正周期，故選項(xiàng)正確；對于，，故選項(xiàng)正確；對于，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于，因?yàn)?，令，?dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，也即，當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞減，則，也即，綜上可知：恒成立，故選項(xiàng)正確，故選：.10．AC【分析】對AB，根據(jù)二項(xiàng)式公式求解對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)求解即可；對CD，利用賦值法分別求與和判斷即可.【詳解】對A，為展開式中最高次項(xiàng)系數(shù)，只能由展開式的最高次項(xiàng)相乘，故為，即，故A正確；對B，，故，故B錯(cuò)誤；對C，令，則，即，令，則，即.故，故C正確；對D，令，則，結(jié)合C，，故...①又...②，①+②可得，故，，故，故D錯(cuò)誤.故選：AC11．BC【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三點(diǎn)共線的向量表示，逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】三點(diǎn)共線，設(shè)，三點(diǎn)共線，設(shè)，A選項(xiàng)：，，∴，解得，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：由，得，三點(diǎn)共線，則，即，得，即，有，得，所以B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，所以C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC12．ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可得，進(jìn)而可判斷AC，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而判斷的單調(diào)性，即可判斷BD.【詳解】由于1，，，…，，2為等差數(shù)列，所以，對于A，，所以A正確，對于C，，隨著n的增大而增大，故正確，對于B,1，，，…，，2,公差為,所以，因此，不為常數(shù)，故B錯(cuò)誤，對于D,,所以，令，則在恒成立，所以，即，(）,因此，所以,進(jìn)而，所以，故隨著n的增大而增大，D正確，故選：ACD13．##【分析】根據(jù)分段函數(shù)各分段定義域，先求出，即可最后求值.【詳解】，∴.故答案為：14．（答案不唯一）【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，兩圓內(nèi)切時(shí)需滿足圓心距等于兩半徑之差的絕對值，即可寫出符合題意的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（答案不唯一）【詳解】由題意可知，圓的圓心為，半徑為1；半徑為2的圓與內(nèi)切，則圓心距為，即半徑為2的圓的圓心到原點(diǎn)距離為1，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為故答案為：15．23【分析】根據(jù)方差與均值的關(guān)系解決即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，，所以根?jù)方差與均值的關(guān)系得，.故答案為：2316．##【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)出，進(jìn)而表達(dá)出，寫出直線的方程，結(jié)合得到曲面與平面PQR的交線方程為，為雙曲線，從而求出離心率.【詳解】以BD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)C，OD所在直線分別為x軸，y軸，取z軸⊥平面BCD，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，作AE⊥平面BCD，則E為等邊三角形的中心，故E為CO的接近O的三等分點(diǎn)，故，由勾股定理得：，，設(shè)，因?yàn)锽M=CN，∴，，直線的方程為，因?yàn)镻，Q，R分別為AB，AC，AD的中點(diǎn)，且，所以平面PQR的方程為，代入MN的方程得：，故，則得：，即，故曲面與平面PQR的交線方程為，為雙曲線，其中，故離心率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵為求出空間之間方程，由于過空間一點(diǎn)只能作一條直線平行于已知直線，所以當(dāng)直線上一點(diǎn)和它的一方向向量時(shí)，直線的方程為.17．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后證明即可；（2）算出平面的法向量即可求解.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，所以，，，，，所以，，所以，即；?），，設(shè)平面的法向量為，則，可得，所以可取，因?yàn)?，所以求到平面的距離為.18．(1)(2)【分析】（1）依題意可得，利用裂項(xiàng)相消法求和即可；（2）分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，求出的取值范圍，依題意參變分離可得恒成立，則即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?（2）解：當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，且隨的增加而增加，所以，所以，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，且隨的增加而減小，所以，所以，綜上可得且，且，所以的最大值為（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得），因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪?，所以，所以的取值范圍?19．(1)(2)【分析】（1）在中，利用正弦定理可求得；（2）在中，利用正弦定理可求得；在中，利用余弦定理可求得.【詳解】（1），，，在中，由正弦定理得：.（2），，，在中，由正弦定理得：；在中，由余弦定理得：，.20．(1)(2)①第2次中靶的概率為，第3次中靶的概率為；②小明第n次中靶的概率為【分析】（1）根據(jù)題意，將3次射擊恰有2次中靶分成三種情況分別計(jì)算概率，然后將概率相加即可；（2）①將第2次中靶分成第一次中靶和第一次未中靶兩種情況分別計(jì)算即可，同理可得第3次中靶的概率；②小明第n次中靶的概率是由第次中靶和未中靶兩種情況組成，可通過構(gòu)造數(shù)列求得結(jié)果.【詳解】（1）小明射擊3次恰有2次中靶包括以下三種情況：第一種：第一、二次中靶，第三次未中靶，其概率為；第二種：第一、三次中靶，第二次未中靶，其概率為；第三種：第二、三次中靶，第一次未中靶，其概率為;所以，小明射擊3次恰有2次中靶的概率為（2）小明第2次中靶的概率由以下兩種情況組成：第一種：第一次中靶、第二次也中靶，其概率為；第二種：第一次未中靶、第二次中靶，其概率為；所以，小明第2次中靶的概率為.因此，小明第2次未中靶的概率為同理，第3次中靶的概率包括以下兩種情況：第一種：第二次中靶、第三次也中靶，其概率為；第二種：第二次未中靶、第三次中靶，其概率為；則小明第3次中靶的概率為②設(shè)小明第n次中靶的概率為，則第次中靶的概率為，第n次中靶的概率由以下兩種情況組成：第一種：第次中靶，第n次也中靶，其概率為；第二種：第次未中靶，第n次中靶，其概率為；第n次中靶的概率即，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；所以，即當(dāng)時(shí)，符合該式；所以，小明第n次中靶的概率為21．(1)(2)【分析】(1)根據(jù)漸近線方程求出的關(guān)系，再根據(jù)過點(diǎn)求出方程.(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)易得為原點(diǎn)，驗(yàn)證；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)設(shè)方程為，點(diǎn)，又為正三角形找到的關(guān)系，化簡求解.【詳解】（1）雙曲線C：的漸近線為直線l：為曲線C：的漸近線，所以即，所以雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線C經(jīng)過點(diǎn).即，所以，所以雙曲線方程為：（2）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則為原點(diǎn)，則，舍去.由題意得的斜率一定不為零，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)方程為，點(diǎn).把直線方程代入雙曲線方程得：并且即則故線段的中點(diǎn)為，又為正三角形，故，由正三角形可得即則即代入，若，則，不滿足，則，得則，又兩點(diǎn)在右支上，故，則，解得.【點(diǎn)睛】解析幾何中與正三角形結(jié)合的問題都要轉(zhuǎn)化為邊長與高線的長度關(guān)系.根據(jù)關(guān)系找到韋達(dá)定理的關(guān)系式，然后設(shè)定的方程與曲線聯(lián)立尋找韋達(dá)定理，代入整理要求的內(nèi)容.22．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得是其導(dǎo)數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，由此得到一個(gè)方程，解之即得；（2）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性可得，根據(jù)兩角差的正切公式可得，結(jié)合時(shí)，，即可得，由的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）函數(shù)在定義域上可導(dǎo)，①令，得．顯然，對于滿足上述方程的有，上述方程化簡為．此方程一定有解．的極值點(diǎn)一定滿足．由，得．因此，．（2）設(shè)，，，則，所以在，，上單調(diào)遞增，由于為奇函數(shù)，所以不妨設(shè)，其中，且為相鄰