1.3.2球的體積和表面積

球的體積和表面積體積公式V=①

πR3

(其中R為球的半徑)表面積公式S=②

4πR2

(其中R為球的半徑)

判斷正誤,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“?”.1.將兩個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球熔鑄成一個(gè)大球,則這個(gè)大球的半徑為2.

(

?)將兩個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球熔鑄成一個(gè)大球,則大球的體積V=2×

π×13=

,設(shè)大球的半徑為R,則有

πR3=

,所以R=

.2.正方體的內(nèi)切球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)相等.

(√)3.正方體的外接球的直徑與正方體的棱長(zhǎng)相等.

(

?)正方體的外接球的直徑與正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)相等.4.一個(gè)圓柱的底面直徑和高都等于一個(gè)球的直徑,則該圓柱與球的體積之比為

3∶2.

(√)設(shè)球的半徑為R,則圓柱的體積為πR2×2R=2πR3,球的體積為

πR3,它們的體積之比為3∶2.5.一個(gè)圓柱的底面直徑和高都等于一個(gè)球的直徑,則該圓柱與球的表面積之比為

4∶3.

(

?)設(shè)球的半徑為R,則圓柱的表面積為2πR2+2πR×2R=6πR2,球的表面積為4πR2,它們的

表面積之比為3∶2.

外接球問(wèn)題

圓周和頂點(diǎn)(如果有頂點(diǎn)的話)的球,叫做旋轉(zhuǎn)體的外接球.1.研究多面體的外接球問(wèn)題,既要運(yùn)用多面體的知識(shí),又要運(yùn)用球的知識(shí),并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系,找準(zhǔn)球心在解題中往

往會(huì)起到至關(guān)重要的作用.?2.在解決外接球問(wèn)題時(shí),我們要注意由空間到平面的轉(zhuǎn)換,通過(guò)外接球的球心作軸

截面,從而把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思

想方法我們要靈活運(yùn)用.?3.要熟記一些常見的結(jié)論,如:(1)正方體或長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)與其外接球的球心重合.(2)正棱柱的上下底面中心的連線的中點(diǎn)與外接球的球心重合.(3)直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn).(4)正棱錐的外接球的球心在其高上,具體位置可通過(guò)勾股定理計(jì)算找到.

三棱錐P-ABC中,AB=BC=

,AC=6,PC為三棱錐P-ABC的高,PC=2,則該三棱錐外接球的表面積為

()A.

B.

C.

D.

思路點(diǎn)撥求空間幾何體外接球的表面積,關(guān)鍵是求出球的半徑,再結(jié)合球心距、球半徑和

截面圓半徑所構(gòu)造的三角形,利用勾股定理求解.解析由題可知,△ABC中,AC邊上的高為

=

,設(shè)三棱錐外接球的半徑為R,球心O在底面ABC內(nèi)的投影為△ABC的外心D(如圖所示),連接DA,DB,DC,

設(shè)DA=DB=DC=x,則x2=32+(

-x)2,解得x=

,所以R2=x2+

=

+1=

,所以外接球的表面積S=4πR2=

,故選D.答案

D

內(nèi)切球問(wèn)題

與多面體(或旋轉(zhuǎn)體)的各個(gè)面都相切的球,叫做多面體(或旋轉(zhuǎn)體)的內(nèi)切球.1.內(nèi)切球球心到多面體各個(gè)面的距離均相等,外接球球心到多面體各頂點(diǎn)的距離

均相等.2.與圓柱兩底面以及每條母線都相切的球稱為圓柱的內(nèi)切球,此圓柱稱為球的外

切圓柱,等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱)才有內(nèi)切球,球心在圓柱軸線上,內(nèi)切

球半徑與圓柱底面圓半徑相等.3.與圓臺(tái)的上、下底面以及每條母線都相切的球,稱為圓臺(tái)的內(nèi)切球,此圓臺(tái)稱為

球的外切圓臺(tái),當(dāng)且僅當(dāng)母線長(zhǎng)與上、下兩底面圓半徑之和相等時(shí),圓臺(tái)才有內(nèi)

切球.4.正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合,正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高

線上,但不重合.5.基本方法:構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理.6.體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法,比如利用體積分割我們就可以求出半徑r

=

.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,PD垂直于底面ABCD,

且PD=a,PA=PC=

a,若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球,則此球的最大半徑是

.

思路點(diǎn)撥

割成四個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐,小棱錐的高都是小球的半徑,底面分別為原四棱錐的側(cè)面和底面,根據(jù)體積公式求解.解析根據(jù)題意,當(dāng)球與四棱錐的各個(gè)面都相切時(shí),球的半徑最大.設(shè)放入的球的

最大半徑為r,球心為O,連接OP,OA,OB,OC,OD,則把此四棱錐分割成四個(gè)三棱錐

和一個(gè)四棱錐,這些小棱錐的高都是r,底面分別為原四棱錐的側(cè)面和底面,則VP-

ABCD=

r(S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD+S正方形ABCD)=

r(2+

)a2.因?yàn)镻D垂直于底面ABCD,