2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)函數(shù)的周期性和對稱性目錄考點(diǎn)清單題型清單考點(diǎn)1函數(shù)的周期性考點(diǎn)2函數(shù)的對稱性題型1周期性的判斷及應(yīng)用題型2函數(shù)性質(zhì)綜合考點(diǎn)1函數(shù)的周期性1.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)的定義:一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對

每一個(gè)x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做

這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期的定義:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù),那么這個(gè)

正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.提醒并非所有周期函數(shù)都有最小正周期.2.關(guān)于函數(shù)周期性的幾個(gè)常見結(jié)論(1)若f(x+a)=f(x+b)(a≠b),則f(x)的周期是T=|a-b|.(2)若f(x+a)=-f(x),則f(x)的周期是T=2|a|.(3)若f(x+a)=

或f(x+a)=-

,其中f(x)≠0,則f(x)的周期是T=2|a|.(4)設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,則f(x)是周期函數(shù),2|a|是它的

一個(gè)周期.(5)設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且圖象關(guān)于直線x=a(a≠0)對稱,則f(x)是周期函數(shù),4|a|是它的

一個(gè)周期.考點(diǎn)2函數(shù)的對稱性1.函數(shù)的圖象自對稱性(1)函數(shù)y=f(x),若其圖象關(guān)于直線x=a對稱(a=0時(shí),f(x)為偶函數(shù)),則f(a+x)=f(a-x)?f(2a+

x)=f(-x)?f(2a-x)=f(x).(2)函數(shù)y=f(x),若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)中心對稱(a=0時(shí),f(x)為奇函數(shù)),則f(a+x)=-f(a-x)?f(2a+x)=-f(-x)?f(2a-x)=-f(x).(3)函數(shù)y=f(x),若其圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對稱,則f(a+x)+f(a-x)=2b?f(2a+x)+f(-x)=2b?f(2a-x)+f(x)=2b.2.兩個(gè)函數(shù)的圖象互相對稱性(1)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱,則g(x)=f(2a-x).(2)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱,則g(x)=2b-f(2a-x).3.函數(shù)的對稱性與周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象有兩條對稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且T=2(b-a).(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象有兩個(gè)對稱中心(a,c),(b,c)(a<b),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且T=2(b-a).(3)若函數(shù)y=f(x)的圖象有一條對稱軸x=a和一個(gè)對稱中心(b,0)(a<b),則函數(shù)y=f(x)是周

期函數(shù),且T=4(b-a).即練即清1.判斷正誤(對的打“√”,錯(cuò)的打“?”)(1)若T是函數(shù)的一個(gè)周期,則nT(n∈Z,n≠0)也是函數(shù)的周期.

(

)(2)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-2)=-f(x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.

(

)(3)若函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=2-f(3-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對稱.

(

)2.已知函數(shù)f(x)滿足f(x+3)=f(x).當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=x2+4,則f(2024)=

.3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),滿足f(x+2)=-f(x),且當(dāng)-1≤x<0時(shí),f(x)=-x2+2,則f(2023)=

.√√√81題型1周期性的判斷及應(yīng)用利用函數(shù)周期性解題時(shí)一般先根據(jù)周期性的定義求解出函數(shù)的周期,然后利用周期解

決相應(yīng)問題.通?？梢岳煤瘮?shù)的周期性將未知區(qū)間的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間的問題.例1

(2018課標(biāo)Ⅱ,12,5分)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

(

)A.-50

B.0

C.2

D.50

解析

∵f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),∴f(0)=0,且f(-x)=-f(x),①又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(-x)=f(2+x)(用1+x代替x),②由①②得f(2+x)=-f(x),∴f(4+x)=-f(2+x)(用2+x代替x),∴f(x)=f(x+4),∴f(x)的最小正周期為4,對于f(1+x)=f(1-x),令x=1,得f(2)=f(0)=0;令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故選C.

答案

C即練即清1.已知y=f(x)為奇函數(shù)且對任意x∈R,f(x+2)=f(-x),若當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=log2(x+a),則f(2021)=

(

)A.-1

B.0

C.1

D.2C題型2函數(shù)性質(zhì)綜合綜合應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)主要是解決求值或求參問題,一般策略如下:(1)根據(jù)已知條件及相關(guān)函數(shù)的奇偶性推得函數(shù)的周期;(2)利用函數(shù)的周期性將自變量較大的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量較小的函數(shù)值,直到自變量

的值進(jìn)入已知解析式的區(qū)間內(nèi)或與已知的函數(shù)值相聯(lián)系,必要時(shí)可再次運(yùn)用奇偶性將

自變量的符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函數(shù)值.例2

(多選)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R,記g(x)=f'(x).若f

,g(2+x)均為偶函數(shù),則(

)A.f(0)=0

B.g

=0C.f(-1)=f(4)

D.g(-1)=g(2)

解析

解法一因?yàn)閒

為偶函數(shù),所以f

-2x

=f

,即f

=f

①,所以f(x)的圖象關(guān)于x=

對稱,則f(-1)=f(4),故C正確.因?yàn)間(2+x)為偶函數(shù),所以g(2+x)=g(2-x),所以g(x)的圖象關(guān)于x=2對稱,對

①式兩邊分別求導(dǎo),且結(jié)合g(x)=f'(x),得-f'

=f'

?-g

=g

,所以g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

對稱.因?yàn)槠涠x域?yàn)镽,所以g

=0,再結(jié)合g(x)的圖象關(guān)于x=2對稱,得g(x)的周期T=4×

=2,所以g

=g

=0,g(-1)=g(1)=-g(2),故B正確,D錯(cuò)誤.若函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件,則函數(shù)f(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件,所以無法確定f(x)的

函數(shù)值,因此A錯(cuò)誤.故選BC.解法二構(gòu)造函數(shù)法由解法一可知g(x)的周期為2,圖象關(guān)于x=2對稱,故可設(shè)g(x)=cos(π

x),則f