第1課時二維形式的柯西不等式1．定理1：(二維形式的柯西不等式)設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則：(a2＋b2)(c2＋d2)≥________，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)________時成立．(ac＋bd)2

ad＝bc

ad＝bc

ad＝bc

|ad|＝|bc|

|α|·|β|β是零向量存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ

【例1】證明：(x2＋y4)(a4＋b2)≥(a2x＋by2)2.【解題探究】

雖然可以作乘法展開上式的兩邊，然后再進(jìn)行比較，但是如果注意到這個不等式的形式與柯西不等式的一致性，就可簡化計算．【解析】根據(jù)柯西不等式，有(x2＋y4)(a4＋b2)≥(x·a2＋y2·b)2＝(a2x＋by2)2.(當(dāng)且僅當(dāng)xb＝y(tǒng)2a2時取等號)利用柯西不等式證明不等式

聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡化運(yùn)算．所以，經(jīng)典不等式是數(shù)學(xué)研究的有力工具．利用柯西不等式求最值

(1)本例應(yīng)用了柯西不等式的變形形式，困難在于弄清對應(yīng)于柯西不等式中a，b，c，d的是哪4個數(shù)．(2)解此類問題時，應(yīng)先求出函數(shù)的定義域．構(gòu)造柯西不等式求最值3．已知|x－2y|＝5，證明：x2＋y2≥5.【證明】由柯西不等式有(x2＋y2)[12＋(－2)2]≥(x－2y)2，即5(x2＋y2)≥|x－2y|2.∵|x－2y|＝5，∴5(x2＋y2)≥25，即x2＋y2≥5.1．柯西不等式主要用于證明不等式和求最值，常用到推論1和推論2，要注意公式應(yīng)用的前提條件和等號成立的條件．2．在柯西不等式的應(yīng)用過程中，常常需要對式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠礈惢蜃冃?，?gòu)造與柯西不等式一致的形式，弄清問題中的哪些數(shù)對應(yīng)于柯西不等式中的a，b，c，d很重要．3．有些問題既可用柯西不等式，也可用基本不等式來解決，需要分清兩種不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵志名言請您欣賞3．已知|x－2y|＝5，證明：x2＋y2≥5.【證明】由柯西不等式有(x2＋y2)[12＋(－2)2]≥(x－2y)2，即5(x2＋y2)≥|x－2y|2.∵|x－2y|＝5，∴5(x2＋y2)≥25，即x2＋y2≥5.|α|·|β|β是零向量存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ

【例1】證明：(x2＋y4)(a4＋b2)≥(a2x＋by2)2.【解題探究】

雖然可以作乘法展開上式的兩邊，然后再進(jìn)行比較，但是如果注意到這個不等式的形式與柯西不等式的一致性，就可簡化計算．【解析】根據(jù)柯西不等式，有(x2＋y4)(a4＋b2