Page1湖南省益陽市2024-2025學年高二數(shù)學上學期12月大聯(lián)考試題第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知兩點，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)兩點間距離公式，干脆求解.【詳解】.故選：D．2.若直線與垂直，則的值為（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用兩條直線垂直的條件列式求解作答.【詳解】直線與的斜率分別為，，依題意，，解得，所以的值為或.故選：C3.已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)復數(shù)乘法的運算性質(zhì)進行求解即可【詳解】，故選：C4.設等比數(shù)列的前項和為，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用基本量法解，，須要分類探討公比是否為1.【詳解】當時，，不成立；當時，，即，解得，故選：A．5.已知正方形，以，兩點為焦點的橢圓恰好過正方形四邊的中點，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意可設正方形的邊長為，從而依據(jù)橢圓定義以及勾股定理可得離心率.【詳解】以正方形的中心為原點，以為軸建立坐標系，如圖所示：設正方形的邊長為，則，，，，橢圓中，，

故離心率，故選：C．6.南宋數(shù)學家在詳解九章算法和算法通變本末中提出了一些新的垛積公式，所探討的二階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，二階等差數(shù)中前后兩項之差并不相等，但是逐項之差成等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前項分別為，，，，，，，則該數(shù)列的第項為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由條件推斷該高階等差數(shù)列為逐項差數(shù)之差成等差數(shù)列，進而得到，再利用累加法求得，進而可求得．【詳解】設該數(shù)列為，則由，，，，可知該數(shù)列逐項差數(shù)之差成等差數(shù)列，首項為，公差為，故，故，則，，，，，上式相加，得，即，故故選：C．7.已知實數(shù)，滿意，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不等式恒成立，即，由利用基本不等式，求的最大值.【詳解】，，，當且僅當時等號成立，，，，，，當，時，，，．故選：B8.在平面直角坐標系中，已知圓，，動點在直線上，過點分別作圓，的切線，切點分別為，，若存在點滿意，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出兩圓圓心和半徑，利用，可求點軌跡方程為圓，又在直線上，結(jié)合圓心到直線的距離小于等于半徑可求的取值范圍.【詳解】由題意，，，，設，若，，則，，，即，圓心坐標為，半徑為，動點直線上，存在點滿意，直線與圓有交點，圓心到直線的距離，，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.下列各式中，值為的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)誘導公式可推斷A；由二倍角的正弦公式可計算B；由二倍角的余弦公式可推斷C；由誘導公式可計算D.【詳解】對于A：，所以A正確對于B：，所以B正確對于C：，所以C不正確對于D：，所以D正確，故選：ABD.10.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，點在雙曲線上（異于左右頂點），則下列結(jié)論正確的是（）A.該雙曲線的離心率為B.若，則的面積為C.點到兩漸近線的距離乘積為D.直線和直線的斜率乘積為【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)離心率的公式即可推斷A,依據(jù)三角形面積公式即可推斷B,設出點的坐標，依據(jù)點到直線的距離公式以及斜率公式即可推斷CD.【詳解】由雙曲線方程得，，離心率為，A正確若，不妨設，將其代入雙曲線方程得，所以，，，B錯誤設，則，，漸近線方程為，點到兩漸近線的距離乘積為，C正確，，，D正確故選:ACD．11.在矩形中，，沿對角線將矩形折成一個大小為的二面角，若，則下列各選項正確的是（）A.四面體外接球的表面積為B.點B與點D之間的距離為C.四面體的體積為D.異面直線與所成的角為【答案】ACD【解析】【分析】求出，即可判定A正確；分別作，垂足為E，F(xiàn)，利用向量法求出，即可判定B錯誤；證明平面，求出，故C正確；利用向量法求出，所以異面直線與所成的角為，故D正確，【詳解】解：如圖，因為和都是以為斜邊的直角三角形，則為四面體外接球的直徑．因為，則，所以四面體外接球的表面積為，故A正確；分別作，垂足為E，F(xiàn)，則．由已知可得，．因為，則，所以，故B錯誤；因為，則．同理．又，平面，則平面，所以，故C正確；由已知可得，，，則，則，得，所以異面直線與所成的角為，故D正確，故選：ACD．12.意大利聞名數(shù)學家斐波那契在探討兔子的繁殖問題時，發(fā)覺有這樣的一列數(shù)：，，，，，，.該數(shù)列的特點如下：前兩個數(shù)均為，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項除以所得余數(shù)按原依次構成的數(shù)列記為，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】寫出的前幾項，通過視察可得數(shù)列的周期，進而結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)以及的定義，可推斷A、B項；因為，可推得，逐項代入即可得到C項；由，可得，逐項代入即可得到，從而得到D項錯誤.【詳解】因為，，，，，，依據(jù)數(shù)列的性質(zhì)以及的定義可得，，，，，，.同理可推得，當時，有，，，，，，所以是以為周期的周期數(shù)列，所以，所以A項錯誤；由周期性可知，，，故B正確；因為，可推得，逐項代入，可得，所以C正確；因為，所以D錯誤故選：BC．第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.圓和圓公切線的條數(shù)為__________．【答案】【解析】【分析】推斷兩圓的位置關系即可確定公切線條數(shù).【詳解】圓，，，因此兩圓外離，則有條公切線．故答案為：4.14.點關于直線的對稱點的坐標為__________．【答案】【解析】【分析】設點為，依據(jù)條件可得以及，解出即可得到.【詳解】設點關于直線對稱的點為.因為直線的斜率為，由對稱關系，兩點連線與直線垂直，所以，又因為兩點連線段的中點在直線上，代入得，兩式聯(lián)立，即可解得，所以對稱點為．故答案為：．15.六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色?無臭?無毒?不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構為正八面體結(jié)構（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如圖所示.若此正八面體的內(nèi)切球的半徑為，則該正八面體的表面積為___________.【答案】【解析】【分析】先由正八面體的結(jié)構特征求出內(nèi)切球半徑，求出，即可求出正八面體的表面積.【詳解】如圖，連接，相交于，連接.取的中點，連接，.設，可得，所以.由，可得，.又,所以平面.過點作，可得平面.由正八面體的結(jié)構特征可得的長為內(nèi)切球半徑.又由，，有，可得，解得，該正八面體的表面積為.故答案為：.16.拋物線的焦點為，點，過的直線交拋物線于，兩點.設直線，與拋物線的另一個交點分別為，.（1）當直線垂直于軸時，__________；（2）記直線，的斜率分別為，，則的值為__________.【答案】①.3②.2【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義進行求解即可；（2）利用直線斜率公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關系進行求解即可.【詳解】空一：直線垂直于軸時，，空二：設，，，，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以，即，則．故答案為：3；2【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在銳角中，內(nèi)角、、所對的邊分別為，，，，，向量，的夾角為．（1）求角；（2）若，求周長的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的定義及坐標表示列式求解作答.（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合正弦定理邊化角，利用三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)求解作答.【小問1詳解】因，，則，而，且向量，的夾角為，則，因此，在銳角中，，則，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，又，由正弦定理得：，則，，而，由銳角得，，即有，明顯有，于是得，有，，所以周長的取值范圍為.18.在平面直角坐標系中，已知圓，直線的方程為，點．（1）若與圓相切，求的值；（2）若過點的直線截得圓的弦長，求的斜率的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)題意，圓與直線相切，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求解；(2)依據(jù)題意得到圓心到直線的距離為，結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.【小問1詳解】由題意知，圓，即圓心，半徑為，圓心到直線距離，解得或；【小問2詳解】若直線斜率不存在，即的方程為，此時直線與圓相切，不滿意題意，舍去，若直線斜率存在，設其為，則直線的方程為，即，設圓心到直線的距離為，有，因為，所以，即，解得，故的斜率的取值范圍為19.已知各項為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，若.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，且數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用公式，時，，代入化簡得到數(shù)列的遞推公式，即可求解通項公式；（2）由（1）的結(jié)果，利用裂項相消法求和，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證明不等式.【小問1詳解】當時，，解得；當時，由，得，兩式相減可得，，又，，即是首項為，公差為的等差數(shù)列，因此，的通項公式為；【小問2詳解】證明：由可知，所以，，因為恒成立，所以，又因為，所以單調(diào)遞增，所以，綜上可得．20.在四棱錐中,底面為正方形,平面平面,,,是的中點,點是線段上靠近點的一個三等分點,（1）證明：;（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)勾股定理證明,依據(jù)題意可得,從而證明DE平面,因為,所以平面,得到,再依據(jù)已知得到,證明平面即可得證.(2)分別以,,為軸建立空間直角坐標系,計算得到平面的法向量和平面的法向量即可得到結(jié)果.【小問1詳解】,,,,又,,平面,平面,DE平面,,平面,平面,,是中點,,,又,平面,平面,平面,平面,【小問2詳解】平面平面,平面平面,,平面,平面,,如圖所示,分別以,,為軸建立空間直角坐標系,則,,,,,設平面的法向量為,,則即,取,則，取平面的法向量為,二面角的平面角為銳角,設大小為,

則,即二面角的余弦值為.21.讀書可以增長學問，開拓視野，修身怡情.樹人中學為了解本校學生課外閱讀狀況，按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從全校學生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計，分別得到40名男生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻率分布直方圖.男生一周閱讀時間頻數(shù)分布表小時頻數(shù)92533（1）由以上頻率分布直方圖估計該校女生一周閱讀時間眾數(shù)和75%分位數(shù)；（2）由以上頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖估計總樣本的平均數(shù)；（3）從一周課外閱讀時間為的樣本學生中按比例安排抽取6人，再從這6人中隨意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.（注：以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值）【答案】（1）75%分位數(shù)是，眾數(shù)是3（2）3.6（3）【解析】【分析】(1)依據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合眾數(shù)、百分位數(shù)的求法計算即可；(2)依據(jù)頻數(shù)分布表干脆求出男生一周課外閱讀時間平均數(shù)，依據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)的求法求出女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)，即可求出總樣本的平均數(shù)；(3)依據(jù)頻數(shù)分布表與頻率分布直方圖求出一周課外閱讀時間為的男生與女生人數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式計算即可.【小問1詳解】由女生一周閱讀時間的頻率分布直方圖知，閱讀時間的眾數(shù)是3，設女生一周閱讀時間的75%分位數(shù)為，，解得；【小問2詳解】由頻數(shù)分布表估計男生一周課外閱讀時間平均數(shù)由頻率分布直方圖估計女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)所以估計總樣本的平均數(shù)【小問3詳解】由頻數(shù)分布表，頻率分布直方圖知，一周課外閱讀時間為的學生中男生有3人，女生有（人）若從中按比例安排抽取6人，則男生有1人，記為，女生有5人，記為，，，，，則樣本空間，共有15個樣本點.記事務“恰好一男一女”，則故所求概率.22.已知橢圓的右焦點與上下頂點構成一個等腰直角三角形，且直線與橢圓僅有一個公共點．（1）求橢圓的方程；（2）斜率不為的直線過點，與橢圓交于，兩點，弦的中點為，為坐標原點，直線與橢圓交于點，，求四邊形面積的最小值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）由題意得，聯(lián)立直線與橢圓方程得到一元二次方程，依據(jù)即可求得結(jié)果；（2）若直線的斜率不存在，可求得；若直線的斜率存在，設，，聯(lián)立直線與橢圓