Page16寧夏銀川市2024-2025學年高三數(shù)學上學期第一次月考（理）試題分值：150分時間：120分鐘命題人：一、單選題（每小題5分，共60分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】依據(jù)并集運算即可求解.【詳解】解：因為集合，，所以.故選：B.2.已知向量，，，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】當時，依據(jù)坐標運算可知充分性成立；當時，由向量平行坐標表示可求得，知必要性成立，由此可得結論.【詳解】當時，，，，，充分性成立；，則當時，，解得：，必要性成立；綜上所述：“”是“”的充要條件.故選：A.3.已知命題p：，；命題q：，，則（）A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是真命題【答案】D【解析】【分析】先分別推斷命題、的真假，再利用邏輯聯(lián)結詞“或”與“且”推斷命題的真假.【詳解】由題意，推斷得命題為真命題，命題為假命題，所以是假命題，為真命題，所以是真命題，是假命題，是假命題，是真命題.故選：D4.在極坐標系中，點與之間的距離為A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通過點與的極坐標，可以發(fā)覺兩點在極點為圓心，3為半徑的圓上，求出的大小，最終求出的大?。驹斀狻奎c與的極徑相等，所以兩點在以極點為圓心，3為半徑的圓上，通過極角，可知,由勾股定理，可得,故本題選D.【點睛】本題考查了極坐標下，求兩點間的距離．5.已知向量滿意，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先對平方，代入已知條件整理得，再利用數(shù)量積公式可求得.【詳解】，，又，，，設與的夾角為，，從而，所以與的夾角.故選：C6.在極坐標系中，點到直線的距離為A.1 B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】把點的坐標與極坐標方程分別化為直角坐標及其方程，利用點到直線的距離公式即可得出．【詳解】點P（2，）化為：P，即P．直線ρ（cosθsinθ）＝6化為直角坐標方程：xy﹣6＝0，∴點P到直線的距離d1．故選A．【點睛】本題考查了極坐標方程分別化為直角坐標方程、點到直線的距離公式，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎題．7.曲線在處的切線方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義去求曲線在處的切線方程【詳解】，則，當時，，，所以切線方程為，即．故選：D．8.2024年5月30日早晨5時01分，天舟二號貨運飛船在勝利放射約8小時后，與中國空間站天和核心艙完成自主快速交接．假如下次執(zhí)行空間站的任務由3名航天員擔當，須要在3名女性航天員和3名男性航天員中選擇，則選出的3名航天員中既有男性航天員又有女性航天員的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對立事務和古典概型的概率公式求解即可.【詳解】設“選出的3名航天員中既有男性航天員又有女性航天員”為事務M，則.故選：B.9.已知橢圓（為參數(shù)）與軸正半軸，軸正半軸的交點分別為，動點是橢圓上任一點，則△面積的最大值為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題設可得，設結合點線距離公式得，依據(jù)三角函數(shù)的性質求，再利用三角形面積公式求△面積的最大值．【詳解】由題意，橢圓C方程為：，與x正半軸交于，與y正半軸的交于，所以，由是橢圓上任一個動點，設且[0,2π]，所以到直線的距離為=，由此可得：當時，，所以△面積的最大值為.故選：B10.在平行四邊形中，點、分別滿意，，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結合向量加法法則與減法法則運算求解即可.【詳解】解：因為在平行四邊形中，點、分別滿意，，所以，，所以．故選：A11.已知正方形的邊長為，動點在以為圓心且與相切的圓上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)條件可建立直角坐標系，寫出點的坐標，依據(jù)點坐標得向量坐標，進而依據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】以點為圓心，以分別為，軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，則：，，，圓的半徑為，設，，，，當時，取最小值，當時取最大值4故選：C12.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)推斷函數(shù)單調性，從而即可比較大小.【詳解】解：構造函數(shù)，因為，所以當時，，所以函數(shù)在上單調遞增，因為，所以，即，所以，故選：D.二、填空題（每小題5分，共20分）13.已知向量，，則_______.【答案】【解析】【分析】干脆應用向量的坐標運算公式求模.【詳解】由題，所以.故答案為：.14.若命題“，”是假命題，則實數(shù)范圍是___________.【答案】【解析】【分析】命題“，”的否定為“，”，原命題為假命題，則命題的否定為真，由，可求出實數(shù)的范圍.【詳解】命題“，”是假命題，命題“，”是真命題，實數(shù)的范圍是故答案為：15.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），且它與拋物線相交于兩點，且線段的中點為，則點的坐標為_______________.【答案】【解析】【分析】本題首先可以將直線的參數(shù)方程轉化為，然后聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得出以及，最終通過線段的中點為即可得出結果.【詳解】設，，，因為直線的參數(shù)方程為，所以，，直線的直角坐標系方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得，化簡得，，因為線段的中點為，所以，代入直線方程中得，故點的坐標為.【點睛】本題考查參數(shù)方程與直角坐標系方程之間的轉化，考查直線與拋物線相交的相關運算，考查線段中點的相關性質，考查計算實力，考查化歸與轉化思想，是中檔題.16.已知可導函數(shù)的定義域為，滿意，且，則不等式的解集是________．【答案】【解析】【分析】構造函數(shù)，由導數(shù)確定單調性，將已知不等式轉化為關于不等式，然后利用單調性即可求解．【詳解】設，則，因為，，所以，可得在上單調遞減，不等式，即，即，所以，因為在上單調遞減，所以，又因為，所以不等式的解集為：，故答案為：．三、解答題（共70分）17.在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）求曲線C的一般方程和直線l的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C交于P，Q兩點，且點，求的值.【答案】（1）曲線；直線（2）【解析】【分析】（1）消去參數(shù)t即可得C的一般方程，并用極坐標與直角坐標互化即可得直線的一般方程；（2）寫出直線l參數(shù)方程的標準形式，再與C的一般方程聯(lián)立，借助參數(shù)的幾何意義得解.【小問1詳解】曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉化為直角坐標方程為，可得；直線l的極坐標方程為，轉化為直角坐標方程為；【小問2詳解】把直線l的方程換成參數(shù)方程，得（t為參數(shù)），代入.得，∴，明顯異號.由，∴.18.在直角坐標系中，曲線：經(jīng)過伸縮變換后得到曲線，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為：．（1）寫出曲線的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程；（2）在曲線上求一點，使點到直線的距離最小并求出最小值．【答案】（1）（為參數(shù)）；；（2）最小值，．【解析】【分析】（1）依據(jù)伸縮變換的公式，結合兩角和的正弦公式、直角坐標方程與極坐標方程互化公式進行求解，（2）依據(jù)參數(shù)方程，利用點到直線距離公式，結合協(xié)助角公式進行求解【小問1詳解】由題意，曲線的參數(shù)方程為，經(jīng)過伸縮變換后，曲線的參數(shù)方程為，由得：，化為直角坐標方程為，所以，曲線的參數(shù)方程為，直線的直角坐標方程為．【小問2詳解】設，點到直線的距離為，（其中，，），當時，即，時，點到直線的距離取到最小值，此時，，，，，所以，點的坐標為．19.現(xiàn)有4個人去參與某消遣活動，該活動有甲、乙兩個嬉戲可供參與者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地勻稱的骰子確定自己去參與哪個嬉戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參與甲嬉戲，擲出點數(shù)大于2的人去參與乙嬉戲.（Ⅰ）求這4個人中恰有2人去參與甲嬉戲的概率；（Ⅱ）求這4個人中去參與甲嬉戲的人數(shù)大于去參與乙嬉戲的人數(shù)的概率；（Ⅲ）用X，Y分別表示這4個人中去參與甲、乙嬉戲的人數(shù)，記，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.【答案】（1）（2）（3）【解析】【詳解】解：依題意，這4個人中，每個人去參與甲嬉戲的概率為，去參與乙嬉戲的概率為.設“這4個人中恰有i人去參與甲嬉戲”為事務(i＝0,1,2,3,4)，則（Ⅰ）這4個人中恰有2人去參與甲嬉戲的概率（Ⅱ）設“這4個人中去參與甲嬉戲的人數(shù)大于去參與乙嬉戲的人數(shù)”為事務B，則，由于與互斥，故所以，這4個人去參與甲嬉戲的人數(shù)大于去參與乙嬉戲的人數(shù)的概率為（Ⅲ）ξ的全部可能取值為0,2,4.由于與互斥，與互斥，故，．所以ξ的分布列是ξ024P隨機變量ξ的數(shù)學期望考點：1.離散型隨機變量的期望與方差；2.相互獨立事務的概率乘法公式；3.離散型隨機變量及其分布列．20.在平面直角坐標系中，曲線：，曲線：（為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線，的極坐標方程；（2）若射線與曲線，的公共點分別為A，B，求的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)直角坐標與極坐標的轉化公式可得，消參得的一般方程，再轉化為極坐標方程即可；（2）依據(jù)極徑意義，問題轉化為，代入，，利用三角函數(shù)求最值即可.【小問1詳解】曲線的極坐標方程為，曲線的一般方程為，所以曲線的極坐標方程為.【小問2詳解】設，，因為A，B是射線與曲線，的公共點，所以不妨設，則，，所以，所以當時，取得最大值.21.某校為了提升學生的科學素養(yǎng)、本學期初起先動員學生利用課外時間閱讀科普讀物、為了了解學生平均每周課外閱讀科普讀物所花的時間、學期末該校通過簡潔隨機抽樣的方法收集了20名學生平均每周課外閱讀的時間（分鐘）的數(shù)據(jù)、得到如表統(tǒng)計表（設表示閱讀時間，單位：分鐘）組別時間分組頻數(shù)男生人數(shù)女生人數(shù)121121046343142115220（1）完成下面的列聯(lián)表、并回答能有90%的把認為“平均每周至少閱讀120分鐘與性別有關”？平均每周閱讀時間不少于120分鐘平均每周閱讀時間少于120分鐘合計男女合計附：．0.1500.1000.0500.0100.0050.0012.0722.7063.8416.6357.87910.828（2）為了選出1名選手代表學校參與全市中小學生科普學問競賽，學校組織了考組對選手人選進行考核，經(jīng)過層層篩選，甲、乙兩名學生成為進入最終階段的備選選手．考核組設計了最終確定人選的方案：請甲、乙兩名學生從6道試題中隨機抽取3道試題作答，已知這6道試題中，甲可正確回答其中的4道題目，而乙能正確回答每道題目的概率均為，甲、乙兩名學生對每題的回答都是相互獨立，互不影響的．若從數(shù)學期望和方差的角度進行分析，請問：甲、乙中哪位學生最終入選的可能性更大？【答案】（1）分布列見解析，沒有；（2）甲學生入選的可能性更大.【解析】【分析】（1）依據(jù)頻數(shù)分布表中數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表即可求解，再由列聯(lián)表計算出觀測值，利用獨立性檢驗的基本思想即可求解.（2）甲學生正確作答的題數(shù)為聽從超幾何分布，乙學生正確作答的題數(shù)為聽從二項分布，分別算出隨機變量的數(shù)學期望、方差，比較期望與方差即可得出結果.【詳解】解：（1）由頻數(shù)分布表，可推得列聯(lián)表：平均每周閱讀時間不少于120分鐘平均每周閱讀時間少于120分鐘合計男3811女189合計41620∵，∴沒有90%的把握認為“平均每周至少閱讀120分鐘與性別有關”．（2）設甲學生正確作答的題數(shù)為，則的取值分別為1，2，3，，，，故的分布列為：123∴，，設乙學生正確作答的題數(shù)為，則，，∵，，∴甲學生入選可能性更大．22.已知函數(shù)，（1）若，求的極值；（2）探討的單調區(qū)間；（3）求證：當時，.【答案】（1）微小值為，無極大值（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導后，依據(jù)正負可確定單調性，由此可得極值；（2）求導后，分別在和的狀況下，依據(jù)正負可得單調性；（3）構造函數(shù)，求導后令，利用導數(shù)可求得單調性，從而得到恒成立，由此可得單調遞減，進而由推導得到結論.【小問1詳解】當時，，則其定義域為，；當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；的微小值為，無極大值.【小問