專題11立體幾何初步中的線面角、二面角問題

今?？碱}型目錄

題型1直線與平面所成角............................................................................2

題型2定義法求二面角.............................................................................13

題型3三垂線法求二面角..........................................................................20

題型4垂面法求二面角.............................................................................35

題型5補形法......................................................................................51

題型6補角法......................................................................................58

題型7射影法......................................................................................59

但知識梳理

知識點一.直線與平面所成的角

1.直線與平面所成角定義：平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個平面所成的角。

2.由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為（0,6具體操作方法：

①在直線上任取一點A（通常都是取特殊點），向平面a引（通常都是找+證明）垂線A0;②連接斜足與

垂足MO;

③則斜線與射影MO所成的角AAMO,就是直線與平面所成角.

知識點二.二面角

/.二面角的定義：

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱.

2.二面角的平面角定義：過二面角棱上一點分別在兩個半平面內(nèi)引垂線，兩垂線所成的角叫做二面角的平面

角.二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.

如圖，點0是二面角a-1-B的棱/上一點，MOua,NOup,且OMJd,ONL,則/MON即為二面角a-中

的平面角.

2.二面角的求法

(7)定義法：按定義把二面角畫出來.

(2)垂線法：過其中一個面a內(nèi)一點P向另夕一個面夕引垂線，得垂足Q,再過點Q向兩個面的交線引垂

線得另一垂足0,連接0P,則POQ即為所求的二面角(如下圖所示).

叵題型分類

題型1直線與平面所成角

【例題1](2023?高一課時練習)如圖―悴□□□□一口1口1口[口[,口口=口，口□=□□[=□.

口>口,。是棱上的一個動點，若點二運動到棱口?？拷?。的一個三等分點時，恰有1口□,

求此時O4與平面。。。。所成的角.

【答案】30°

【分析】結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特點，可知口a與平面口。。0所成的角為/口□□,由10a及勾股

定理可得。=I遮O,進而可求出tan/。OO=常得出結(jié)果.

【詳解】—悔□□□□-口1口1口、口1中，皿口口=□，口口=□□[=口,

所以=4+行，ad2-=+4，口仆=(爐+4,

因為&U1底面,口□u平面口□□□,所以4D1口□,

所以。口與平面。。。。所成的角為N4□□,

口/=口比+口己=汐+24,

由條件1口陶得口序=口廳■+口子,解得〃=|&O,

因血aWJR口=嗡=量將=1,

因為0。＜乙口、口口＜90°,

所以/4〃0=30°,O4與平面口?？?。所成的角為30。，

故答案為：30°

【變式1-1】1.(2023?全國?高一專題練習百梅□□□□-口1口1口1口向直線口1口與平面口口口1口1

所成角大小為.

【答案】30°#畔

0

【分析】由線面角的定義及線面垂直的判定找到線面角的平面角，進而求其大小.

【詳解】如下圖，由正方體性質(zhì)知：，&Z7,目□□【□□、口=□，部□□、工口[口,

又口ZZ71面Z7ZZ7Z71a,□、□□□□、□、,故。ZZ7_L口、口,

由口口1n□口=□,□□、,□□(=^口口口1口1,故□[□遹□□□、口、、

所以N4。二為直線&口與平■面□□□]口所成角的平面角，顯然sinz&□□=咨

LJ\LJN

又乙口、□□€[0,90°],故上□、□□=30°.

故答案為：30°

【變式1-1】2(2023春?全國?高一專題練習如圖在長方體。口?？?口1口1口1口、中，口□=口□=2,

口。與所成的角為3,則口a與平面0aa。所成角的正弦值為

【答案】孑#。5

【分析】由題可得DOOO-aaa&為正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件可得na。。為直線

口a與平面?？?所成角，進而即得.

【詳解】因為在長方體。OOO-口、口、口、口內(nèi)，口口=口口=2,

??.上下底面為正方形，

連接口&,則口,&口與所成的角為

與。&所形成的角為g,即0O，,

:口、%正方形，□□□□一口、口、da為正方體，

設(shè)□、n□、□、=口t則□、□-L□[□],

因為0zi7_L平面aaa,azz7u平面&azz71a,

所以Z7i￡7J_Dy口,又&Z7n□、4￡7u平面Z7&□、口,□、&u平面ZJ.□、U,

所以&a1平面。a□1a,連接DO,

則naDR直線。&與平面。&所成角,

由題可知RtA□[,□□1=2V2,0^=72,

.??sinz=：,即與平面□□】?斤斤成角的正弦值為提

故答案為:

【變式1-1]3.（2023?高一課時練習）如圖，已知邊長為2的正方1體□□□□-,點。為

線段00的中點，則直線。。與平面4口。。1所成角的正切值為.

【分析】連接口a,交a行。，利用線面垂直的判定定理可得。口，平面a/口口功口口與

平面aSa所成角，在直角三角形。。。中，求出￡7/7,￡70可得答案.

連接,交口1口與口,所以口口11口口,連接

因為□□上平面口口口1口1,ZJOU平面口oaq,

所以O(shè)Z7J.□□,又口口1口口,所以￡701口□,且aOn□口=口,

□\口、面口\□□□、,所以□□工平面口1口口口1,

所以NDUD%0口與平面口、□□口、所成角，

在直角三角形。。。中,00=2,O￡7=iV4T4=V2,

所以tag□□口=轉(zhuǎn)=%

故答案為：察

【變式1-1】4?(2023?全國?高一專題練習)如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中.

⑴求AiB與平面AA1D1D所成的角；

⑵求AiB與平面BB1D1D所成的角.

【答案】(1)45。

(2)30°

【分析】⑴根據(jù)AB,平面AAiDiD找出AiB與平面AAQiD所成的角的平面角，求解即可；

(2)連接A1Q交BiDi于點0,連接B0.證明AQ_L平面BBiDiD,從而確定AiB與平面BBiDiD所成的角

的平面角，求解即可.

【詳解】(1),.在正方體ABCD-AiBiCiDi中,AB_L平面AAiDiD,

-ZAA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角,

在,4口口口、=90°,□□=口口1,

z￡7Z71O=45°,

.〔AiB與平面AAiDiD所成的角是45。.

（2）連接AiCi交BiDi于點O,連接BO.

.BBi平面A1B1JD1,4￡7u平面AIB1JD1,/.BBi±AiO,

又「AIOLBIDI,BBiDBiDi=Bi,□□、,□、口、u平面BB1D1D,

「.AiOJ_平面BBiDlD,

.?.zAiBO就是AiB與平面BBiDiD所成的角.

設(shè)正方體的棱長為1,則AiB=疙，A1O=今

*“□[□□=90°,

.-.sinzAiBO=^=^,又0。0乙90°,.-.z￡71Z7￡7=30°,

LJyLJ2

???AiB與平面BBiDiD所成的角是30°.

【變式1-1]5.（多選）（2023?全國?高一專題練習）如圖，□□工平面□□□□,正方形0/7。。邊長

為1,E是CD的中點，F(xiàn)是AD上一點，當口口_10謝，則（）

A.□□:口□=2:1

B.□□：□□=1:1

C.若PA=1,則異面直線PE與BC所成角的余弦值為|

D.若PA=1,則直線PE與平面口。。。所成角為30°

【答案】BC

【分析】連接,證明口￡九￡70,計算判斷AB;求出異面直線夾角余弦、線面角的正弦判斷CD作答.

【詳解】連接OO,如圖，

因為口口人平面□□口口,Z7Z7u平面□□口口,則□□I□口,而DDL□口,口口門口□:

□,□口u平面□□□,

于是□□工平面□□□,又?！╱平面OO。，因此OZ71口口,

謝方形口。。中,上口口□=乙□□□,攜=tanzOO￡7=匕=口口口=卷=]

則￡70=□□=%,□□=1：1,A鐲吳，B正確；

取OO中點口，超妾口口,則口口”口口,異面直線PE與BC所成的角或其補角，

而□□L平面□□口口,口口匚礴□□口口,有,又OZ71口□,

□□c□□=口,口口,口口匚鈣口口口期幅口口1^□口口，口口u曬口口口，于是□□L.

□□=d口3+口3=□□=1,□□=J口[^+口存=I,因此COSNZZ70Z7=端=|,C正確;

由。。1平面口口口詼,NOO。是直線PE與平面次斤成的角，sin/SO=需=|,

顯然乙□□□豐30°,D錯誤.

故選：BC

【變式1-1]6.（2023?全國?高一專題練習）如圖的四面體。?？诳谥?所以棱長均相等，每個面都是全

等的正三角形，D,儂別是棱。量勺中點，則直線。A與平面所成角的大小為.

o

B

【答案】f

【分析】由題意得，四面體二為正四面體，進而可以證明OO1平面OOO,求出線面角.

0

如圖，頻,

由題意得，四面體口ooa為正四面體，

所以1口□,口□1口口,

因為口口門口□與點、口,Z7ZZ7U平面OOO,UUu平面□□□,

所以平面ODD,

所以直線口口與平面所成角的大小為今

故答案為:提

【變式1-1]7.（2023春?全國?高一專題練習）已知點。是邊長為2的菱形所在平面外一點，且

點O在底面的射影是口〃與。戢交點O,已求"□□口=60°,△002是等邊三角形.

⑴求證：

(2)求點。到平面口口)勺距離；

(3)若點O是線段。。上的動點，問：點。在何處時，直線口。與平面。。。所成的角最大？求出最大角的

正弦值，并說明點at匕時所在的位置.

【答案】(1)證明見解析

⑵警

(3)。在線段。。上靠近a點的淞，sinO=g

【分析】(1)由題可得ODJ■平面故口〃1DO.根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OO_L□□,再根據(jù)線

面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可證明；

(2)根據(jù)題干數(shù)據(jù)結(jié)合Odos=〃即可求解；

(3)由線面平行的判定定理可得SII平面￡70。，可得。到平面￡70木距離即為O到平面￡700的距

離力，過乍垂線001平面。。融于點。，要使。最大，則需使最小，此時口。1Z7O,從而可求

解.

【詳解】(1)因為點O在底面口口口。上的射影是〃O與交點。，所以□□L平面□□□□.

因為口口匚平面□□口口，所以□□I□□.

因為四邊形口〃〃％菱形，所以3,

因為￡70。□口=口,口口,￡7Z7u平面￡700,

所以_L平面ODA

因為Z7￡7u平面OOZ27,所以Z7O1□□.

(2)由題意可得△□□□、△□□口與40ORB是邊長為2的等邊三角形，

所以ZZ7/Z7=口□—□口=V3,口匕□□口=gx2xV3=V3.

所以>!LJLF+DE3=V6.

因為口口=口口=2,所以口△口□口=；x泥x/2一停)=亨.

設(shè)點。到平面?！?5勺距離為方,

由□□一□□□—。〃一￡7/7%導(dǎo)§,□□，

即孚力=gxg,解得力=卓.

N0

故點。到平面?！?〃的距離為等.

(3)設(shè)直線。口與平面OOBi成的角為。，■.■口口\\□□>□□■頻口□口,

.?.211平面?？?。勺距離即為平面￡7￡7g］距離/.

過0(乍垂線口￡71平面OOO交于點〃，則口=4口口□,

此時sin￡7=票=舞，要使看大，則需使￡7蠲小，此時口￡7,□□.

LJL_/01—IL-I

由題意可知：□口=1,口口=V3,因為Z7Z71平面Z7Z7Z7Z7,且口□=V3,

所以Z7Z7=VOE3+Z7ZJ2=V6,口口=VHrf+Z7ZJ2=2,

在4口口袋,由余弦定理可得:COS4□□口==等W=V

所以sinzOOZ7=Ji-co螟乙□□□=乎，

由面積相等4Z7S=g□加￡□□□=；□□-口□,

即:xVSx2x乎=；x2xR7,經(jīng)計算得，□□吟

口2口3-口^=[4一'=；,貝[|sin￡7=g,

此時o在線段。o上靠近。點的:處.

【變式1-1]8.（2023春?全國?高一專題練習）如圖，OO是圓柱O4的一條母線，02是底面的一條

直徑，角圓入一點，目□口=□口=5,口口=3.

D

（1）求直線與平面?？?。所成角正弦值；

（2）求點，到平面ODOB勺距離.

【答案】⑴挈

⑵20例

（）41

【分析】（1）由線面垂直判定可知。01平面?？凇?，由線面角定義知所求角為N〃0Z7,由長度關(guān)系可

得結(jié)果；

（2）過[J作口□上口□,由面面垂直的判定與性質(zhì)可知為所求距離，利用面積橋可求得結(jié)果.

【詳解】（1）；平面。。O,Z7￡7u平面￡7口口，:口□,□□、□口;

???。碗圓中直徑，:.□□L□□,又□□□□□=口,□□，□□^^□口口,

???□□L平面□□□,：.4口□儂為班□□與平面口口所成偉,

???□□—□口=5,口□1口口,□口=5V2,又□口=3,

???如□□□=卷=噂,即直線口。與平面DOO所成角的正弦值為黑.

過小口口1口口.垂足為Z7,

由（1）得：□口1^口口口,口口匚.平面口□□工平面□□□,

又平面ODDn平面口口。=口口,?？趗平面Z7Z7￡7,□□，□□,：.Z7Z71平面￡7/70,

...口□=7DLf-Z7/y=4,???□口=J口己+ucf=V4?,

根據(jù)等面積法知:三口口=三口口?□□,：.□□=嚶手=等,

即O到平面OZ7ZJ的距離等于筌.

題型2定義法求二面角

【方法總結(jié)】利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點，過該點在兩個半平面內(nèi)作垂直

于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法

在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，

在二面角a-/-B的棱上任取一點。，以0為垂足，分別在半平面a和B內(nèi)作垂直于棱的射線0A和0B,

則射線0A和0B所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就

相當于求兩條異面直線的夾角即可）.

【例題212023春?全國?高一專題練習位長方體口Z7S一口1口1口1口中，□口=3,□□=2,□□1=1,

則二面角。的余弦值為()

A恪B.竺C.嗎D.察

551010

【答案】D

【分析】畫出長方體。-口、口1口、口、/口、口曲』偉口1-□□-O所成的平面角，求出COSN

&的值即可得出答案.

【詳解】長方體￡7000-口14口1□內(nèi),口口=3,口口=2,口口1=1,=同，

□□L□□「：□□?向□□□]□11u平面ZZ7ZZ7/ZZ)□□，□

又?:平面口口□n平面,

為二面角a一口□-C所成的平面角，

./r-ir~ir_i_□口_3_3VT5

crnocsQ□□一市一衣-F'

所以二面角&-口函余弦值為誓.

故選：D.

【變式2-1】1(2023?全國?高一專題練習如圖若口￡71平面ABCD,四邊形ABCD為正方形，口□=口□,

則二面角口一□□一。的大小為.

R

【答案】450

【分析】由已知條件可證是二面角。-□□-5勺平面角，柱口口△口口*,口口=口口,即

可求出NOOZJ0勺大小.

【詳解】解：□口1^口口口口,

□□1口口,

又；00/7。是正方形，

???\□□,

又：□口n□口=口,

■■■□□1^^口口口,

：.4口口口是』偉□-口□-。的平面角.

在口口計,口□=,

：，￡□□□=45,

;二面角Z7-□□-a的大小為45°,

故答案為：45°.

【變式2-1】2?（2023?全國?高一專題練習）如圖，在正方悻□□□□—&口口&中，

（1）求異面直線口.與口a所成的角的大?。?/p>

（2）求二面角4一-中）大小.

【答案】明

【分析】（1）作出異面直線D0與O4所成的角，并求得角的大小.

（2）判斷二面角4-□□-O0勺平面角，并求得角的大小.

【詳解】（1）在篁方悻□□□□-d□、□］口內(nèi),連接oa,

由于,所以是異面直線Z7&與Oa所成的角，

由于三角形是等邊三角形，所以2口01口=三,

所以異面直線與所成的角的大小為］

（2）在正方體口口。。一口［□［&a中，OZ71口口,□□工,

所以z口1口口是二面角一口口—中）平面角，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知/a□□=%

所以二面角4-5勺大小為g.

【變式2-1］3.（2023春?全國?高一專題練習）如圖，在三棱錐O—口口。中司□□□L平面□□□,

口、為'別為棱O。、口中）中點.

D

F

⑴求證：直線口切/平面ooo；

(2)若直線。Z7與平面￡70。所成的角為45。,直線￡70與平面OZ7Z3所成角為30。,求二面角O-□□一U

的大小.

【答案】Q)證明見解析；

(2)45°

【分析】(1)根據(jù)可證明；

(2)證明OO1平面OOZ7,□□I平面口口口,進而結(jié)合已知條件證明仆為等腰直角三角形，

乙□□□=45；再根據(jù)二面角的概念求解即可.

【詳解】(1)證明：因為。、為別為樓口口、口，的中點.

所以，在4□□田,口□,

因為□□金平面□□□,￡70u平面?！?。，

所以，直線II平面?？诳?/p>

(2)解:因為平面口口口上平面口OO,平面口OOn平面口口口=□□,UUu曬口□口口□工□□,

所以平面Z7OO,

所以，n￡70。是直線。。與平面所成的角，

因為直線DO與平面所成的角為45°,

所以，N00/7=45°,

所以口□=□口

因為口口上平面口口口,口口,口口匚南口口口,

所以0Z7J.,□□工□□,

因為￡70,口口,口口門口口=Z7,￡720口u平面

所以?！?,平面

所以，是直線。。與平面。。。所成角，

因為直線與平面OOU所成角為30°,

所以立口□口=30°,

所以?！?=；口□,口口=圾口□,

不妨設(shè)。。=1,則￡7。=2,口口=V3,□口=口□=V2,口口=1,

所以，△口皿^等腰直角三角形，z￡7￡7￡7=45°

因為口口人□□，￡701on,

所以N￡7￡7O是二面角?！昶矫娼牵?/p>

所以二面角口-□□-大小為45°

【變式2-1]4.(2023?高一單元測試)如圖，在四棱錐。一□□□■,□□\口口,口口二

□□=；□□=2,%棱口勺中點，口口上府口口口口.

⑴證明：口口1強口口口

(2)求證：平面?？?1平面?？诳?/p>

(3)若二面角口-療勺大小為45。，求直線口。與平面口口。所成角的正切值.

【答案】Q)證明見解析

(2)證明見解析

⑶當

【分析】(1)因為口口1口□目□口=口□,所以口。02為平行四邊形，皿.利用線面平行

的判定定理即可得證；

(2)由已知可得OO1由線面垂直的判定定理可得￡7。1面Z7Z7O,進而即可證得

結(jié)論；

(3)由□□面口口陶得乙□□□=45：作□□L口方口，可知口□遹□□□，所以4口口作

直線口口與平面叨。所成角，在直角△?？凇Ｖ星蠼饧纯?

【詳解】(1>.-口口11口道口口=￡70,???四邊形000孕平行四邊形，

:又。ZZ7C平面Z7ZZ7Z7,Z7Z7u平面0Z7ZZ7,

所以0□//平面OOO.

(2):□□^^□□□口,□□c^^LJUUU,1LJU,

整口口」：口口11口質(zhì)口口=OO,二四邊形OZ7Z7Z7為平行四邊形，

?l?Z7Z71口□,=□□=2，，平行四邊形口口正方形,：.□□工口□,

又口口舊口，：.□□L口口,

又.UUc□口=LJ,LJLJ,LJEJc?LJULJ,:.UU10Z7Z7ZZ7,

；OOU面￡7￡7Z7,.,.平面Z7Z7ZZ71平面Z7Z7ZZ7.

（3）,：□□母面□□□□,口口匚鈣□□□□,：.□□、□口,

又、□□,□□△□□=□,□口，□□U平面□□□,：.□□^^口口口,

因為￡7Z7u平面￡7匚7￡7,，。。工口□,

.??N。。以二面角口—口□一申平面角，從而4口口口=45：所以￡70=00=4,

作OO1口方口,連接?！?,

1,平面ZZ7OZ71平面O￡7Z7,Z7￡7u平面?！?0,平面。Z27Z27n平面￡700=□□,

:.□□工面口口口,所以2口□斗直線□口與平面口口所成偉,

在直角△口口田,口口=0/7=272,口口=A,口口=2展，：.口口==第="

LJLJzVoo

因為□□遹□□□,口口通口口口,所以Z7D1口口，

在直角△□□話,□□=*口口=竽，□□=力口仃-口3=竽

:.tan乙□□口=—,

則直線￡7。與平面OO匕所成角的正切值為冬

題型3三垂線法求二面角

【方;去總結(jié)】利用三垂線定理及其逆定理來證明線線垂直，來找到二面角的平面角的方法，這種方

法關(guān)鍵是找垂直于二面角的面的垂線.此方法是屬于較常用的.

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直

三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射

影垂直

步驟：

①作:過二面角的其中一個平上一點作（找）另一個平面的垂線，過垂足作二面角的棱的垂線。

②證:證明由①所得的角是二面角的平面角（符合二面角的定義）.

③求二面角的面角的大小（常用面積相等關(guān)系求垂線段長度）

【例題3]（2023?全國?高一專題練習）如圖，二面角口-□□-j勺平面角為銳角，。是。內(nèi)的一點（它

不在棱口。上）,點。是。在平面。內(nèi)的射影，點。是口入滿足為銳角的任意一點，那么（）

A./.□□□>乙□□口

B./.□□□〈乙□□口

c.乙□□□=乙□□□

D.無法確定N0。口與大小關(guān)系

【答案】A

【分析】過C向AB做垂線交AB于F,連接DF,由直角三角形可知OO>口口,再由乙□□□/□□?

正切即可比較大小.

【詳解】過C向AB做垂線交AB于F,連接DF,如圖，

因為Z7/7J.口,口口匚口,所以Z7DJ.口□,

因為Z7DJ.口口,□□工口口,UUc□口=U,口口,■面□□□,

所以AB1面CDF,口口匚平面□□□,所以O(shè)O1,

在直角三角形CDF中，CF為斜邊DF為直角邊，所以?？诳?

在直角三角形中，tan4□□口=器，

在直角三角形DEF中，tanz￡7Z7￡7=g§,

由口口）,乙□□□>/.□□口

故選：A

【變式3-1]1（2022春?山東聊城?高一山東聊城一中校考階段練習啟知二面角口-□-）勺大小為60°,

點、□€口,口口1口,取垂足，點。6〃，口口工口,皿垂足.若口口=及,□□=□□='，則

口口=

【答案】2

【分析】以口口、。孕鄰邊作平行四邊形OODO,連接?！?,分析可知二面角0-0-申平

面角為60°,推導(dǎo)出ZZ7O1口□,求出￡7。、口中)長，利用勾股定理可求得勺長.

【詳解】以口口、。。為鄰邊作平行四邊形?？??！?,連接。以O(shè)。，如下圖所示：

財口口11口口曰口□=口□—1,口口=□□=V3,□□[[□□,

因為O0J.□,則￡701口,又因為OO_L口,

所以，二面角O—□-木平面角為60°,

因為口口=□□="故4002為等邊三角形，所以，￡70=1,

?,■□□工□口,□□工口□,則。Z71口□,□□工口口,

口口人口口=D,□□、￡7￡7u平面￡7/70,ZZ7ZZ7_L平面。ZZ7Z7,

???OOu平面S￡7,□□、□□,：.□□=JO3+￡73=2.

故答案為：2.

【變式3-1】2(2023?全國?高一專題練習即圖，在直角梯形ABCD中，￡7aV￡7￡7/7ZZ7_L□□,□□\口□,

點E是BC的中點.將4口口前BD折起，使。。JL□□,連接AE、AC、DE，得到三棱錐。一□□□.

⑴求證：OZ71平面ABD;

⑵若口□=□口=2,口□=2V3,求二面角口一□□一中）大小.

【答案】（1）證明見解析

（2）60°.

【分析】（1）通過證明口口，口口,DDLOU來證得平面?！?A

（2）作出二面角0-0的平面角，解三角形求得平面角的大小.

【詳解】（1）由于OO1口□,，口口,UUc□□=a□□,OOu平面Z7OO,

所以DO1平面ODD.由于0￡7u平面OZ7Z7,所以

由于OZ7J_□口,口口門口口=口,口口,口口匚平面□□□,

所以平面ooa

（2）分別取oa中點a口,連接oa口口,口口,

由于aa分別是oa。。的中點，所以口□,

由于Z7ZZ7_L平面。ZZ7L7,所以。O1平面。?？?，

由于□口,ULJu平面□□□,所以

由于a。分別是oa。。的中點，而以□口|口□,

由于OZ7J.口□,所以□□人,

由于Z7Z7C口口=口，口口,口口匚桐□□□,所以Z7Z71平面。Z7。，

所以NZ7OO是二面角口一口□-。的平面角.

在,口口—;口□=V3,□□=；口□—1,

所以3nz□□口=唱=也,則銳角，且乙口□□=60°,

所以二面角O-□□—%］平面角為60°.

A

【變式3-1]3.（2023春?全國?高一專題練習）如圖，四棱錐O-LJUULJ^,底面口是邊長為2

的菱形，4□□□=60°,乙□□□=90°,平面0ml平面口點班棱口。的中點.

（2）當二面角O-□□-勺余弦值為春時，求直線?？谂c平面OOZ”所成的角.

【答案】（1）證明見解析

（2）60°.

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得線面垂直，從而得到Z7D1‘再由線面垂直的判定定理可

證Z7Z71平面Z7/7Z7,從而證得平面Z7OD1平面￡7。。；

（2）根據(jù)題意過U作?？?，口方口,芭姜口口,可得NDDZ3就是二面角。一□□-。的平面角，然后

計算即可得到結(jié)果.

【詳解】（1）因為平面口□□工平面口□口口,且乙口口□=90°,即OZZ71口□,

旦口口匚平面□□□,平面口□□□平面□□口口=口口,所以□□上平面口口□口

又因為。Ou平面?？?。〃，所以口口人口口

因為Z7OZZ7U%菱形，所以?？诳?且OZ7n□口=口，ODOZZ7u平面OZZ7Z7,

所以_L平面OZZ7。，又因為￡7口u平面?？诳冢云矫婵凇？?，平面ODD

,.?平面Z7Z7Z7_L平面￡7￡7ZZ7￡7,^^□□□。平面口口口口=Z7￡71平面ZZ7ZJD/Z7.

連接口￡7,則N口。。就是直線。。與平面。。。斤斤成的角.

由題意得，△OO孕等邊三角形.

過D作□□[Z7OTO,則型0型中點，

???□□□□口?□□工□□，又□□△□口=?Z7Z71平面￡7/72

過□作口□1口方口，連接Z7O,則NOO既是二面角O-□□-中]平面角.

?:co"□□口=",；-tan2口□口=V7,

易得口口=1.口口=母.

□□口口

vS\R土□□匚!=~DD~DDf,解得。=2通,

:.tan乙□□口=攜=竽=V3,

」□□口=60°,即直線OD與平面SOU所成的角為60°.

【變式3-1]4.（2023春?全國?高一專題練習）如圖，菱形ABCD的邊長為2,上口□□=60°,E為AC

的中點，將4□口蝠AC翻折使點D至點方.

D'

c

⑴求證：平面口平面ABC;

⑵若三棱錐。'-。0OB勺體積為言,求二面角方-余弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)j

【分析】(1)由線線垂直證線面垂直，再證面面垂直；

(2)過方作方口1口田點口，過M忤口□>〃萬點。，連接?！?分析得NO'OOBU為二面角方-

□□-農(nóng)平面角，由三棱錐方-OOO體積求得。'￡7,即可進一步由幾何關(guān)系求得COSN。'￡70.

【詳解】(1)證明：在菱形口口。。中/口口口=60。,：.△□口堀4。。二均為等邊三角形，

又日為AC的中點，.?.0/71口□Q□1口口，口口門dD=口，口□、平面。

平面口已□,

又,.,￡7￡7u平面ABC,.,.平面O方01平面ABC.

(2)過日忤口口，口。于點￡7,?.平面。方0n平面ABC=□□,仃口u平面口廿口.:.廿口上平面

ABC.

:.=gxGx2x⑹.方。=竽=方。=蜉

□一□□□3\2733

過M作■口□10。于點O,連接方口，

,.,￡7Z7u平面ABC,:.d[J1.□口=口,已□，口Uc^■面□、口工平面仃□口,

?.,方Ou平面a。。，.,./Z7L71[j□.

.,.NZJ'OCBI］為二面角方-□□一勺平面角，

.RZ7=8-鋁竽，￡7口=竽的30。4

七0=」（甯+得）=C，，8SNO'S=青

故二面角方-□□-牛余弦值為《

【變式3-1】5.（2023春?全國?高一專題練習應(yīng)三棱柱口S—中,￡701口□,□口＞口口,

乙□、□□=-,點次棱的中點，點。是線段口入的一動點，□口、=□□=?□□=2.

（1）求證：□□［1口口;

（2）求平面a□□□［與平■面口1DO4所成的二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵當

【分析】（1）根據(jù)三棱柱中的垂直關(guān)系以及角度，可通過證明1平面。?？?，利用線面垂直的性質(zhì)

定理即可證明；（2）根據(jù)（1）可通過二面角的定義作出二面角的平面角，再利用線面垂直通過判斷三角

形形狀求得二面角的正弦值.

【詳解】（1）由題意可知，□□川□□「又所以?！?1口口、,

連接口a叩，如下圖所示：

由N&□□=—,□□、=￡70可知，△□□□[是正三角形,

又點。為棱的中點，所以口口11口口,

ZJ/ZZu平面/Z7ZZ7Z7,Z7Z7u平面Z7ZZ7E7,□□c□□=□.

所以￡741平面Z27Z7。，Su平面□□□

所以￡7&1

（2）由（1）知，□□、1口□,口□、1口□,

根據(jù)二面角定義可知，即為所求二面角的平面角或其補角，

在正三角形△口口口由，口口=2,所以□□=△,

因為。O_L,所以口￡71,

又□□L□□,且□□、n□□=口,解以□□母面口口□口,

而口口匚平面口口口口,所以0口1口□,

在RtRDe中,□□=V3,□□=1,

所以□□口=轉(zhuǎn)$=日,

于是平面a□□□、與平面口、口。&所成的二面角的正弦值為苧

【變式3-1]6.（2023春?全國?高一專題練習）如圖，在正四棱錐口-口口口收/口□□=?

p

(1)求側(cè)棱。。與底面口?？?。所成角的大?。?/p>

(2)求二面角O-□□-j勺大小的余弦值.

【答案】⑴?

⑵苧

【分析】(1)根據(jù)線面角的定義可證得為所求角，設(shè)等邊△口口儂邊長為口,由長度關(guān)系可求

得cow/口口口，從而得到結(jié)果；

(2)由二面角平面角定義可知N。。為所求二面角的平面角，由長度關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)底面正方形oooo的中心為。，連接oa□口，

由正四棱錐。一結(jié)構(gòu)特征知：□□口口口口,

即點。在平面￡7。0￡7上的投影為。，.??/〃〃口為側(cè)棱。。與底面口所成角，

在小￡70。中,□□=□□,4口口口=，：.△￡70%等邊三角形，設(shè)其邊長為0(/7>0),

???□□母面□□□□,Z7Z7u平面Z7Z7OZ7,□□1口口,

在RgODB,□□=□,□□/口口=與□，:.cos4□□□=寄=堂,

"□□□=/即側(cè)棱與底面所成角的大小為*

(2)取。。的中點為。，連接凹口口,

謝方形'口□;在等邊△□□袋,□□工□□,

??.NZ7OZ7為二面角。一□□-至平面角，

,??□□1^^口口口口3Z7Z7u平面Z7Z7O/7,□□1□□;

在R3OO?，￡7Z7=y￡7,.cos乙□□口=寄=弋,

??.二面角O-□□-甲大小的余弦值為冬

【變式3-1]7.(2022春?浙江麗水?高一?？茧A段練習)如圖1,在直角三角形。中，為直角，z

A=30°,D柱□□上,且口口=□口=V3，作￡701口中口,將4口口U臺直線0口斤母以口口所

處的位置，連接?？诳?如圖2.

(1)若平面DOC平面0DOO,求證:0Z71口□；

(2)若二面角口一口□-2為銳角，目二面角口一2勺正切值為等,求的長.

【答案】Q)證明見解析

⑵E

【分析】(1)由題意知DO,口口,由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面OOO,進而可得

(2)作所在的直線于點口由題意可得知口。1口□，所以平面即

可4導(dǎo)平面□□□1平面□□□□A乍□□L于點O，連接Z7O,進而可得N0/7。為二面角。-□□-

中平面角，設(shè)O,則tan￡7=^=等，設(shè)0/7=口卜<□曰腳□□=2□，口□=4-

20,￡70=4-20,進而可得依f=等，解得。,再由s=仃+皿,計算即可得答案.

V3(2—ZJ)92

【詳解】(1)證明：由題意知￡7口，口口,

又平面□□口1平面□口口口,平面□口□n平面□□□□=ULJu平面□□口口,

所以ZZ7O1平面￡700.

又□□u平面□□□,

所以□□工□口;

(2)解：由題意知□□[□□,

□□八口口=口,□□u平面□□□,￡7￡7u平面￡7?？?/p>

因而□□J■平面□□□,

又□口u平面口□□□,因而平面□□□_L平面□□□□.

如圖，作口。1。。所在的直線于點

又平面OZJOn平面。￡700=□口,口口匚強口口口，耐以□□L平■面□□□□.

忤UK彘口,連接口□,

則NZZ7O孕二面角。一□□-。的平面角，

設(shè)乙□□口=口,貝[|tan〃=等，

在4口口袋,z￡7=90°,zO=30°,UD=口口=0

所以口。=4,□□=2,Z7￡7=|,

設(shè)口口=D（0<，馳□□=?口，口口=q-2□，口口=4-2口,

因而Z7O=2A7）2=飛6口-4仃,￡7￡7=y□口=V3（2-D）,

在直角三角形0OO中,tan〃=穿=等，即^^=等，

解得□=；或。=提（舍去），此時V2,Z7￡7=3,

從而0。=>!LJLF+DE3=VTT.

【變式3-1]8.（2022春?河南洛陽?高一?？茧A段練習）如圖所示，四邊形￡700型菱形，Z7O=OO,

平面?？?1平面0。。，點〃是棱0%]中點.

P

⑴求證：□□工□□:

⑵若口口=□□=□□=2,求三棱錐。一DOS）體積.

心）若口口=□□,當二面角口-□□-05勺正切值為-2時，求直線0D與平面口口口。所成的角.

【答案】（1）證明見解析

⑵1

（3）45°

【分析】Q）先證明平面％。齒導(dǎo)到

（2）將三棱錐。-0。小勺體積轉(zhuǎn)化為三棱推。-承體積求解；

⑶設(shè)口口=展□，口口=□，可證得為二面角。一口□-。的平面角'可得tan乙口口口=喀=

2,NZ7ZZ7O為直線。。與平面所成的角，可求得tanN〃O￡7=1知NOD中小.

【詳解】（1）如圖所示，設(shè)點a是棱DU的中點，連接口。

由□□=及點a是棱O球中點，可得￡701口口，

因為平面平面口，平■面□□□c平面□□口=,U/Ju平面□□□,故￡7/7_1_平面

又因為口□u平面OZ7Z7Z7,所以口□1口口,

又因為