第02講正弦定理與余弦定理【學習目標】1.借助向量的運算,探索三角形邊長與角度的關系,掌握余弦定理、正弦定理2.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題【基礎知識】一、三角形中的誘導公式在△ABC中1.；2.；3.,.二、正弦定理1.在三角形ABC中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即．其中R是三角形ABC外接圓的半徑．2.正弦定理的其他形式：①a＝2RsinA,；②sinA＝eq\f(a,2R),sinB＝,sinC＝；③a∶b∶c＝.【解讀】①適用范圍:正弦定理對任意的三角形都成立.②結構形式:分子為三角形的邊長,分母為相應邊所對角的正弦的連等式.③揭示規(guī)律:正弦定理指出的是三角形中三條邊與對應角的正弦之間的一個關系式,它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關系.3.利用正弦定理求解“角角邊”型:已知兩角和任一邊.已知角B,C和邊a.4.利用正弦定理求解“邊邊角”型:已知兩邊和其中一邊的對角.已知角A和邊a,b(有解).5.在△ABC中,已知a、b和A時,解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解6.利用正弦定理判斷三角形形狀①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系,從而判斷三角形的形狀．②化角：通過三角恒等變換,得出內角的關系,從而判斷三角形的形狀,此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論．三、余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即,,.2.余弦定理的變形：cosA＝,cosB＝,cosC＝.3.由余弦定理可知,若C為銳角,則cosC>0,即a2＋b2>c2；若C為鈍角,則cosC<0,即a2＋b2<c2；若C為直角,則cosC=0,即a2＋b2=c2.故由a2＋b2與c2值的大小比較,可以判斷C為銳角、鈍角或直角．4.利用余弦定理求解“邊邊邊”型,即已知三邊.已知邊a,b,c.5.利用余弦定理求解“邊角邊”型,即已知兩邊及夾角.已知邊a,b和角C.6.利用余弦定理求解(3)“邊邊角”型,即已知兩邊和其中一邊的對角.已知邊a,b和角A.7.給出a2＋b2－c2＝λab形式求角,可用余弦定理；若,則；若成等差數(shù)列,或成等比數(shù)列,則8.三角形中多次使用正、余弦定理問題三角形中多次使用正、余弦定理是圖形問題求解時的常用策略,求解時要借助相等角、互補角、相等的線段在幾個三角形中分別使用正、余弦定理,列出多個關系式,相加或相減,或解方程組進行求解.四、三角形面積公式1.2.(p＝eq\f(a＋b＋c,2)),3.S＝rp(R為三角形外接圓半徑,r為三角形內切圓半徑,p＝eq\f(a＋b＋c,2))．4.△ABC的面積.五、解三角形的應用1.應用正、余弦定理解斜三角形應用題的一般步驟：(1)分析：理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖；(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標,把已知量與求解量盡量集中到一個三角形中,建立一個解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學模型的解；(4)檢驗：檢驗上述所求得的解是否符合實際意義,從而得出實際問題的解．2.與測量有關的幾類角(1)仰角和俯角與目標線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方叫仰角,目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖①)．(2)方向角相對于某正方向的水平角,如南偏東30°,北偏西45°等．(3)方位角指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角,如B點的方位角為α(如圖②)．(4)視角觀察物體時,從物體兩端引出的光線在人眼光心處所成的夾角(5)坡度(坡比)在修堤、筑壩、開渠、挖河時,我們常常需要表示斜坡的傾斜程度.在上坡公路旁的指示牌上也?？吹狡露鹊臉酥?坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做這個斜坡的坡度(或坡比).若用i表示坡度,則有,由坡度的意義可知,"坡度"是一個比值,它并不是表示一個角度.我們把斜坡面與水平面的夾角叫做坡角,若用α表示,可知坡度與坡角的關系是=tanα【考點剖析】考點一：利用正弦定理求角例1．(2022學年廣西憑祥市高級中學高一下學期第一次素質檢測)已知的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,則(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理可得,故,而,故,故選C.考點二：利用正弦定理求邊例2．(2022學年河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高一下學期階段性檢測)記的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,,,則(

)A． B．3 C． D．2【答案】B【解析】由題意得,由正弦定理得,得．故選B考點三：利用余弦定理求角例3．(2022學年山西省高一下學期第三次月考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,且,則角A的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由得,或(舍).故選A．考點四：利用余弦定理求邊例4．(2022年天津市南開區(qū)普通高中學業(yè)水平合格性考試)在中,若,則的長為__________．【答案】【解析】由余弦定理,即,所以,故答案為考點五：求三角形的面積例5．(2022學年北京市第六十六中學高一下學期線上診斷)已知的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,,則△ABC的面積為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】因為,故,而,故,故,故三角形的面積為,故選A．考點六：判斷三角形的形狀例6．(2022學年江蘇省徐州市沛縣高一下學期第一次學情調研)在中,角所對的邊分別是,且,則的形狀為(

)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【解析】因為,所以,即,整理得到,因為,,所以,即,,為等腰三角形.故選A考點七：三角變換與解三角形的交匯例7．(2022屆山東師范大學附屬中學高三下學期考前檢測)在①,②兩個條件中任選一個,補充在下面的問題中,并解答該問題.在中,內角、、所對的邊分別是、、,且________.(1)求角；(2)若,點是的中點,求線段的取值范圍.【解析】(1)解：選①,由及正弦定理可得,所以,,因為、,所以,,則,所以,,；選②,由及正弦定理可得,所以,,、,,所以,,則.(2)解：因為,所以,,由已知,即,所以,,所以,,即,所以,.考點八：四邊形中的解三角形例8．(2022屆安徽師范大學附屬中學高三下學期適應性考試)如圖,圓內接四邊形ABCD中,,,．(1)求邊的長；(2)設,,求的值．【解析】(1)圓內接四邊形ABCD中,,在△ACD中,由余弦定理得,所以邊的長是.(2)依題意,,在△ABC中,,為鈍角,由正弦定理得：,即,而為銳角,則,所以.考點九：三角形中的最值與范圍例9.(2022屆湖北省黃岡中學高三下學期5月適應性考試)在中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知,且滿足．(1)求角B的大小；(2)求的面積的最大值．【解析】(1)由正弦定理得,由余弦定理得,,∴；(2)因為,,當且僅當時,等號成立,所以,所以,所以的面積的最大值；綜上,,的面積的最大值.考點十：解三角形中的開放題例10.(2022屆江蘇省南京市天印高級中學高三下學期考前模擬)在①,②AC邊上的高為,③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中并完成解答.問題：記ABC內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,,______.(1)求c的值；(2)若點是邊上一點,且,求AD的長.【解析】(1)解：選條件①：,由余弦定理,則,解得,則；選條件②：AC邊上的高為,由三角形的面積公式,解得,.

選條件③：,由題意可知,所以,

因為,,,由正弦定理得,即,解得,.(2)選條件①：因為,所以,,,則,由正弦定理,；選條件②；因為,所以,,,則,由正弦定理,；選條件③：,由正弦定理,.考點十一：解三角形的應用例11.(2022學年上海市華東師范大學第二附屬中學高一下學期5月月考)市政部門要在一條道路路邊安裝路燈,如圖所示截面中,要求燈柱AB與地面AD垂直,燈桿為線段BC,,路燈C采用錐形燈罩,射出光線范圍為,A?B?C?D在同一平面內,路寬米,設.(1)求燈柱AB的高；(2)市政部門應該如何設置的值才能使路燈燈柱AB與燈桿BC所用材料的總長度最??？最小值為多少？(結果精確到0.01)【解析】(1)在中,,由,得,在中,,由,得.(2)中,由,得,∴,∵,∴,∴當時,取得最小值,故路燈燈柱AB與燈桿BC所用材料的總長度最小,最小值約為米【真題演練】1．(2021年高考全國卷Ⅱ)2020年12月8日,中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848．86(單位：m),三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖,現(xiàn)有A．B．C三點,且A．B．C在同一水平面上的投影滿足,．由C點測得B點的仰角為,與的差為100；由B點測得A點的仰角為,則A．C兩點到水平面的高度差約為() ()A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】過作,過作,故,由題,易知為等腰直角三角形,所以．所以．因為,所以在中,由正弦定理得：,而,所以,所以．故選B．2．(2020年高考全國卷Ⅲ)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,則cosB= ()A． B． C． D．【答案】A【解析】在中,,,根據(jù)余弦定理：可得,即由,故．故選A．3．(2021年高考全國卷Ⅱ)記的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為,,,則________．【答案】【解析】由題意,,所以,所以,解得(負值舍去)．4．(2020年高考全國卷Ⅰ卷)如圖,在三棱錐P–ABC的平面展開圖中,AC=1,,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=______________．【答案】【解析】,,,由勾股定理得,同理得,,在中,,,,由余弦定理得,,在中,,,,由余弦定理得．5．(2021新高考全國卷Ⅰ)記的內角,,的對邊分別為,,．已知,點在邊上,．(1)證明：；(2)若,求．【解析】(1)證明：由正弦定理知,,,,,,即,．；解法二：證明：由正弦定理知,(2)解法一：由(1)知,,,,在中,由余弦定理知,,在中,由余弦定理知,,,,即,得,,,或,在中,由余弦定理知,,當時,(舍；當時,；綜上所述,．6.(2021新高考全國卷Ⅱ)在中,角、、所對的邊長分別為、、,,.．(1)若,求的面積；(2)是否存在正整數(shù),使得為鈍角三角形?若存在,求出的值；若不存在,說明理由．【解析】(1)因為,則,則,故,,,所以,銳角,則,因此,；(2)顯然,若為鈍角三角形,則為鈍角,由余弦定理可得,解得,則,由三角形三邊關系可得,可得,,故.7.(2020新高考山東卷)在①,②,③這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,若問題中的三角形存在,求的值；若問題中的三角形不存在,說明理由．問題：是否存在,它的內角的對邊分別為,且,,________?注：如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分．【解析】解法一：由可得：,不妨設,則：,即.選擇條件①的解析：據(jù)此可得：,,此時.選擇條件②的解析：據(jù)此可得：,則：,此時：,則：.選擇條件③的解析：可得,,與條件矛盾,則問題中的三角形不存在.解法二：∵,∴,∴,∴,∴,∴,若選①,,∵,∴,∴c=1;若選②,,則,;若選③,與條件矛盾.8．(2020年高考全國卷Ⅱ)中,sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3,求周長的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得：,,,(2)由余弦定理得：,即．(當且僅當時取等號),,解得：(當且僅當時取等號),周長,周長的最大值為．【過關檢測】1．(2022屆上海市高三高考沖刺卷)如圖,在中,已知,D是邊上的一點,,則的長為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】在中,由余弦定理得：,因為,所以,在中,由正弦定理得：,即,解得：,故選D2.(2022學年遼寧省鐵嶺市清河高級中學高一下學期期中)在中,已知,那么一定是(

)A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】B【解析】因為,,所以,所以由正余弦定理得,化簡得,所以,所以為等腰三角形.故選B.3.(2022學年河南省洛陽市創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高一下期5月階段檢測)在中,AC＝2,,若有解,則BC的取值范圍為(

)A．[1,2) B．[1,＋∞) C． D．[2,＋∞)【答案】B【解析】因為有解,所以BC≥ACsinA＝1．故選B4.(多選)(2022學年遼寧師范大學附屬中學高一下學期5月考試)在中,分別為,,的對邊,下列敘述正確的是(

)A．若為鈍角三角形,則B．若是銳角三角形,則不等式恒成立C．,則D．若,則為鈍角三角形【答案】BCD【解析】對于A中,由余弦定理可得,所以角為鈍角,但是為鈍角三角形,不一定是角為鈍角,故選項A不正確；對于B中,若是銳角三角形,可得,所以,且,可得,所以,即不等式恒成立,所以B正確；對于C中,因為,由正弦定理得,又由,所以,可得,因為,可得,所以,即,又因為,所以,所以C正確；對于D中,在中,可得,所以,因為,可得,所以必有一個小于,不妨設,可得,所以為鈍角三角形,所以D正確；故選BCD5.(多選)(2022學年吉林省長春市東北師范大學附屬中學高一下學期期中)如圖,在平面四邊形ABCD中,,,,,則CD的值可能為(

)A．1 B． C． D．2【答案】CD【解析】設,在中,由正弦定理得,即,由余弦定理得,又,在中,由余弦定理得,其中,所以當時,,A、B錯誤,C正確；當時,,D正確.故選CD.6.(2022學年四川省內江市第六中學高一下學期期中)在△ABC中,角A、B、C所對邊分別為a、b、c,且,則______．【答案】5【解析】由正弦定理知,,即,,故,故.7．(2022學年三湘名校教育聯(lián)盟高一下學期5月聯(lián)考)如圖,無人機在離地面高300m的A處,觀測到山頂M處的仰角為、山腳C處的俯角為,已知,則山的高度MN為___m．【答案】450【解析】∵,∴,∵,又,,∴,在△AMC中,由正弦定理得,∴．8.(2022屆四川省宜賓市敘州區(qū)第一中學校高三下學期高考適應性考試)已知的內角A,B,