第17講三角恒等變換【學習目標】1.經歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義2.能從兩角差的余弦公式推導兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系3.能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶)【基礎知識】一、兩角和與差的三角函數公式1.兩角和與差的余弦公式2.兩角和與差的正弦公式3.兩角和與差的正切公式4.兩角和與差的正切公式的變形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；二、二倍角的三角函數1.二倍角的正弦、余弦、正切公式2.二倍角公式的變形形式(1)(sinα±cosα)2＝1±sin2α；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；(3)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).3．用正切來表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“萬能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).4.半角公式三、積化和差與和差化積公式1.積化和差公式sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]．2.和差化積公式sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2).sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2).cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).四、輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a))).其中角φ所在象限由a，b的符號確定，角φ的值由tanφ＝eq\f(b,a)確定或由sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))和cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))共同確定．【考點剖析】考點一：給角求值例1．(2022學年四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟學高一下學期期中)(

)A． B． C． D．考點二：給值求值例2．(2022學年山東省名校(歷城二中、章丘四中等校)高一下學期5月聯(lián)考)若，則(

)A． B． C． D．考點三：給值求角例3．(2022學年江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學高一下學期期中)設，且，則(

)A． B． C． D．考點四：輔助角公式的應用例4．(2022學年陜西省安康中學高一上學期期末)當時，函數取得最大值，則_______________．考點五：兩角和與差正切公式變形的應用例5.(2022學年江蘇省南通市如皋市高一下學期教學質量調研)已知，，則(

)A． B． C． D．考點六：平方相加求值例6．(2022學年浙江省“新高考名校聯(lián)盟”高一下學期5月)已知，，則(

)A． B． C． D．考點七：三角函數式的化簡例7．(2022學年江西省名校高一下學期期中調研)化簡______考點八：三角函數式的證明例8．(2022學年江西省名校高一下學期期中調研)(1)證明：(2)求值：【真題演練】1．(2020年高考數學課標Ⅱ卷)若α為第四象限角，則 ()A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<02．(2020年高考數學課標Ⅰ卷)已知，且，則 ()A． B． C． D．3．(2020年高考數學課標Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ= ()A．–2 B．–1 C．1 D．24.(2021年高考全國甲卷)若，則 ()A． B． C． D．5.(多選)(2020-2021學年遼寧省大連市第二十四中學高一下學期期中)已知，，則恒等于(

)A． B．C． D．6.(多選)(2022學年江西省臨川一中高一下學期月考)下列選項化簡值為1的有(

)A． B．C． D．7.(2022學年山東省煙臺市高一下學期期中)若，則______．8.(2020-2021學年遼寧省大連市第二十四中學高一下學期期中)化簡下列各式：(1)；(2)．【過關檢測】1.(2022學年湖北省荊州市沙市中學高一下學期期中)化簡：(

)A． B． C． D．2.(2022學年甘肅省天水市第一中學高一下學期段考)已知，，則(

)A． B． C． D．3.(2022學年貴州省黔東南州高一下學期期中)設，，，則(

)A． B． C． D．4.(2022學年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學期期中)若，，且，，則的值是(

)A． B． C．或 D．或5.(多選)(2022學年江蘇省徐州市睢寧縣高一下學期期中)已知，以下選項正確的是(

)A． B．C． D．6.(多選)(2021—2022學年江西省南昌市第二中學高一下學期第一次月考)下列等式中，正確的是(

)A．B．C．D．7.(2022學年云南省臨滄市云縣高一下學期期中)已知，均為銳角，且，，則cos＝___．8.(2022學年四川省內江市第六中學高一下學期期中)在△ABC中，，則的取值范圍是______．9.(2022學年四川省廣安市廣安第三中學