命題點8平面解析幾何預測說明直線與圓是解析幾何的基礎,考查重點是直線及其位置關系、直線與圓、圓與圓

的位置關系,一般以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn),有時也可能在解答題中與圓錐曲線

相結合考查直線方程的求解、直線與圓錐曲線的綜合、圓與圓錐曲線的綜合.圓錐曲線是平面解析幾何的重要內容,也是高考考查的重點,主要是應用方程思想求

解直線與圓錐曲線的綜合問題,考查在代數(shù)運算中,靈活運用設而不求的方法解決問

題的能力.命題方向:1.以直線與圓的幾何度量(弦長和距離)、圓與圓的幾何度量(公共弦與公切線方程等)

為考查重點,同時也可以與其他知識(如不等式、圓錐曲線、函數(shù)等)綜合,以小題為主,

難度中等.2.以圓錐曲線為載體,針對圓錐曲線的定義、標準方程和簡單的幾何性質及其應用,考

查圓錐曲線方程的求解、直線與圓錐曲線的位置關系等問題,各種題型都可能出現(xiàn),

解答題一般與函數(shù)、不等式、平面向量等知識構成綜合問題,在知識的交匯處命題,

注重對數(shù)學思想方法和邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的考查,難度較大.預測探究識透高頻考點1.(多選)(2024湖南衡陽第二次聯(lián)考,10)已知圓C:x2+y2=4,P是直線l:x+y-6=0上一動點,過

點P作直線PA,PB分別與圓C相切于點A,B,則

()A.圓C上恰有一個點到l的距離為2

B.直線AB恒過點

C.|AB|的最小值是

D.四邊形ACBP面積的最小值為2

BCD2.(多選)(2024湖南長沙長郡中學測試,11)設F1,F2為橢圓C:

+

=1的兩個焦點,P(x0,y0)為C上一點且在第一象限,I(x1,y1)為△F1PF2的內心,且△F1PF2內切圓半徑為1,則()A.|IP|=

B.x0=

C.x1=2

D.

·

=-

ABD3.(2024江蘇南京、鹽城二模,13)設雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的一個焦點為F,過F作一條漸近線的垂線,垂足為E.若線段EF的中點在C上,則C的離心率為

.4.(2024浙江麗水、湖州、衢州二模,18)已知拋物線E:y2=4x,點A,B,C在拋物線E上,且A

在x軸上方,B和C在x軸下方(B在C左側),A,C關于x軸對稱,直線AB交x軸于點M,延長線

段CB交x軸于點Q,連接QA.(1)證明:

為定值(O為坐標原點);(2)若點Q的橫坐標為-1,且

·

=

,求△AQB的內切圓的方程.

綜合能力考查

以拋物線為載體,考查圓錐曲線中的定值問題;利用內切圓的性質及相關知識,求圓的方程;考查運算求解、邏輯推理等能力

解析

(1)證明:設直線AB的方程為x=my+t(m>0),A(x1,y1),B(x2,y2),則C(x1,-y1),M(t,0),聯(lián)立

消去x得y2-4my-4t=0,由Δ=16(m2+t)>0,得m2+t>0,由根與系數(shù)的關系得y1+y2=4m,y1y2=-4t.直線BC的方程為y+y1=

(x-x1),化簡得y=

-

,令y=0,得xQ=

=-t,所以Q(-t,0),因此

=

=1.(2)因為點Q的橫坐標為-1,所以由(1)可知Q(-1,0),M(1,0),

因為A,C關于x軸對稱,所以x軸是∠AQB的平分線所在直線,所以△AQB的內切圓圓心

在x軸上,故設圓心為T(s,0)(-1<s<1),由(1)知y1y2=-4,x1+x2=my1+1+my2+1=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=

·

=1,又

=(x2-1,y2),

=(x1-1,-y1),則

·

=(x2-1)(x1-1)-y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=4-4m2,故4-4m2=

,結合m>0,得m=

.所以直線AB的方程為3x-

y-3=0,聯(lián)立

消去x,整理得,3y2-4

y-12=0,解得A

,又Q(-1,0),所以直線AQ的方程為y=

(x+1),化簡整理得3x-4y+3=0,因為圓心T到直線AB和直線AQ的距離相等,所以

=

,因為-1<s<1,解得s=

,故圓T的半徑r=

=

,因此圓T的方程為

+y2=

.悟透新型考法1.(2024安徽皖北五校聯(lián)考,8)已知實數(shù)x,y滿足x|x|+

=1,則|

x+y-4|的取值范圍是

(

)A.[4-

,2)

B.[4-

,4)C.

D.

B2.(2024浙江溫州第三次適應性考試,14)過拋物線y2=2px(0<p<2)焦點F的直線l交拋物

線于A,B兩點,點M(1,0),沿x軸將坐標系翻折成直二面角,當三棱錐A-FMB體積最大時,p

=

.3.(2024福建漳州四檢,17)已知橢圓E:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,點A

,B

,C(-1,2)中恰有兩個點在E上.(1)求E的方程;(2)設n∈N*,△AnBnCn的內角An,Bn,Cn的對邊分別為an,bn,cn,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=

,cn+1=

.若點Bn,Cn在x軸上且關于原點對稱,問:是否存在a1,使得點An都在E上,若存在,請求出a1,若不存在,請說明理由.

新型考法

利用橢圓的定義探究存在性問題

解析

(1)因為A

與B

關于x軸對稱,E也關于x軸對稱,A,B,C中恰有兩個點在E上,所以A,B在E上,C不在E上,所以

+

=1,又因為e=

=

,c=

,a>b>0,所以a=2,b=

,c=1,所以E的方程為

+

=1.(2)存在a1=2,使得點An都在E上.理由如下:因為an+1=an,所以an=a1,因為bn+1=

,cn+1=

,所以bn+1+cn+1=

(bn+cn)+an,即bn+1+cn+1=

(bn+cn)+a1,所以bn+1+cn+1-2a1=

(bn+cn-2a1),又因為b1+c1=2a1,所以b1+c1-2a1=0,所以bn+cn-2a1=0,即bn+cn=2a1,所以AnCn+AnBn=2a1>a1=

BnCn,所以點An在以Bn,Cn為焦點,2a1為長軸長的橢圓上,又因為E的焦點為(±1,0),長軸長為4,點Bn,Cn在x軸上且關于原點對稱,所以點An都在橢圓E上?

?a1=2,所以存在a1=2,使得點An都在E上.參透創(chuàng)新情境(2024江蘇蘇錫常鎮(zhèn)5月調研,18)三等分角是古希臘幾何尺規(guī)作圖的三大問題之一,如

今數(shù)學上已經(jīng)證明三等分任意角是尺規(guī)作圖不可能問題,如果不局限于尺規(guī),三等分

任意角是可能的.下面是數(shù)學家帕普斯給出的一種三等分角的方法:已知角α(0<α<π)的

頂點為A,在α的兩邊上截取|AB|=|AC|,連接BC,在線段BC上取一點O,使得|BO|=2|CO|,記

BO的中點為D,以O為中心,C,D為頂點作離心率為2的雙曲線M,以A為圓心,AB為半徑

作圓,與雙曲線M左支交于點E(射線AE在∠BAC內部),則∠BAE=

∠BAC.在上述作法中,以O為原點,直線BC為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系,若B(-2,0),點A在x軸的上

方.(1)求雙曲線M的方程.(2)若過點A且與x軸垂直的直線交x軸于點G,點E到直線AG的距離為d.證明:①

為定值;②∠BAE=

∠BAC.

創(chuàng)新情境

以三等分角為背景,以雙曲線為載體,考查圓錐曲線的綜合問題

解析

(1)設雙曲線M的方程為

-

=1(a>0,b>0),由|BO|=2|CO|及B(-2,0),可得C(1,0),所以a=1,因為雙曲線M的離心率為2,所以

=

=4,解得b2=3,所以雙曲線M的方程為x2-

=1.(2)證明:①因為|AB|=|AC|,B(-2,0),C(1,0),所以直線AG的方程為x=-

,設E(x0,y0)(x0≤-1),則

-

=1,

=3

-3,所以d=

=-x0-

,又|BE|