Page17浙江省杭州市蕭山區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一、單選題（本大題共8題，每題5分，共40分）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直線方程，由，求得傾斜角.【詳解】由直線方程知，直線斜率為，則，故傾斜角為，故選：A2.已知復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再利用模的公式求解即可【詳解】由，則故選：B【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題3.在中，已知，，，則等于（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理，，即，解得故選：B.4.已知圓錐側(cè)面積單位：為，且它的側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的體積單位：是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知條件及圓錐的側(cè)面積公式，再利用弧長(zhǎng)公式及圓的周長(zhǎng)公式，結(jié)合圓錐的體積公式即可求解.【詳解】因?yàn)閳A錐側(cè)面綻開(kāi)圖是半圓，面積為，如圖所示設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為a，則，解得，所以側(cè)面綻開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)為，設(shè)圓錐的底面半徑，則，解得，所以這個(gè)圓錐的體積為故選：C.5.已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（）A.，，則 B.，，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】由空間中的線面關(guān)系逐一推斷即可.【詳解】由題意可知，在A中，若，，則m與相交或平行或，A錯(cuò)；B中，若，，，則或m與n異面，B錯(cuò)；在C中，若，，則n與相交或平行或，C錯(cuò)；在D中，若，，則平面內(nèi)存在始終線平行于m，該直線垂直于平面，則，D正確.故選：D.6.已知向量，滿意，，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用投影向量的計(jì)算公式，可得答案.【詳解】解：在上的投影向量的坐標(biāo)為故選：B.7.已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），則點(diǎn)A到直線BC的距離為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的模，向量的夾角及三角函數(shù)即可求出點(diǎn)到直線的距離.【詳解】∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），∴點(diǎn)A到直線BC的距離為：d＝＝1×＝．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量坐標(biāo)的運(yùn)算，向量的模，向量的夾角，屬于簡(jiǎn)單題.8.柜子里有3雙不同的鞋子，假如從中隨機(jī)地取出2只，那么取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用列舉法列出全部可能狀況，再找出符合題意的基本領(lǐng)件數(shù)，最終利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】解：分別用，，，，，表示6只鞋，則可能發(fā)生的狀況有種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的事務(wù)有6種，即，，，，，，故選：C二、多選題（本大題共4題，每題5分，共20分）9.設(shè)復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.z的虛部是yB.C.若，則z為純虛數(shù)D.若滿意，則z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓【答案】AD【解析】【分析】對(duì)A選項(xiàng)，由復(fù)數(shù)概念即可推斷，對(duì)B選項(xiàng)綻開(kāi)即可推斷，對(duì)C選項(xiàng)，當(dāng)且時(shí)，z是純虛數(shù)，對(duì)D選項(xiàng)由復(fù)數(shù)模的幾何意義即可得到其軌跡.【詳解】由復(fù)數(shù)的概念知，A正確；，故B不正確；當(dāng)且時(shí)，z是純虛數(shù)，故C不正確；因?yàn)?，所以，即，表示以為圓心，1為半徑的圓，故D正確.故選：AD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，下列選項(xiàng)正確的是（）A.異面直線與所成的角為 B.三棱錐的體積為C.直線平面 D.二面角的大小為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，利用線線角的定義及正方體的性質(zhì)，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可求解；對(duì)于B，利用等體積法及棱錐的體積公式即可求解；對(duì)于C，利用線面垂直的判定定理即可求解；對(duì)于D，依據(jù)已知條件及二面角的平面角的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解；【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闉檎襟w，所以,且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且，所以異面直線與所成的角的大小即為與所成的角，故或其補(bǔ)角為所求.再由正方體的性質(zhì)可得為等邊三角形，故，即異面直線與所成的角為，故A正確；對(duì)于B，由題意可知，三棱錐三棱錐，故B正確；對(duì)于C，由正方體的性質(zhì)可得，平面,平面,所以,因?yàn)闉檎襟w，所以底面為正方形，即，又,平面,所以平面,又平面,所以同理可證，又，平面，所以平面，故C正確；對(duì)于D，由正方體的性質(zhì)可知,平面,平面,所以，因?yàn)闉檎襟w，所以底面為正方形，即，所以是二面角的平面角，因?yàn)闉檎襟w，所以平面為正方形，所以，即，所以二面角的大小為，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.11.在一個(gè)質(zhì)地勻稱的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事務(wù)A為“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事務(wù)B為“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”;事務(wù)C為“其次次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A.事務(wù)B與事務(wù)C是互斥事務(wù) B.事務(wù)A與事務(wù)B是相互獨(dú)立事務(wù)C.事務(wù)B與事務(wù)C是相互獨(dú)立事務(wù) D.【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)對(duì)立事務(wù)，獨(dú)立事務(wù)的概念及古典概型概率公式逐項(xiàng)分析即得．【詳解】解：對(duì)于A，事務(wù)與事務(wù)是相互獨(dú)立事務(wù)，但不是對(duì)立事務(wù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，事務(wù)A與事務(wù)B，，，，事務(wù)A與事務(wù)B是相互獨(dú)立事務(wù)，故B正確；對(duì)于C，事務(wù)B與事務(wù)，，，，事務(wù)B與事務(wù)C是相互獨(dú)立事務(wù)，故C正確；對(duì)于D，事務(wù)表示第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，其次次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故，故D正確．故選：BCD.12.已知圓，點(diǎn)P是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A. B.的最大值為C.的最大值為12 D.的最大值為9【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，依據(jù)推斷；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，取的最大值，再依據(jù)幾何關(guān)系求解推斷；對(duì)于CD選項(xiàng)，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題即可求解.【詳解】由題意知，圓心，半徑為，所以，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在AC之間時(shí)，最小，此時(shí)，所以，即選項(xiàng)A正確;當(dāng)直線AP與圓C相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)，，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤;設(shè)，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)，有最大值為，即選項(xiàng)C正確;，所以的最大值為，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題（本大題共4題，每題5分，共20分）13.已知向量，，若，則__________【答案】【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量線性運(yùn)算得的坐標(biāo)，再依據(jù)向量共線坐標(biāo)運(yùn)算即可求的值.【詳解】解：，由，，可得，解得故答案為：.14.寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的一條直線方程__________.【答案】或?qū)懗?條即可【解析】【分析】分直線過(guò)原點(diǎn)與不過(guò)原點(diǎn)兩類探討，過(guò)原點(diǎn)設(shè)，不過(guò)原點(diǎn)設(shè)，分別代入點(diǎn)，求出未知數(shù)即可得到直線方程.【詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程設(shè)為代入點(diǎn)A得：；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為：，把點(diǎn)代入直線的方程可得，則直線方程是故答案為：或?qū)懗?條即可15.已知圓，以點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓與圓C有公共點(diǎn)，則r的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)兩圓有公共點(diǎn)滿意，即可求解.【詳解】由題意知，的圓心為，兩圓心的距離.因?yàn)閮蓤A相交或相切，所以，解得故答案為：16.已知直四棱柱，底面ABCD為平行四邊形，，，，，以為球心，半徑為2的球面與側(cè)面的交線的長(zhǎng)度為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由球的性質(zhì)得交線為圓的一部分，而由題數(shù)據(jù)可證平面，即為圓心，在和上分別找到與球面的交點(diǎn)后計(jì)算弧長(zhǎng)，【詳解】如圖，取，連接，因在直四棱柱中，側(cè)棱底面ABCD，可得直四棱柱的四個(gè)側(cè)面均為矩形，所以，因?yàn)?，所以以為球心，半徑?的球面與直線相切.在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，依據(jù)余弦定理可得，，所以因?yàn)?，平面，所以，所以，所以球面與側(cè)面的交點(diǎn)為F和，又，平面，所以點(diǎn)F和在以為圓心，半徑為1的圓上，因?yàn)椋曰〉拈L(zhǎng)度為，所以球面與側(cè)面的交線為弧，所以球面與側(cè)面的交線的長(zhǎng)度為故答案為：四、解答題（本大題共6題，共70分）17.已知直線（1）求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn);（2）求點(diǎn)到直線l的距離的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)（2）【解析】【分析】（1）整理方程，分別出參數(shù)，建立方程組，解得答案；（2）由（1）可知直線過(guò)定點(diǎn)，兩點(diǎn)距離公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】由直線，則，可得，解得，故直線l過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】由（1）可知直線過(guò)定點(diǎn)，18.杭州市某中學(xué)從學(xué)生中招收志愿者參與迎亞運(yùn)專題活動(dòng)，現(xiàn)已有高一540人、高二360人，高三180人報(bào)名參與志愿活動(dòng).依據(jù)活動(dòng)支配，擬采納分層抽樣的方法，從已報(bào)名的志愿者中抽取120名.對(duì)抽出的120名同學(xué)某天參與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間均在至分鐘之間，其頻率分布直方圖如下：（1）需從高一、高二、高三報(bào)名的學(xué)生中各抽取多少人?（2）（i）請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖;（ii）求這120名學(xué)生運(yùn)動(dòng)時(shí)間的第80百分位數(shù)是多少?【答案】（1）高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人（2）（i）直方圖見(jiàn)解析；（ii）【解析】【分析】（1）由分層抽樣的比例公式求解即可；（2）計(jì)算頻率并補(bǔ)全頻率分布直方圖；由百分位數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解即可【小問(wèn)1詳解】報(bào)名的學(xué)生共有1080人，抽取的比例為所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人【小問(wèn)2詳解】（i）第三組的頻率為故第三組的小矩形的高度為，補(bǔ)全頻率分布直方圖得（ii）各組的頻率分別為，前四組的頻率之和為，前五組的頻率之和為，所以第80百分位數(shù)為所以第80百分位數(shù)是19.袋中有形態(tài)、大小都相同的個(gè)小球，標(biāo)號(hào)分別為.（1）從袋中一次隨機(jī)摸出個(gè)球，求標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)的概率;（2）從袋中每次摸出一球，有放回地摸兩次.甲、乙約定：若摸出的兩個(gè)球標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)，則甲勝，反之，則乙勝.你認(rèn)為此嬉戲是否公允?說(shuō)明你的理由.【答案】（1）（2）是公允，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用列舉法寫(xiě)出樣本空間及事務(wù)的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式即可求解;（2）利用列舉法寫(xiě)出樣本空間及事務(wù)的樣本點(diǎn)，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式及概率進(jìn)行比較即可求解.【小問(wèn)1詳解】試驗(yàn)的樣本空間，共6個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事務(wù)B，則B包含的樣本點(diǎn)為，，，，共4個(gè)，所以【小問(wèn)2詳解】試驗(yàn)的樣本空間，共有16個(gè)，設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事務(wù)C，事務(wù)C包含的樣本點(diǎn)為，，，，，，，，共8個(gè),故所求概率為,即甲勝的概率為，則乙勝的概率為,所以甲、乙獲勝的概率是公允的.20.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面設(shè)平面平面（1）證明：平面，（2）若，求直線l與平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)線面平行判定定理以及線面平面性質(zhì)定理，可得答案；（2）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量以及平面的法向量，結(jié)合線面角的向量公式，可得答案.【小問(wèn)1詳解】四棱錐的底面為正方形，，平面PAD，平面PAD，平面PAD，又平面平面，，又平面ABCD，平面ABCD，平面.【小問(wèn)2詳解】由底面ABCD且四棱錐的底面為正方形，可知DA、DC、DP兩兩相互垂直，以D為原點(diǎn)，以DA、DC、DP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：由于，則，，，，設(shè)平面PAC的法向量是，則，令，得，，直線的一個(gè)方向向量為，設(shè)直線l與平面PAC所成角為，則21.已知圓C的半徑為3，圓心C在射線上，直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為（1）求圓C方程;（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C交于M、N兩點(diǎn)，且的面積是為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意設(shè)圓心，則圓的方程為，由垂徑定理結(jié)合弦長(zhǎng)即可求解；（2）分斜率存在與不存在兩種狀況結(jié)合三角形面積求解即可【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓心，則圓的方程為，或舍去圓的方程為【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線l方程為，原點(diǎn)到直線的距離為，令代入圓方程得或，，滿意題意.此時(shí)方程為②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，圓心到直線l的距離，原點(diǎn)O到直線l的距離，整理，得，此時(shí)k無(wú)解．綜上所述，所求的直線的方程為22.如圖1是直角梯形ABCD，，，，，，以BE為折痕將折起，使點(diǎn)C到達(dá)的位置，且，如圖（1）證明：（2）求二面角余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）或【解析】【分析】