數(shù)學(xué)必修二直線與平面垂直的判定

學(xué)校：班級：姓名：考號：

1.已知互相垂直的平面a,￡交于直線若直線m,九滿足?n〃a,nl￡,則（）

A.n11B.m1nC.m///D.m//n

2.在正方體/8。。一4道傳1。1中，直線41c與平面4BCD所成角的正弦值等于（）

3.在正方體4BCD中,與平面8B1D1。所成的角的大小是（)

A.900B.30°C.45°D.60°

4.如圖，四棱錐P-ABCD中，△P4B與△PBC是正三角形，平面P4B，平面PBC,

AC1BD,則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.PB1ACB/D，平面4BCD

C.AC1PDD.平面PBD_L平面/BCD

5.設(shè)a、b、c表示三條直線，Q、/?表示兩個平面，則下列命題中不正確的是（）

c1a）八

A-a"木=cLB

alb、

B.buB-=>61c

c是a在B內(nèi)的射影,

b//c'

C./?ua=c〃/a

cCa.

6.如圖，直三棱柱4BC-&B1G中，各棱長均為4,。為棱4B的中點(diǎn)，則AC與平面

&DC所成角的正弦值為

7.已知棱長為2的正方體4BCD-4/修1。1，P是過頂點(diǎn)B,D,劣，當(dāng)圓上的一點(diǎn)，Q

為CQ中點(diǎn)，則PQ與面ABC。所成角余弦值的取值范圍是（）

B咯1]D.噂，1]

A-[°<y]

8.設(shè)a、6、y為平面，m、n、1為直線，則m10的一個充分條件是（）

A.a1/?,aC0=1,m1IB.aDy=m,a1y,/?1y

C.a1y,01y,mLaD.n1a,n_L0,mla

9.a、夕是兩個不同的平面，m、ri是平面a及/?之外的兩條不同直線，給出四個論斷：

①m1n；②a_L0；③nl.；@m1a.以其中三個論斷作為條件，余下一個作為

結(jié)論，其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.已知三棱錐P-ABC中，PA1平面力BC,AB=1,Z.ABC=120°,設(shè)P4=x,

BC=y，直線PC與直線4B所成的角為。，則有（）

A.當(dāng)％=1時，。隨著y的增大而增大B.當(dāng)x=l時，。隨著y的增大而減小

C.當(dāng)y=l時，9隨著x的增大而增大D.當(dāng)y=l時，。隨著久的增大而減小

11.如圖，已知二面角a-/-0的大小是60°,線段4B€a.B&l,4B與，所成的角為

試卷第2頁，總47頁

a

30。，貝lUB與平面0所成的角的正弦值是.

12.二面角的棱與這個二面角的平面角所在的平面的關(guān)系是

13.如圖①所示，在正方形SGiG2G3中，E,F分別是邊6道2、G2G3的中點(diǎn)，。是E尸的

中點(diǎn)，現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個幾何體（如圖②使G]G2、G2G3三點(diǎn)重

合于一點(diǎn)G）,則下列結(jié)論中成立的有（填序號）.①SGL面EFG；?SDL0

EFG；（3）GFiffiSFF；@GDifflSFF

14.在正方體力BCD-4中傳1。1中，對角線AC1與底面4BCD所成角的正弦值為

15.已知棱長為1的正方體一&B1GD1，直線BD與平面&BQ所成角的余弦值為

16.已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別為4,B,C,點(diǎn)A,B在數(shù)軸上的位置如

圖所示.若|b|=4,AC=2,則a+b—c=.

1ill>

BOAC

17.命題："若空間兩條直線a,b分別垂直平面a,則?！?"學(xué)生小夏這樣證明：

設(shè)a,匕與面a分別相交于4、B,連結(jié)4B

ala,bla,ABua...①

a1AB,b1AB...（2）

a〃b...③

這里的證明有兩個推理，即：①"②和②=③.

老師評改認(rèn)為小夏的證明推理不正確，這兩個推理中不正確的是.

18.直線/的一個方向向量與平面a的一個法向量間的夾角為|兀，則直線1與平面a間的

夾角為.

19.己知正四棱柱力BCD-ABC%中，44i=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正切

值等于.

20.如圖，下列五個正方體圖形中，/是正方體的一條對角線，點(diǎn)M、N、P分別為其所

在棱的中點(diǎn)，能得出/垂直于平面MNP的圖形的序號是.

21.在所有棱長均為2的四面體ZBCD中，E是BC的中點(diǎn)，寫出四面體中與平面4ED垂

直的面，并說明理由.

22.在三棱柱4BC-4B1G中，已知A8=AC=44i=遮，BC=4,。為BC的中點(diǎn),

&O_L平面ABC.

4G

（1）證明四邊形BBiGC為矩形；

（2）求直線A①與平面力iB]C所成角的余弦值.

23.在長方體4BC0-4B1GD1中，EeCC1；BXE1BCr,AB=CD,求證：4cli面

試卷第4頁，總47頁

B1ED1.

24.在直三棱柱&BiCi-ABC中，AC1BC,BB1=BC=2,。為線段AB上一點(diǎn),

4G〃平面BiCD.

(1)求證：。為4B中點(diǎn);

(2)若4區(qū)與&C所成角為45。，求直線4當(dāng)與平面&CD所成角的正弦值.

25.如圖，已知的BCD為平行四邊形，乙4=60。，線段48上點(diǎn)F滿足4F=2FB,AB長

為12,點(diǎn)E在CD上，EF//BC,BD1AD,BD與EF相交于N.現(xiàn)將四邊形4DEF沿EF

折起，使點(diǎn)。在平面BCEF上的射影恰在直線BC

(1)求證：BD_L平面BCEF；

(2)求折后直線DE與平面BCEF所成角的正弦值.

26.在直三棱柱4BC-4B'C'中，底面4BC是邊長為2的正三角形，。是棱4C'的中點(diǎn),

且44'=2V2.

(/)試在棱CC'上確定一點(diǎn)M,使AM1平面4B'O'；

(〃)當(dāng)點(diǎn)M在棱CC'中點(diǎn)時，求直線4B'與平面4BM所成角的大

27.在如圖的空間幾何體中，△ABC是等腰直角三角形，乙4=90。，BC=2/，四邊

形BCED為直角梯形，ADBC=90°,BD=1,DE=V2,F為4B中點(diǎn).

(I)證明：DF〃平面4CE；

(U)若AD=VX求CE與平面4DB所成角的正弦值.

28.直三棱柱ABC-AiBiG中，AC=BC=AAlt乙4cB=90。，求直線41c與平面

&BG所成的角的大小為？

29.如圖，三棱錐P-ABC的底面是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱PA=3,PB=4,

試卷第6頁，總47頁

PC=5,設(shè)點(diǎn)M,N分別為PC,BC的中點(diǎn).

(1)求證：BCIffil/IM/V；

(2)求直線AP與平面4MN所成角.

30.如圖，正方形ABCD的對角線ZC與3D相交于點(diǎn)。，四邊形OAEF為矩形，平面

OAEF_L平面力BCD,AB=AE.

求證：平面DEFJ■平面BDF；

若點(diǎn)H在線段BF上，且BF=3HF,求直線CH與平面DEF所成角的正弦值.

31.已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA,PB、PC兩兩垂直，H是△ABC的垂心，求

證：PH1平面4BC.

32.如圖，等腰直角△ABC中NB是直角，平面ABEF_L平面4BC,2AF=AB=BE,

"718=60,AF//BE.

F

(1)求證：BC1BF；

(2)求直線BF與平面CEF所成角的正弦值.

33.如圖，SAL^iABC,乙ACB=90°,Z.ABC=30",AC=1,SB=2同

(1)求SC與平面4BC所成的角;

(2)求SC與平面S4B所成的角.

34.如圖，在直三棱柱ABC-AiBiG中，AACB=90",AC=CB=CQ=2,E是4B中

(1)求證：ABX1平面為CE；

(2)求直線41cl與平面4CE所成角的正弦值.

35.如圖(1),在RtZkABC中，ZC=90",BC=2,AC=4,點(diǎn)D,E分別是4C,AB的

中點(diǎn)，將△4DE沿DE折起到△&DE的位置，使&。_LDC如圖(2)所示，M為4。的中

試卷第8頁，總47頁

點(diǎn)，求CM與面aEB所成角的正弦值.(D(2)

36.如圖，四棱錐S-ABC。中，AB//CD,BCLCD,側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=

BC=2,CD=SD=1.

(I)證明：SDJ■平面SAB；

(口)求AB與平面SBC所成的角的大小.

37.如圖，已知四棱錐P-力BCD中，底面4BC。為菱形，PA_L平面ABCD,乙4BC=

60。，E,F分別是BC,PC的中點(diǎn).

(1)證明：AE_L平面PAD；

(2)取4B=2,在線段PD上是否存在點(diǎn)“，使得EH與平面PAD所成最大角的正切值

為日，若存在，請求出H點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由.

38.如圖，在三棱錐P-4BC中，APAB和均為邊長是近的正三角形，且

Z.BAC=90°,。為BC的中點(diǎn).

(1)證明：PO，平面4BC；

(2)求直線PB與平面PAC所成角的正弦值.

39.如圖，在三棱錐P-4BC中，△ABC是邊長為2的正三角形，NPC4=90。，E,H分

別為4P,AC的中點(diǎn)，AP=4,BE=6.

(1)求證：AC1平面BEH；

(2)求直線P4與平面力BC所成角的正弦值.

40.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面4BCD是邊長為4的正方形，側(cè)面PCD為正三角形

且二面角P-CD—4為60。.

(I)設(shè)側(cè)面PAD與PBC的交線為TH,求證：m//BC-,

(II)設(shè)底邊AB與側(cè)面PBC所成角的為。，求sin。的值.

試卷第10頁，總47頁

參考答案與試題解析

數(shù)學(xué)必修二直線與平面垂直的判定

一、選擇題（本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分）

1.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直的判定

【解析】

由已知條件推導(dǎo)出，u.,再由n±S，推導(dǎo)出nil.

【解答】

解：丫平面aC0=I,

：.Iu0,

,：nip,

：.nil.

故選4

2.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

根據(jù)直線和平面所成角的定義即可得到結(jié)論.

【解答】

連結(jié)AC,

則AC是41c在平面4BCD上的射影，

則乙41c4即為直線4C與平面力BCC所成角的正弦值，

設(shè)正方體的棱長為1,

則AC-V2.ArC—>/3,

則sin乙41cA=薨=專=*

3.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：顯然，&G面垂足為0（力傳1與的交點(diǎn)）.

則即為與平面BaD1D所成的角，

在R74&0B中,

sin乙41/。=

ArB2

故與平面BBWiD

所成的角是30。.

故選B.

4.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直的判定

【解析】

此題暫無解析

【解答】

如圖，對于4取PB的中點(diǎn)。，連接AO,CO.因?yàn)樵谒睦忮FP-ABCD中，△248與4

PBC是正三角形，平面P4B_L平面PBC,所以4。1PB,C。_LPB,因?yàn)?0nC0=。，

所以PB1平面A0C,因?yàn)锳Cu平面40C,所以PB14C,故選項(xiàng)A正確；對于B,設(shè)

AC與BD交于點(diǎn)M,易知M為4c的中點(diǎn)，若PDJ■平面4BCD,則PO1BD,由已知條件

知點(diǎn)。滿足4c_LBD且位于BM的延長線上，所以點(diǎn)。的位置不確定，所以PD與BD不一

定垂直，所以PD_L平面4BCD不一定成立，故選項(xiàng)B不正確；對于C,因?yàn)锳C1

PB,AC1BD,PBC\BD=B,所以4cl平面PBD,因?yàn)镻Du平面PBD,所以ACIP。,

故選項(xiàng)C正確；對于D,因?yàn)?cl平面PBO,4Cu平面4BC0,所以平面PBO1平面

ABCD,故選項(xiàng)。正確.故選B.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直的判定

【解析】

由面面平行及線面垂直的幾何特征，可判斷4的真假；根據(jù)三垂線定理，我們可判斷B

的真假；根據(jù)面面平行的判定理，可判斷C的真假，根據(jù)線面平行，線面垂直的幾何特

征可判斷D的真假；進(jìn)而得到答案.

【解答】

解：由?！?bla可得的位置關(guān)系有：

bIIa,bc.a,

b與a相交不一定垂直，

所以答案。不正確.

試卷第12頁，總47頁

故選。

6.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

利用等體積計(jì)算點(diǎn)4到平面4CC的距離為九，再利用正弦函數(shù)可求AC與平面4DC所成

角的正弦值

【解答】

解：設(shè)點(diǎn)4到平面&DC的距離為九，則

???直三棱柱力BC-A/iG中，各棱長均為4,。為棱的中點(diǎn)

CD±ArD,CD=2y/3,A^D=2yj5

SA4[DC=5X2V5X2V3=2V15,S“CD=2V3

^Ai-ACD=^A-A^CD

IX2V3X4=gX2V15Xh

h4

.1.AC與平面4/C所成角的正弦值為￡=親=?

故選人

7.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

以。為原點(diǎn)，。4為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連結(jié)DB「

交于點(diǎn)0，過。作當(dāng)久的垂線交延長，交瓦瓦于E,結(jié)合圖形得QE與面ABCD所成角余

弦值是PQ與面4BC0所成角余弦值的最小值，過Q作BC的平行線交圓于F,此時PQ與

面力BCD所成角余弦值的取最大值，由此能求出PQ與面力BCD所成角余弦值的取值范圍.

【解答】

解：以。為原點(diǎn)，DA為x軸，。。為、軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

連結(jié)BO1，DBi，交于點(diǎn)。，過。作/Di的垂線交延長，交瓦瓦于E,

則0E=V5,Q(0,2,1),F(l,1,V3+1),

QE=(1,-1,V3),平面力BC。的法向量蔡=(0,0,1),

結(jié)合圖形得QE與面ABCD所成角余弦值是PQ與面4BCD所成角余弦值的最小值，

設(shè)QE與面4BCD所成角為0,

cos。=||<2F|-|n||=哈|=?，即PQ與面ABCC所成角余弦值的最小值為尊

過Q作BC的平行線交圓于F,此時PQ與面4BCD所成角余弦值的取最大值1,

PQ與面4BC。所成角余弦值的取值范圍是[誓，1].

【答案】

D

【考點(diǎn)】

充分條件、必要條件、充要條件

【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理可知選項(xiàng)4是否正確，根據(jù)平面a與平面￡的位置關(guān)系進(jìn)行判

定可知選項(xiàng)B和。是否正確，根據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行，以及與兩平行平面中

一個垂直則垂直于另一個平面，可知選項(xiàng)。正確.

【解答】

a1/??anf3=l,mil,根據(jù)面面垂直的判定定理可知，缺少條件mua,故不正確;

aCiy=m,a1y,0_Ly,而a與￡可能平行，也可能相交，則m與￡不一定垂直，故

不正確；

a1y.8,y,m1a,而a與￡可能平行，也可能相交，則?n與￡不一定垂直，故不正

確；

n1a,nip,=a〃￡,而m_La,則7n10,故正確

9.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直的判定

【解析】

構(gòu)造長方體ABCC-AiBiCiDi，然后以四個論斷中的其中三個為條件，推導(dǎo)第4個，借

助于長方體中的線與面進(jìn)行合理構(gòu)造，然后進(jìn)行合理推理，得出正確結(jié)論.

【解答】

解：如圖，做出長方體ABCD-4B1GD1，下面判斷一下四個命題：

(l)(l)mln；②alA；③n_L/?=④m_La.在長方體ABC。-48傳1。1中，令面

4DD1占為a,面4BC0為￡,直線CQ為n,41cl為m,顯然m不與a垂直，所以此命題

是假命題；

(2)①ni1n；②al。；@m1a=>(3)n1/?.此命題和上一命題是一樣的，所以也

是假命題；

(3)①m1n；③？110；(4)m1a=>(2)a1p.由已知，m>n分別是面a,/?的法向

試卷第14頁，總47頁

量，因?yàn)閙_Ln,所以就工六所以a1￡,所以此命題是真命題；也可以利用長方體

進(jìn)行直觀判斷；

（4）②a10；③nl伙④mlan①mln.在長方體ABCD-&B1QD1中，令面

ADD14為a,面ABC。為/?,直線。1的為zn,CC?n,則7nlM.所以此命題為真命題.

故正確命題有兩個.

10.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：當(dāng)％=1時，。與y無關(guān)系，排除A,B；

當(dāng)y=l時，。隨著x的增大而增大.

故選C.

二、填空題（本題共計(jì)10小題，每題3分，共計(jì)30分）

11.

【答案】

V3

T

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

過點(diǎn)4作平面￡的垂線，垂足為C,在S內(nèi)過C作/的垂線.垂足為D,連接4D,從而

〃。（；為二面角戊一「￡的平面角，連接CB,則乙4BC為4B與平面/?所成的角，在直角

三角形4BC中求出此角即可.

【解答】

解：過點(diǎn)4作平面￡的垂線，垂足為C,在0內(nèi)過C作加勺垂線.垂足為D

連接4D,有三垂線定理可知AD1

故乙4DC為二面角a-Z-0的平面角，為60°

又由已知，乙4BD=30°連接CB,則N4BC為4B與平面0所成的角

設(shè)4。=2,則AC=8，CD=1,AB==4

【答案】

相交且垂直.

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直的判定

【解析】

由二面角的棱與二面角的平面角的定義，作出圖，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理即

可得解.

【解答】

解：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直

線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角（這條直線叫做二面角的棱，每個半

平面叫做二面角的面）.

以二面角的公共直線上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于公共直線的兩條射

線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.

如圖，由以上定義可知：

若N40B是平面a和/?的平面角，

則1±OA,I1OB,

：.I1平面。4B

故答案為：相交且垂直./

13.

【答案】

①

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直的判定

【解析】

根據(jù)題意，在折疊過程中，始終有SGi^GiE,SG31G3/，即SG1GE,SG1GF,由

線面垂直的判定定理，易得SGJ_平面EFG.

【解答】

解：丫在折疊過程中，始終有SGilGiE,SG31G3F,即SGIGE,SG1GF,二

SG即①正確；

設(shè)正方形的棱長為2a,則DG=/a,SD=|V2a,「SG2DG2+SD2,SD與

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DG不垂直，，②④不正確；

VSG1GF,：.GF與S尸不垂直，二③不正確;

故答案為：①.

14.

【答案】

V3

T

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

根據(jù)直線和平面所成角的定義即可得到結(jié)論.

【解答】

解：如圖，

則4C是41c在平面ABCD上的射影，

所以乙41cA即為直線4C與平面ABCZ)所成角.

設(shè)正方體的棱長為a,

則4遇=a,AC=yja2+a2=V2a,41c=J(V2a)z+a2=V3a>

所以sin乙41a4=.

41c3

故答案為：y.

15.

【答案】

V3

T

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

由已知中棱長為1的正方體4BCD-aB1C1D1，我們以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以4B,AD,

A4方向?yàn)閄、八Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，分別求出直線BD的方向向量及平面

&BC1的法向量，代入向量夾角公式即可求出直線8。與平面4BC1所成角的余弦值.

【解答】

解：以4點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AD,A4方向?yàn)閄、丫、Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系,

正方體4BCD-&B1GD1的棱長為1

BD=(-1,1,0),平面的一個法向量為B；D=(-1,1,-1)

cos<BD,B；D>=\BD\■\B^D\=y

設(shè)直線BO與平面ABC1所成角為0,

則cos。=sin<BD,最D>=y

故答案為：條

16.

【答案】

-6

【考點(diǎn)】

數(shù)軸

絕對值

有理數(shù)的加減混合運(yùn)算

【解析】

由數(shù)軸可知，Q>0,c>0,h<0,因此b=-4,c-a=2,所以Q+b-c=b+

(a—c)=b—(e—a)=-4—2=—6

【解答】

解：由數(shù)軸可知，b<0<a<c,

\b\=4,AC=2,

b=—4,c—Q=2,

a+b—c=b+(a—c)

=b—(c—a)

=-4—2=-6.

故答案為：—6.

17.

【答案】

②一③

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直的判定

【解析】

②=③時依據(jù)的是：垂直于同一條直線的兩直線平行，實(shí)際上垂直于同一條直線的兩

直線相交、平行或異面.

【解答】

解：根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理知：

ala,bA.a,力Bua...①

a1AB,b1AB...(2)

即①=②是正確的；

a1AB,b1

a〃b...③

即②=③時依據(jù)的是：垂直于同一條直線的兩直線平行，

實(shí)際上垂直于同一條直線的兩直線相交、平行或異面，

故②=③是錯誤命題.

故答案為：②一③.

18.

【答案】

71

6

【考點(diǎn)】

試卷第18頁，總47頁

直線與平面所成的角

【解析】

由已知條件知直線，的方向向量與平面a的法向量小的夾角等于泉再根據(jù)直線/的方向

向量與平面a的法向量小的夾角與直線，與平面a所成的角的和為》

由此能求出直線/與平面a所成的角的大小.

【解答】

解：?：直線，的方向向量與平面a的法向量大的夾角等于半，

直線，的方向向量與平面a的法向量小的夾角等于半

直線，的方向向量與平面a的法向量小的夾角與直線，與平面a所成的角的和為:

直線I與平面a所成的角等于三

6

故答案為：

6

19.

【答案】

2V5

—

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

設(shè)4B=1,則A4=2,建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面BOG的一個法向量，CD與平面

所成角為。，則sin。=|日||辰在空間坐標(biāo)系下求出向量坐標(biāo)，代入計(jì)算即可.

【解答】

解：設(shè)4B=1,則44i=2,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則。(0,0,2),G(0,1,0),

B(l,1,2),C(0,1,2),

DB=(1,1,0),DCi=(0,1,-2),DC=(0,1,0),

設(shè)蔡=(x,y,z)為平面BDG的一個法向量，

則就=(-2,2,1),

設(shè)CO與平面BDG所成角為仇則sin。=\\Tn\\DTC\\=|9,

故答案為：$

20.

【答案】

①④⑤

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直的判定

【解析】

設(shè)定正方體的頂點(diǎn)如圖，連結(jié)DB,AC,根據(jù)M,N分別為中點(diǎn)，判斷出MN〃4C,由

四邊形4BCD為正方形，判斷出AC1B。進(jìn)而根據(jù)OD'J"平面4BCD,4Cu平面4BCD,

判斷出DD'LAC,進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出4cl平面DBB',根據(jù)線面垂直

的性質(zhì)可知AC_LDB',利用線面垂直的判定定理推斷出由MN〃/1C,推斷出DB'1

MN,同理可證CB'LMF,DBUNF,利用線面垂直的判定定理推斷出DB'_L平面

MNF.④中由①中證明可知/1MP,根據(jù)MN〃/IC,AC1I,推斷出/_LMN,進(jìn)而

根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出/_L平面MNP,同理可證明⑤中/1平面MNP.

【解答】

連結(jié)08,AC,

???M,N分別為中點(diǎn)，

MN//AC,

???四邊形4BCD為正方形，

AC1BD,

BB'J"平面ZBCD,ACu平面4BCD,

BB'J.AC,

BB'CDB'=B,BB'u平面DBB',ACu平面。BB',

AC_L平面DBB',

DB'u平面DBB',

AC1DB',

MN11AC,

：.DB'1MN,

同理可證OB'_LMF,DB'A.NF,

■：MFCNF=F,MFu平面MNF,NFu平面MNF,

試卷第20頁，總47頁

DB'l平面MNF,即/垂直于平面MNP,故①正確.

④中由①中證明可知/MP,

■：MN//AC,

AC1I,

：.I1MN,

：./J?平面MNP,

同理可證明⑤中/1平面MNP.

故答案為：①④⑤

三、解答題（本題共計(jì)20小題，每題10分，共計(jì)200分）

21.

【答案】

解：如圖，四面體中與平面4ED垂直的面有平面ABC和平面BCD.理由如下:

???棱長均為2的四面體4BCD中，E是BC的中點(diǎn)，

AE1BC,DE1BC,

：.BC_L平面力DE,

???BCu平面ABC,BCu平面BCD

平面力BC_L平面ADE,平面BCO_L平面ADE

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直的判定

【解析】

畫出圖形，只要明確BC是平面4ED得垂線，根據(jù)線面垂直得判定定理，所有過BC得平

面都與平面AED垂直.

【解答】

解：如圖，四面體中與平面ZED垂直的面有平面ABC和平面BCD.理由如下：

棱長均為2的四面體ABCD中，E是BC的中點(diǎn),

AE1BC,DE1BC,

：.BC_L平面4DE,

???BCu平面ABC,BCu平面BCD

平面ABC_L平面4DE,平面BCD_L平面4DE

22.

【答案】

證明：連接40,因?yàn)椤锽C的中點(diǎn)，

可得BC1.4。，

41。1平面力BC,BC在平面力BC內(nèi)，

401BC,

又；40041。=。，

BC

BC1AAt,

BB\"AA\,

BC1.BB1,

又；四邊形BBiGC為平行四邊形，

四邊形BBiGC為矩形.

如圖，分別以。4，0B,。4所在直線為％,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，貝U

4(1,0,0),5(0,2,0),C(0,-2,0),

222

^.Rt^AOB^,AO=y/AB-BO=1,Rt/MAi。中，Ar0=JAA^-AO=2,

4(0,0,2),

AAt=(-1,0,2),AiC=(0,-2,-2),4%=AB=(-1,2,0),

設(shè)平面A/iC的法向量是n=(居y,z),

—?

n-AB=0,(-x+2y=0fx=2y,-、

由Zr_0得12yl=0即Rll|z=，可取n=(2,dIT)，

,Zl,A]C?—U,

設(shè)直線與平面4/iC所成角為8,則。€[0,勺，sine=|cos<AA^n>\=

2l^illnl

春丑同，

cos。=71—sin20=

15

即直線441與平面4/C所成角的余弦值為萼.

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

試卷第22頁，總47頁

(1)利用線面垂直的性質(zhì)可得BCLA公,進(jìn)而得到BCIBBi，由此容易得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量及平面的法向量，利用向

量公式得解.

【解答】

證明：連接40,因?yàn)?。為的中點(diǎn)，

可得BC_L4。，

???4。1平面力BC,BC在平面力BC內(nèi)，

401BC,

又；A0f}A10=0,

BCJ"平面44。，

BC1AA1,

VBB\“AAi，

：.BC1BBr,

文：四邊形BBiGC為平行四邊形，

?1.四邊形BBiGC為矩形.

如圖，分別以。40B,。公所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

4(1,0,0),8(0,2,0),C(0,-2,0),

在RtMOB中，710=\lAB2-BO2=1,RtzM&。中，&。=JAA^-AO2=2,

人(0,0,2),

all=(-1,0,2),4；C=(0,-2,-2),411=AB=(-1,2,0),

設(shè)平面的法向量是n=(x,y,z),

由卜點(diǎn)U得匚莖綏之即"工可取i’…，

{n?ArC=0,/')

T

設(shè)直線44i與平面所成角為0,則06[0,勺，sine=|cos<AA1.n>\=^1W|：

2l^jl-lnl

高屋同，

cos。=71—sin20=

即直線441與平面&&C所成角的余弦值為萼.

23.

【答案】

證明：連接&Q,由條件得是正方形，因此B1D114G，

又A41平面&B1CW1，所以7M1J.B也,因此平面44傳1，

所以4G-LBR.同理可證：AC】1B1E.B/inB】E=

所以力Ci，平面EBiQ.

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直的判定

【解析】

連接4G，證明471上坊01.4cli/E,利用直線與平面垂直的判定定理證明4cli

平面E&D1；

【解答】

證明：連接&G，由條件得44CD1是正方形,因此「DilAiG，

又A41平面&B1GD1，所以A41B也，因此8也_1＞平面44￡,

所以力Ci_LBiD「同理可證：ACr1BrE.=Bx,

所以AG工平面EBWi.

24.

【答案】

證明：連接BCi交8也于0,連接0D,

BB]=BC=2,

BBiGC為正方形，

。為BCi中點(diǎn).

又4cl〃平面&CC,平面BCi。n平面ABC1=OD,AC】u平面ABC1，

???ACJ/0D,又。為BG中點(diǎn)，

。為48中點(diǎn).

如圖，以C為原點(diǎn)，以C4,CB,CCi為x,y,z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

設(shè)4C=a,則C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,2,0),8式0,2,2),A^a,0,2),A；C=

T

(—a,0,-2),AB1—(—a,2,2),

A4與&C所成角為45。，

/.cos45=?心=

141cliVa2+4-Va2+82

解得：a=2V7,

.-.4(277,0,0),

。為ZB中點(diǎn)，

Z)(V7,l,0),ABj=(-277,2,2).

設(shè)平面/CO的一個法向量為蔡=(x,y,z),

則L-,取y=-V7,得x=l,z=y/7,

(n-CB]=2y+2z=0

?,.n=(l,-V7,V7),

試卷第24頁，總47頁

設(shè)直線4名與平面B】CD所成角為a,則sina=需濡=磊=嚕

故直線4%與平面4CD所成角的正弦值為甯

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

(1)由4G〃平面BiCD的性質(zhì)可知AC"/。。，結(jié)合0為BCi中點(diǎn)，即可得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)題設(shè)條件求得4C=2夕，進(jìn)而求出直線AB1的法方

向向量以及平面&CD的法向量，再利用向量的夾角公式求解即可.

【解答】

證明：連接BCi交&C于0,連接。D,

BB]=BC=2,

BBiGC為正方形，

。為BQ中點(diǎn).

又4cl〃平面&C。，平面Bq。n平面4BCi=0C,4弓u平面力BQ，

AC^/OD,又。為BG中點(diǎn)，

。為AB中點(diǎn).

如圖，以C為原點(diǎn)，以21,CB,為x,y,z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

設(shè)4C=a,則C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,2,0),8式0,2,2),A^a,0,2),￡c=

—>

(—a,0,—2),ABi—(—a,2,2),

vAB1與&C所成角為45°,

cos45=叵心==」，

14cllVa2+4-Va2+82

解得：a=2近,

：.4(277,0,0),

???。為AB中點(diǎn)，

D(V7,1,0),礫=(-277,2,2).

設(shè)平面8傳0的一個法向量為蔡=(x,y,z),

則絲-y=0,取y=_0,得*=1,z=由,

n-CBr=2y+2z=0

n=(1,-V7,V7),

設(shè)直線與平面/CD所成角為a,貝Usina==冬=跡

故直線4%與平面&CD所成角的正弦值為誓

25.

【答案】

(1)證明：EF1DN,EF1BN,

EF_L平面BDN,

???平面BDN，平面BCEF,

又；BN為平面BDN與平面BCEF的交線，

。在平面BCEF上的射影在直線BN上，

而。在平面BCEF上的射影在BC上，

。在平面BCE尸上的射影即為點(diǎn)B,

即BD1?平面BCEF.

(2)解：如圖，。在平面BCEF上的射影點(diǎn)為點(diǎn)8,

???NDEB為。E與平面BCEF所成的角，

DE=AF=8,NF=2,NE=4,NB=273,NB1NE,

BE=2夕，DB=VDF2-BE2=6,

sin/DEB=-=

DE4

即直線DE與平面BCEF所成角的正弦值為三.

4

試卷第26頁，總47頁

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直的判定

直線與平面所成的角

【解析】

(1)先證明出EF1平面BDN,根據(jù)面面垂直的判定定理證明出平面BDN1平面BCEF,

根據(jù)BN為平面BDN與平面BCEF的交線，進(jìn)而推斷。在平面BCEF上的射影在直線BN

上

,進(jìn)而推斷。在平面BCEF上的射影即為點(diǎn)B,證明出結(jié)論.

(2)DB1底面BCEF,所以WEB為DE與平面BCEF所成的角.

【解答】

(1)證明：EF1DN,EF1BN,

：.EFJL平面BDN,

平面BDN_L平面BCEF,

又?；BN為平面BDN與平面BCEF的交線，

。在平面BCEF上的射影在直線BN上，

而C在平面BCEF上的射影在BC上，

.-.D在平面BCEF上的射影即為點(diǎn)B,

即BD_L平面BCEF.

(2)解：如圖，D在平面BCEF上的射影點(diǎn)為點(diǎn)8,

NDEB為0E與平面BCEF所成的角，

DE=AF=8,NF=2,NE=4,NB=2遍,NB1NE,

：.BE=2近，DB='DE2-BE2=6,

sin/DEB———=—,

DE4

即直線DE與平面BCEF所成角的正弦值為I

4

26.

【答案】

解：(I)；直三棱柱力BC-A'B'C'中，底面力BC是邊長為2的正三角形，。'是棱AC的

中點(diǎn)，

B'D'LA'C,

：.B'D'J_平面ACC'A',

B'D'lA'M,

在棱CC'上確定一點(diǎn)M,使4'M_L平面AB'D',只要過4作1交CC'與點(diǎn)M；

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)橹比庵鵄BC-4B'C'中，底面ABC是邊長為2的正三角形，。'是棱AC'的中點(diǎn),

且44'=2vL

所以4(0,0,0),B'(6,1,2V2),4(0,0,2&)，B(遮,1,0),

M(0,2,V2),

TTT

所以4夕=(V3,1,2偽,A'M=(0,2,-V2),A'B=(V3,1,一2迎)，

設(shè)平面4BM的一個法向量為:=(x,y,z),

n'A'B=0,即2y近z廣。,令y=l,則n=(V5,1,&),

IlV3x+y-2伍=0

T——O九萬

cos<n,AB'>=\n\\AB'\==—；

所以當(dāng)點(diǎn)M在棱CC'中點(diǎn)時，直線AB'與平面ABM所成角的大小為arcsin乎.

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

直線與平面垂直的判定

【解析】

(1)由直三棱柱的性質(zhì)得到B'。，平面力CLA,進(jìn)一步得到根據(jù)線面垂直

的判定定理,只要AM_L4D'即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出總'，A'M,4%的坐標(biāo)，借助于向量的數(shù)量積求線面角

的正弦值.

【解答】

解：(I)；直三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是邊長為2的正三角形，。'是棱A'C的

中點(diǎn)，

B'D'LA'C,

：.B'D'J"平面ACC'A',

B'D'1A'M,

在棱CC'上確定一點(diǎn)M,使A'M_L平面只要過4作1AD，交CC，與點(diǎn)M；

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

試卷第28頁，總47頁

因?yàn)橹比庵鵄BC-4B'C'中，底面ABC是邊長為2的正三角形，。'是棱AC'的中點(diǎn),

且44'=2vL

所以4(0,0,0),B'(6,1,2V2),4(0,0,2&)，B(遮,1,0),

M(0,2,V2),

TTT

所以4夕=(V3,1,2偽,A'M=(0,2,-V2),A'B=(V3,1,一2迎)，

設(shè)平面4BM的一個法向量為:=(x,y,z),

則卜加=。，即卜當(dāng)高。=o,令”],則心⑸/

T———O九萬

cos<n,AB'>=\n\\AB'\==—；

所以當(dāng)點(diǎn)M在棱CC'中點(diǎn)時，直線4B'與平面ABM所成角的大小為arcsin乎.

27.

【答案】

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

此題暫無解析

【解答】

此題暫無解答

28.

【答案】

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

【解答】

29.

【答案】

(1)證明：因?yàn)锽C=3,PB=4,PC=5,

所以由勾股定理逆定理可知PB1BC,

又點(diǎn)M,N分別為PC,BC的中點(diǎn)，

所以MN//PB,

所以MN1BC,

又因?yàn)镹為BC中點(diǎn)，

所以AN1BC,

又MNCAN=N,

所以BC_L面4MN.

(2)解：延長NM到Q,使NM=MQ,

連結(jié)PQ、AQ,于是四邊形PQNB為平行四邊形.

根據(jù)前一問的結(jié)論可知PQ，面4MN,所求線面角為/P4Q.

在直角三角形P4Q中，sin^PAQ==p

所以4PAQ=30°.

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

直線與平面垂直的判定

【解析】

無

無

【解答】

(1)證明：因?yàn)锽C=3,PB=4,PC=5,

所以由勾股定理逆定理可知PB1BC,

又點(diǎn)M,N分別為PC,BC的中點(diǎn)，

所以MN〃PB,

所以MN1BC,

又因?yàn)镹為BC中點(diǎn)，

所以hN1BC,

又MNCAN=N,

所以BC1面4MN.

(2)解：延長NM到Q,使NM=MQ,

試卷第30頁，總47頁

連結(jié)PQ、AQ,于是四邊形PQNB為平行四邊形.

根據(jù)前一問的結(jié)論可知PQ1面4MN,所求線面角為/P4Q.

在直角三角形PAQ中，sin"AQ=箓=}

所以ZP4Q=30".

30.

【答案】

證明4BCD為正方形，AO1BD.

■：四邊形04EF為矩形，，AOA.FO.EF//AO,

：.EF1BD,EF1FO,

又；BDCFO=0,；.EF

又EFu平面。EF,

平面DEF，平面BDF.

V3

T

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

【解析】

此題暫無解析

【解答】

略

解平面04EF1平面4BCD,平面。4EFC平面力BCD=。4,

又F。：。，F(xiàn)。_L平面/BCD,J.FO1.AO.FOLBO.

以。為原點(diǎn)，。4，OB,OF所在直線分別為支軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)AB=AE=2,則0（0,0,0）,8（0,短0）,。（一魚,0,0）,

D(0,-V2,0),E(V2,0,2),尸(0,0,2)

DE=(V2,V2,2),DF=(0,V2,2),BF=(0,-V2,2),

BF=3HF,：.CH=CB+^BF=(V2,V2,0)+|(0,-V2,2),

設(shè)平面OEF的法向量為n=(x,y,z),

n-￡)￡,=0g|j(V2x+V2y+2z=0

n-DF=0+2z=0

令z=l,得n=(0,一企,1),

建川=帝+?|=也

由|cos(CH-n)|

|CH||n|2xg9

直線CH與平面OE尸所成角的正弦值即為|cos?-n)|=圣

31.

證明：延長BH交4c于F,延長CH交4B于E,

,1?PB1PA,PB1PC,

：.PB，平面P4C,

BFLAC,

：.PFLAC,

：.CAJ"平面PFB,

PHu平面PFB,

PH1AC,

同理可證PH

ACa^ABC,ABa^ABC,ABnAC=A,

：.PH，平面ABC.

【考點(diǎn)】

直線與平面垂直的判定

【解析】

延長交4c于F,延長CH交4B于E,先通過線面垂直的判定定理證明出C41平面

PFB,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明出PH14C,同理推斷出PH1AB,最后根據(jù)線面垂

直的判定定理證明出PH平面ABC.

【解答】

試卷第32頁，總47頁

p

R

證明：延長BH交AC于F,延長CH交4B于E,

???PB1PA,PBA.PC,

PB_L平面P4C,

BF1AC,

：.PFLAC,

：.C