熱點(diǎn)05二次函數(shù)考察方向考察方向中考中，二次函數(shù)主要考察方向?yàn)椋憾魏瘮?shù)的解析式（三種形式）二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)二次函數(shù)與其它函數(shù)綜合二次函數(shù)與幾何圖形綜合二次函數(shù)的綜合運(yùn)用滿分技巧滿分技巧二次函數(shù)的解析式【重點(diǎn)知識(shí)】一般式：；頂點(diǎn)式：；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）,其中交點(diǎn)式：；二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（）【方法提示】以上二次函數(shù)的三種形式，均要求。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點(diǎn)式：（a≠0）.已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

(可以看成的圖象平移后所對(duì)應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點(diǎn)式”：已知圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)【重點(diǎn)知識(shí)】二次函數(shù)三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

(1)的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，（3）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系【重點(diǎn)知識(shí)】求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時(shí)二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個(gè)數(shù)決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時(shí)稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實(shí)數(shù)根）（4）二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)【方法提示】拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)就是拋物線與直線的交點(diǎn)問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點(diǎn)和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點(diǎn)是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由方程組的解的個(gè)數(shù)決定。當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)方程組有兩組相同的解時(shí)兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)方程組無解時(shí)兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)。（5）拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離公式【方法提示】當(dāng)△＞0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，故：即（△＞0）基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練A卷（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．該函數(shù)有最大值，是大值是5 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大2．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，其中、，則該函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．3．(2023·湖南婁底·中考真題）二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m和n，下列結(jié)論正確的是（）A．m＜a＜n＜b B．a(chǎn)＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a(chǎn)＜m＜n＜b4．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)的圖像如圖所示，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，設(shè)，則的取值范圍為（）A．B．C． D．5．(2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為（

）A．B．C． D．6．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）“聞起來臭，吃起來香”的臭豆腐是長(zhǎng)沙特色小吃，臭豆腐雖小，但制作流程卻比較復(fù)雜，其中在進(jìn)行加工煎炸臭豆腐時(shí)，我們把焦脆而不糊的豆腐塊數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，“可食用率”p與加工煎炸的時(shí)間t（單位：分鐘）近似滿足函數(shù)關(guān)系式：（a，b，c為常數(shù)），如圖紀(jì)錄了三次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳時(shí)間為(

)A．3.50分鐘 B．4.05分鐘 C．3.75分鐘 D．4.25分鐘7．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正確的是(

)A．①② B．①④ C．②③ D．②④8．(2023·湖南婁底·中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是(

)①②③④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，），點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．二、填空題10．（2015·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=x2+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_____________．11．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）已知y是x的二次函數(shù)，下表給出了y與x的幾對(duì)對(duì)應(yīng)值：x…-2-101234…y…11a323611…由此判斷，表中_______．12．（2017·湖南常德·中考真題）如圖，正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長(zhǎng)為2的正方形的邊上若設(shè)，正方形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系為______．三、解答題13．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，且它的對(duì)稱軸為．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)?shù)拿娣e為15時(shí)，求的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求的坐標(biāo)以及的最大值14．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長(zhǎng)）和長(zhǎng)的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題：(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長(zhǎng)；(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？15．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）連接，求直線的解析式；（3）請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值；（4）點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．16．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的二次函數(shù)（實(shí)數(shù)b，c為常數(shù)）．（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為，求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為21，求b的值；（3）記關(guān)于x的二次函數(shù)，若在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，總有，求實(shí)數(shù)m的最小值．難點(diǎn)突破難點(diǎn)突破B卷（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形中，點(diǎn)，點(diǎn)，則互異二次函數(shù)與正方形有交點(diǎn)時(shí)的最大值和最小值分別是（

）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-12．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于一個(gè)函數(shù)，自變量取時(shí)，函數(shù)值等于0，則稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)．若關(guān)于的二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根，則下列關(guān)系式一定正確的是（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南株洲·中考真題）二次函數(shù)，若，，點(diǎn)，在該二次函數(shù)的圖象上，其中，，則（

）A． B． C．D．、的大小無法確定4．(2023·湖南湘西·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，其圖象如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．正確的是（

）A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤5．(2023·湖南·中考真題）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．16．(2023·湖南衡陽·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A（-1,0），頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，n）與軸的交點(diǎn)在（0,2），（0,3）之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：①；②；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立；④關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．(2023·湖南岳陽·中考真題）在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象如圖所示，若兩個(gè)函數(shù)圖象上有三個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m為常數(shù)，令ω＝x1+x2+x3，則ω的值為（）A．1 B．m C．m2 D．二、填空題8．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5及一次函數(shù)y＝﹣x+b，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象（如圖所示），當(dāng)直線y＝﹣x+b與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是_____．第8題圖第9題圖第10題圖9．（2015·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為﹣2，現(xiàn)將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線y=a1x2+b1x+c1，則下列結(jié)論正確的是_________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①b＞0；②a﹣b+c＜0；③陰影部分的面積為4；④若c=﹣1，則b2=4a．10．（2017·湖南株洲·中考真題）如圖示二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，其圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）與點(diǎn)C（x2，0），且與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣2），小強(qiáng)得到以下結(jié)論：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④當(dāng)|a|=|b|時(shí)x2＞﹣1；以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)為_______．11．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象如圖所示．已知點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)……，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．三、解答題12．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點(diǎn)P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點(diǎn)A，B．(1)求a的值；(2)將A，B的縱坐標(biāo)分別記為yA，yB，設(shè)s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？(3)Q是x軸的正半軸上一點(diǎn)，且PQ的中點(diǎn)M恰好在拋物線F上．試探究：此時(shí)無論m為何負(fù)值，在y軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)G，使∠PQG總為直角？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．(1)求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長(zhǎng)度的比值．(3)如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．14．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，將直線BC間上平移，得到過原點(diǎn)O的直線MN．點(diǎn)D是直線MN上任意一點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸l上時(shí)，連接CD，關(guān)x軸相交于點(diǎn)E，水線段OE的長(zhǎng)；②如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F與點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．15．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C(3，0)在拋物線上．(1)求該拋物線的表達(dá)式．(2)正方形OPDE的頂點(diǎn)O為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，頂點(diǎn)P在線段OC上，頂點(diǎn)E在y軸正半軸上，若△AOB與△DPC全等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在條件（2）下，點(diǎn)Q是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)D重合），將△PQD沿PQ所在的直線翻折得到△PQD'，連接CD'，求線段CD'長(zhǎng)度的最小值．16．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的函數(shù)y，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最大值為M，最小值為N，令函數(shù)，我們不妨把函數(shù)h稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”．(1)①若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值；②若函數(shù)（，k，b為常數(shù)），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的解析式；(2)若函數(shù)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最大值；(3)若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．17．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，作拋物線，使它與拋物線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式；(3)如圖3，將（2）中拋物線向上平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②若點(diǎn)，分別為拋物線和拋物線上，之間的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，與點(diǎn)，不重合），試求四邊形面積的最大值．18．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線．(1)如圖①，若拋物線圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交點(diǎn)．連接．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達(dá)式；②若點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．如圖②，直線與軸交于點(diǎn)，同時(shí)與拋物線交于點(diǎn)，以線段為邊作菱形，使點(diǎn)落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，求的取值范圍．19．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值．(3)點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作//交軸于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線交軸于、兩點(diǎn)，將該拋物線位于軸下方的部分沿軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象”，圖象交軸于點(diǎn)．(1)寫出圖象位于線段上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出的值；(3)為軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交圖象于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使與相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料：十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，可表述為“當(dāng)判別式時(shí)，關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根、有如下關(guān)系：，”．此關(guān)系通常被稱為“韋達(dá)定理”．已知二次函數(shù)．(1)若，，且該二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求的值；(2)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，該二次函數(shù)的圖象與軸相交于不同的兩點(diǎn)、，其中、，且該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在矩形的邊上，其對(duì)稱軸與軸、分別交于點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)，且滿足．①求關(guān)于的一元二次方程的根的判別式的值；②若，令，求的最小值．22．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．在線段CB上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，作PFAB交BC于點(diǎn)F．(1)求拋物線和直線BC的函數(shù)表達(dá)式，(2)當(dāng)△PEF的周長(zhǎng)為最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PEF的周長(zhǎng)．(3)若點(diǎn)G是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以C、B、G、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．熱點(diǎn)05二次函數(shù)考察方向考察方向中考中，二次函數(shù)主要考察方向?yàn)椋憾魏瘮?shù)的解析式（三種形式）二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)二次函數(shù)與其它函數(shù)綜合二次函數(shù)與幾何圖形綜合二次函數(shù)的綜合運(yùn)用滿分技巧滿分技巧二次函數(shù)的解析式【重點(diǎn)知識(shí)】一般式：；頂點(diǎn)式：；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）,其中交點(diǎn)式：；二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（）【方法提示】以上二次函數(shù)的三種形式，均要求。用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點(diǎn)式：（a≠0）.已知圖象的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

(可以看成的圖象平移后所對(duì)應(yīng)的函數(shù).)

(3)“交點(diǎn)式”：已知圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)【重點(diǎn)知識(shí)】二次函數(shù)三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

(1)的符號(hào)決定拋物線的開口方向：當(dāng)時(shí)，開口向上；當(dāng)時(shí)，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．簡(jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，（3）二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系【重點(diǎn)知識(shí)】求二次函數(shù)(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令y＝0，求中x的值的問題．此時(shí)二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程根的個(gè)數(shù)決定了拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，它們的關(guān)系如下表：判別式二次函數(shù)一元二次方程圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)根的情況△＞0拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，且，此時(shí)稱拋物線與x軸相交一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根△＝0拋物線與x軸交切于這一點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相切一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根△＜0拋物線與x軸無交點(diǎn)，此時(shí)稱拋物線與x軸相離一元二次方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解（或稱無實(shí)數(shù)根）（4）二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)【方法提示】拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)就是拋物線與直線的交點(diǎn)問題．我們把它延伸到求拋物線(a≠0)與y軸交點(diǎn)和二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．拋物線(a≠0)與y軸的交點(diǎn)是(0，c)．拋物線(a≠0)與一次函數(shù)(k≠0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)由方程組的解的個(gè)數(shù)決定。當(dāng)方程組有兩組不同的解時(shí)兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)方程組有兩組相同的解時(shí)兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)方程組無解時(shí)兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)。（5）拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離公式【方法提示】當(dāng)△＞0時(shí)，設(shè)拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(，0)，B(，0)，則、是一元二次方程的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，故：即（△＞0）基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練A卷（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)圖象的開口向下 B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．該函數(shù)有最大值，是大值是5 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大答案:D分析：由拋物線的表達(dá)式和函數(shù)的性質(zhì)逐一求解即可．【詳解】解：對(duì)于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故拋物線開口向上，故A錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），故B錯(cuò)誤；該函數(shù)有最小值，最小值是5，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故D正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征．2．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，其中、，則該函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．答案:C分析：利用排除法，由得出拋物線與y軸的交點(diǎn)應(yīng)該在y軸的負(fù)半軸上，排除A選項(xiàng)和D選項(xiàng)，根據(jù)B選項(xiàng)和C選項(xiàng)中對(duì)稱軸，得出，拋物線開口向下，排除B選項(xiàng)，即可得出C為正確答案．【詳解】解：對(duì)于二次函數(shù)，令，則，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為∵，∴，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)應(yīng)該在y軸的負(fù)半軸上，∴可以排除A選項(xiàng)和D選項(xiàng)；B選項(xiàng)和C選項(xiàng)中，拋物線的對(duì)稱軸，∵，∴，∴拋物線開口向下，可以排除B選項(xiàng)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與三個(gè)系數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．(2023·湖南婁底·中考真題）二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m和n，下列結(jié)論正確的是（）A．m＜a＜n＜b B．a(chǎn)＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a(chǎn)＜m＜n＜b答案:C分析：依照題意畫出二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的大致圖象，觀察圖象即可得出結(jié)論．【詳解】解：二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a、b，將其圖象往下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得出二次函數(shù)y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的圖象．觀察圖象，可知：m＜a＜b＜n．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的圖象，依照題意畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是解題的關(guān)鍵．4．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）二次函數(shù)的圖像如圖所示，點(diǎn)在軸的正半軸上，且，設(shè)，則的取值范圍為（）A． B．C． D．答案:D分析：由圖像可得，，當(dāng)，，并與軸交于之間，得，據(jù)悉可得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：由圖像可知，圖像開口向下，并與軸相交于正半軸，∴，，當(dāng)，，∵，并由圖像可得，二次函數(shù)與軸交于之間，∴∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．(2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）若二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為（

）A．B．C． D．答案:D分析：先根據(jù)拋物線的開口方向確定a＜0，對(duì)稱軸可確定b的正負(fù)，與y軸的交點(diǎn)可知c＞0，然后逐項(xiàng)排查即可．【詳解】解：∵拋物線開口方向向下∴a＜0，∵拋物線對(duì)稱軸∴b＞0∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸∴c＞0∴的圖像過二、一、四象限，的圖象在二、四象限∴D選項(xiàng)滿足題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的特征、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象，牢記各種函數(shù)圖象的特點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．6．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）“聞起來臭，吃起來香”的臭豆腐是長(zhǎng)沙特色小吃，臭豆腐雖小，但制作流程卻比較復(fù)雜，其中在進(jìn)行加工煎炸臭豆腐時(shí)，我們把焦脆而不糊的豆腐塊數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，“可食用率”p與加工煎炸的時(shí)間t（單位：分鐘）近似滿足函數(shù)關(guān)系式：（a，b，c為常數(shù)），如圖紀(jì)錄了三次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳時(shí)間為(

)A．3.50分鐘 B．4.05分鐘 C．3.75分鐘 D．4.25分鐘答案:C分析：將圖中三個(gè)坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式解出a和b,再利用對(duì)稱軸公式求出即可．【詳解】將(3,0.8)(4,0．9)(5,0.6)代入得:②－①和③－②得⑤－④得,解得a=﹣0.2．將a=﹣0.2．代入④可得b=1.5．對(duì)稱軸=．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的三點(diǎn)式,關(guān)鍵在于利用待定系數(shù)法求解,且本題只需求出a和b即可得出答案．7．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①ac＜0，②b﹣2a＜0，③b2﹣4ac＜0，④a﹣b+c＜0，正確的是(

)A．①② B．①④ C．②③ D．②④答案:A分析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所給結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】①圖象開口向下，與y軸交于正半軸，能得到：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故①正確；②∵對(duì)稱軸x＜﹣1，∴＜﹣1，-2a＞0，∴b＜2a，∴b﹣2a＜0，故②正確；③圖象與x軸有2個(gè)不同的交點(diǎn)，依據(jù)根的判別式可知b2﹣4ac＞0，故③錯(cuò)誤；④當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④錯(cuò)誤，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．8．(2023·湖南婁底·中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是(

)①②③④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案:A分析：由函數(shù)圖象可知a＜0，對(duì)稱軸-1＜x＜0，；，圖象與y軸的交點(diǎn)c＞0，函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；△=b2-4ac＞0；再由圖象可知當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，即a+b+c＜0；當(dāng)x=-1時(shí)，y＞0，即a-b+c＞0；即可求解．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，對(duì)稱軸，圖象與y軸的交點(diǎn)，函數(shù)與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，；③錯(cuò)誤；②錯(cuò)；①錯(cuò)誤當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；∴，即；∴只有④是正確的；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠通過圖象獲取信息，推導(dǎo)出a，b，c，△，對(duì)稱軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，），點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．答案:A分析：先求出拋物線的對(duì)稱軸及拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再分兩種情況：或，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的不同取值范圍便可．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴對(duì)稱軸為，拋物線與軸的交點(diǎn)為，∵點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴①當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，解得；②當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，隨增大而減小，則當(dāng)時(shí)，恒成立；綜上，的取值范圍是：或．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是分情況討論．二、填空題10．（2015·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）拋物線y=x2+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_____________．答案:（﹣1，2）分析：由拋物線解析式求解．【詳解】解：將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式可得：y=，則函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，2)故答案為：（-1，2）【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．11．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）已知y是x的二次函數(shù)，下表給出了y與x的幾對(duì)對(duì)應(yīng)值：x…-2-101234…y…11a323611…由此判斷，表中_______．答案:6分析：根據(jù)表格得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，由此即可得．【詳解】解：由表格可知，和時(shí)的函數(shù)值相等，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，因此，和的函數(shù)值相等，即，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（2017·湖南常德·中考真題）如圖，正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長(zhǎng)為2的正方形的邊上若設(shè)，正方形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系為______．答案:【詳解】如圖所示，∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，∴∠A=∠B=90°，AB=2，∴∠1+∠2=90°，∵四邊形EFGH為正方形，∴∠HEF=90°，EH=EF，∴∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，在△AHE與△BEF中，∵∠A=∠B，∠2=∠3，EH=FE，∴△AHE≌△BEF（AAS），∴AE=BF=x，AH=BE=2﹣x，在Rt△AHE中，由勾股定理得：EH2=AE2+AH2=x2+（2﹣x）2=2x2﹣4x+4；即（0＜x＜2），故答案為（0＜x＜2）．三、解答題13．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，且它的對(duì)稱軸為．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)?shù)拿娣e為15時(shí)，求的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求的坐標(biāo)以及的最大值答案:(1)(2)(3)的最大值為分析：（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線為再利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；（2）設(shè)且記OA與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為Q，設(shè)直線為：解得：可得直線為：則利用列方程，再解方程即可；（3）如圖，連接AB，延長(zhǎng)AB交拋物線于P，則此時(shí)最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系數(shù)法求解AB的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，解方程組可得P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴設(shè)拋物線為：拋物線過，且它的對(duì)稱軸為．解得：∴拋物線為：（2）解：如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，設(shè)且記OA與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為Q，設(shè)直線為：解得：直線為：解得：或∵則（3）如圖，連接AB，延長(zhǎng)AB交拋物線于P，則此時(shí)最大，設(shè)AB為：代入A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，解得：∴AB為：解得：【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形面積，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，確定最大時(shí)P的位置是解本題的關(guān)鍵．14．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長(zhǎng)）和長(zhǎng)的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題：(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長(zhǎng)；(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？答案:(1)CG長(zhǎng)為8m，DG長(zhǎng)為4m(2)當(dāng)BC=m時(shí)，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=m2分析：（1）兩塊籬笆墻的長(zhǎng)為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，再由矩形面積公式求解；（2）設(shè)兩塊矩形總種植面積為y，BC長(zhǎng)為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BC×DC，代入有關(guān)數(shù)據(jù)再把二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式即可.【詳解】（1）解：兩塊籬笆墻的長(zhǎng)為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．（2）解：設(shè)兩塊矩形總種植面積為ym2，BC長(zhǎng)為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，兩塊矩形總種植面積=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴當(dāng)BC=m時(shí)，y最大=m2．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程．15．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）連接，求直線的解析式；（3）請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值；（4）點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案:（1）；（2）直線的解析式為；（3），此時(shí)的最小值為；（4）存在，或．分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求解即可；（2）設(shè)直線的解析式為，然后把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入求解即可；（3）由題意易得點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，要使的值為最小，則需滿足點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，即為BC的長(zhǎng)，然后問題可求解；（4）由題意可設(shè)點(diǎn)，然后可分①當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，③當(dāng)AN為對(duì)角線時(shí)，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得拋物線的解析式為，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，∴，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線的解析式為；（3）由拋物線可得對(duì)稱軸為直線，由題意可得如圖所示：連接BP、BC，∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴，要使的值為最小，則需滿足點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，即為BC的長(zhǎng)，此時(shí)BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，∵，∴，∴的最小值為，∵點(diǎn)P在直線BC上，∴把代入得：，∴；（4）存在，理由如下：由題意可設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則可分：①當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，如圖所示：連接MN，交AC于點(diǎn)D，∵四邊形ANCM是平行四邊形，∴點(diǎn)D為AC、MN的中點(diǎn)，∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，即，解得：，∴；②當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，同理可得：，即，解得：，∴；③當(dāng)AN為對(duì)角線時(shí)，同理可得：，即，解得：，∴；∴綜上所述：當(dāng)以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象是解題的關(guān)鍵．16．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的二次函數(shù)（實(shí)數(shù)b，c為常數(shù)）．（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為，求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最小值為21，求b的值；（3）記關(guān)于x的二次函數(shù)，若在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，總有，求實(shí)數(shù)m的最小值．答案:（1）；（2）或4；（3）4．分析：（1）將點(diǎn)代入二次函數(shù)的解析式可得的值，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸可得的值，由此即可得；（2）先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，再分，和三種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，解方程即可得；（3）先根據(jù)可得，令，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式，求解即可得．【詳解】解：（1）將點(diǎn)代入得：，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，，解得，則此二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2），即，，則此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，由題意，分以下三種情況：①當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)，隨的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，因此有，解得或（不符題設(shè)，舍去）；②當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)，隨的增大而減??；在內(nèi)，隨的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，因此有，解得或（均不符題設(shè)，舍去）；③當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)，隨的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，因此有，解得或（不符題設(shè)，舍去），綜上，的值為或4；（3）由（1）可知，，由得：，即，令，在內(nèi)，隨的增大而增大，要使得當(dāng)時(shí)，總有，則只需當(dāng)時(shí)，即可，因此有，解得，則實(shí)數(shù)的最小值為4．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．難點(diǎn)突破難點(diǎn)突破B卷（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形中，點(diǎn)，點(diǎn)，則互異二次函數(shù)與正方形有交點(diǎn)時(shí)的最大值和最小值分別是（

）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1答案:D分析：分別討論當(dāng)對(duì)稱軸位于y軸左側(cè)、位于y軸與正方形對(duì)稱軸x=1之間、位于直線x=1和x=2之間、位于直線x=2右側(cè)共四種情況，列出它們有交點(diǎn)時(shí)滿足的條件，得到關(guān)于m的不等式組，求解即可．【詳解】解：由正方形的性質(zhì)可知：B（2,2）；若二次函數(shù)與正方形有交點(diǎn),則共有以下四種情況:當(dāng)時(shí)，則當(dāng)A點(diǎn)在拋物線上或上方時(shí)，它們有交點(diǎn)，此時(shí)有，解得：；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)C點(diǎn)在拋物線上或下方時(shí)，它們有交點(diǎn)，此時(shí)有，解得：；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)O點(diǎn)位于拋物線上或下方時(shí)，它們有交點(diǎn)，此時(shí)有，解得：；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)O點(diǎn)在拋物線上或下方且B點(diǎn)在拋物線上或上方時(shí)，它們才有交點(diǎn)，此時(shí)有，解得：；綜上可得：的最大值和最小值分別是，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與正方形的交點(diǎn)問題，涉及到列一元一次不等式組等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)圖像分析交點(diǎn)情況，并進(jìn)行分類討論，本題綜合性較強(qiáng)，需要一定的分析能力與圖形感知力，因此對(duì)學(xué)生的思維要求較高，本題蘊(yùn)含了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法等．2．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于一個(gè)函數(shù)，自變量取時(shí)，函數(shù)值等于0，則稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)．若關(guān)于的二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根，則下列關(guān)系式一定正確的是（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以求出，的值，用作差法比較的大小關(guān)系，的大小關(guān)系，根據(jù)可求出m的取值范圍，結(jié)合的大小關(guān)系，的大小關(guān)系從而得出選項(xiàng)．【詳解】解：∵是的兩個(gè)不相等的零點(diǎn)即是的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根∴∵解得∵方程有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根∴∵解得∴＞0∴∵，∴∴∴而由題意知解得當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)m=-2時(shí)，無意義；當(dāng)時(shí)，，∴取值范圍不確定，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，判別式與根的關(guān)系及一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是熟記根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于（a≠0）的兩根為，則．3．(2023·湖南株洲·中考真題）二次函數(shù)，若，，點(diǎn)，在該二次函數(shù)的圖象上，其中，，則（

）A． B． C．D．、的大小無法確定答案:B分析：首先分析出a,b,x1的取值范圍，然后用含有代數(shù)式表示y1,y2，再作差法比較y1,y2的大小.【詳解】解：∵，b20,∴a>0.又∵，∴b<0.∵，，∴,x1<0.∵點(diǎn)，在該二次函數(shù)的圖象上∴，.∴y1-y2=2bx1>0.∴y1>y2.故選：B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和函數(shù)值的大小比較，判斷出字母系數(shù)的取值范圍是解題的關(guān)鍵.4．(2023·湖南湘西·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，其圖象如圖所示，現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．正確的是（

）A．①③ B．②⑤ C．③④ D．④⑤答案:D分析：由圖像判斷出a<0，b>0，c>0，即可判斷①；根據(jù)b=-2a可判斷②；根據(jù)當(dāng)x=-1時(shí)函數(shù)值小于0可判斷③；根據(jù)當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，y=a+b+c，當(dāng)x=n時(shí)，y=an2+bn+c即可判斷④；當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)值小于0，y=9a+3b+c<0，且b=-2a，即a=，代入9a+3b+c<0可判斷⑤．【詳解】∵拋物線開口向下，∴a<0，∵對(duì)稱軸x==1>0，∴b=-2a，∴b>0，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸，∴c>0，∴abc<0，①錯(cuò)誤；∵b=-2a，∴b-2a=-2a-2a=-4a>0，②錯(cuò)誤；由圖像可得當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c<0，③錯(cuò)誤；當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，y=a+b+c，當(dāng)x=n時(shí)，y=an2+bn+c，a+b+c>an2+bn+c，即a+b>n(an+b)，(n≠1)，④正確；當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)值小于0，y=9a+3b+c<0，∵b=-2a，即a=，代入9a+3b+c<0得9（）+3b+c<0，+c<0，-3b+2c<0，即2c<3b，⑤正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線圖像和二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，熟知拋物線圖像和二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．(2023·湖南·中考真題）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1答案:B分析：先由拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷出結(jié)論①，先由拋物線的開口方向判斷出a＜0，進(jìn)而判斷出b＞0，再用拋物線與y軸的交點(diǎn)的位置判斷出c＞0，判斷出結(jié)論②，利用拋物線的對(duì)稱軸為x＝2，判斷出結(jié)論③，最后用x＝﹣2時(shí)，拋物線在x軸下方，判斷出結(jié)論④，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由圖象知，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2﹣4ac＞0，故①正確，由圖象知，拋物線的對(duì)稱軸直線為x＝2，∴﹣＝2，∴4a+b＝0，故③正確，由圖象知，拋物線開口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，∴c＞0，∴abc＜0，故②正確，由圖象知，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④錯(cuò)誤，即正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知各系數(shù)與圖像的關(guān)系．6．(2023·湖南衡陽·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)A（-1,0），頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，n）與軸的交點(diǎn)在（0,2），（0,3）之間（包含端點(diǎn)），則下列結(jié)論：①；②；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，a+b≥am2+bm總成立；④關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)答案:D分析：利用拋物線開口方向得到a＜0，再由拋物線的對(duì)稱軸方程得到b=-2a，則3a+b=a，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；利用2≤c≤3和c=-3a可對(duì)②進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個(gè)交點(diǎn)可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，而拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-=1，即b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正確；∵2≤c≤3，而c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤-，所以②正確；∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，n），∴x=1時(shí)，二次函數(shù)值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正確；∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，n），∴拋物線y=ax2+bx+c與直線y=n-1有兩個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．7．(2023·湖南岳陽·中考真題）在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象如圖所示，若兩個(gè)函數(shù)圖象上有三個(gè)不同的點(diǎn)A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m為常數(shù)，令ω＝x1+x2+x3，則ω的值為（）A．1 B．m C．m2 D．答案:D分析：三個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，由圖象可知y=x2圖象上點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，則x1+x2+x3=x3，再由反比例函數(shù)性質(zhì)可求x3．【詳解】設(shè)點(diǎn)A、B在二次函數(shù)y＝x2的圖象上，點(diǎn)C在反比例函數(shù)y(x＞0)的圖象上，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，則A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，則x1+x2=0，因?yàn)辄c(diǎn)C(x3，m)在反比例函數(shù)圖象上，則x3=，∴ω＝x1+x2+x3=，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)圖象上點(diǎn)縱坐標(biāo)相同時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.二、填空題8．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5及一次函數(shù)y＝﹣x+b，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)新圖象（如圖所示），當(dāng)直線y＝﹣x+b與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是_____．答案:分析：解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折疊的性質(zhì)求出折疊部分的解析式為，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直線y＝﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）時(shí)b的值和當(dāng)直線y＝﹣x+b與拋物線y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共點(diǎn)時(shí)b的值，從而得到當(dāng)直線y＝﹣x+b與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍．【詳解】解：如圖所示：當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，則A（﹣1，0），B（5，0），將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），當(dāng)直線y＝﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）時(shí)，1+b＝0，解得b＝﹣1；當(dāng)直線y＝﹣x+b與拋物線y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共點(diǎn)時(shí)，方程，即有相等的實(shí)數(shù)解，即解得，所以當(dāng)直線y＝﹣x+b與新圖象有4個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍為＜b＜﹣1，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．9．（2015·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為﹣2，現(xiàn)將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線y=a1x2+b1x+c1，則下列結(jié)論正確的是_________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①b＞0；②a﹣b+c＜0；③陰影部分的面積為4；④若c=﹣1，則b2=4a．答案:③④分析：①首先根據(jù)拋物線開口向上，可得a＞0；然后根據(jù)對(duì)稱軸為x=﹣＞0，可得b＜0，據(jù)此判斷即可．②根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的圖象，可得x=﹣1時(shí)，y＞0，即a﹣b+c＞0，據(jù)此判斷即可．③首先判斷出陰影部分是一個(gè)平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積=底×高，求出陰影部分的面積是多少即可．④根據(jù)函數(shù)的最小值是，判斷出c=﹣1時(shí)，a、b的關(guān)系即可．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，又∵對(duì)稱軸為x=﹣＞0，∴b＜0，∴結(jié)論①不正確；∵x=﹣1時(shí)，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴結(jié)論②不正確；∵拋物線向右平移了2個(gè)單位，∴平行四邊形的底是2，∵函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四邊形的高是2，∴陰影部分的面積是：2×2=4，∴結(jié)論③正確；∵，c=﹣1，∴b2=4a，∴結(jié)論④正確．故答案為：③④．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．10．（2017·湖南株洲·中考真題）如圖示二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，其圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）與點(diǎn)C（x2，0），且與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣2），小強(qiáng)得到以下結(jié)論：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④當(dāng)|a|=|b|時(shí)x2＞﹣1；以上結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)為_______．答案:①④．分析：根據(jù)拋物線與y軸交于點(diǎn)B（0，-2），可得c=-2，依此判斷③；由拋物線圖象與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），可得a-b-2=0，依此判斷①②；由|a|=|b|可得二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為x=，可得x2=2，比較大小即可判斷④；從而求解．【詳解】由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，∵開口向上，∴a＞0；∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴﹣＞0，∴﹣＞0，∴a﹣2＜0，∴a＜2；∴0＜a＜2；∴①正確；∵拋物線與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣2），∴c=﹣2，故③錯(cuò)誤；∵拋物線圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），∴a﹣b﹣2=0，無法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②錯(cuò)誤；∵|a|=|b|，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為y=，∴x2=2＞﹣1，故④正確．故答案為①④．考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．11．(2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象如圖所示．已知點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)……，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．答案:分析：根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線為，聯(lián)立方程求得的坐標(biāo)，即可求得的坐標(biāo)，同理求得的坐標(biāo)，即可求得的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律，即可找出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵點(diǎn)坐標(biāo)為，∴直線為，，∵，∴直線為，解得或，∴，∴，∵，∴直線為，解得或，∴，∴…，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的圖象以及交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題12．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點(diǎn)P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點(diǎn)A，B．(1)求a的值；(2)將A，B的縱坐標(biāo)分別記為yA，yB，設(shè)s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？(3)Q是x軸的正半軸上一點(diǎn)，且PQ的中點(diǎn)M恰好在拋物線F上．試探究：此時(shí)無論m為何負(fù)值，在y軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)G，使∠PQG總為直角？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案:(1)a＝2(2)m＝﹣(3)存在，G（0，﹣）分析：（1）由拋物線的頂點(diǎn)式可直接得出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入拋物線F可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意可分別表達(dá)A，B的縱坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求出m的值；（3）過點(diǎn)Q作x軸的垂線KN，分別過點(diǎn)P，G作x軸的平行線，與KN分別交于K，N，則△PKQ∽△QNG，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，可表達(dá)點(diǎn)Q和點(diǎn)G的坐標(biāo)，從而可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，，．（2）解：直線與拋物線，分別交于點(diǎn)，，，，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為，的最大值為4，，解得，，．（3）解：存在，理由如下：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，點(diǎn)在軸正半軸上，且，，，，，．如圖，過點(diǎn)作軸的垂線，分別過點(diǎn)，作軸的平行線，與分別交于，，，，，，，，，即．，，，解得．．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形得出方程進(jìn)行求解．13．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．(1)求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．(2)點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長(zhǎng)度的比值．(3)如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案:(1)y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3）(2)(3)存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）分析：（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數(shù)的解析式．（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，），N（t，0），分別求出MN，DM，再求比值即可．（3）先求出E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），分來兩種情況討論：①當(dāng)EG＝EF時(shí)，，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當(dāng)EG＝FG時(shí)，2＝，F(xiàn)點(diǎn)不存在．【詳解】（1）解：將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，∴G（0，﹣3）．（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，），N（t，0），∴NM＝﹣t2﹣2t+3，，∴＝．（3）存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∵E點(diǎn)與H點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x＝﹣1對(duì)稱，∴E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），①當(dāng)EG＝EF時(shí)，∵G（0，﹣3），∴EG＝2，∴2＝，解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②當(dāng)EG＝FG時(shí)，2＝，此時(shí)x無解；綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．14．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸相交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，將直線BC間上平移，得到過原點(diǎn)O的直線MN．點(diǎn)D是直線MN上任意一點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸l上時(shí)，連接CD，關(guān)x軸相交于點(diǎn)E，水線段OE的長(zhǎng)；②如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F與點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案:(1)(2)①；②在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)：或；當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)：．分析：(1)把，代入即可得出拋物線的表達(dá)式；（2）①求出直線BC解析式：，再由直線MN：及拋物線的對(duì)稱軸：，即可得出．進(jìn)而得出直線CD的解析式為：，即可得出答案；②分以BC為邊時(shí)，即，，以及分以BC為對(duì)角線時(shí)，進(jìn)行討論即可得出答案．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入得：解得∴拋物線的表達(dá)式為．（2）①由（1）可知：，設(shè)直線BC：，將點(diǎn)，代入得：解得∴直線BC：，則直線MN：．∵拋物線的對(duì)稱軸：，把代入，得，∴．設(shè)直線CD：，將點(diǎn)，代入得：解得∴直線CD：．當(dāng)時(shí)，得，∴，∴．②存在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為項(xiàng)點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．理由如下：（I）若平行四邊形以BC為邊時(shí)，由可知，F(xiàn)D在直線MN上，∴點(diǎn)F是直線MN與對(duì)稱軸l的交點(diǎn)，即．由點(diǎn)D在直線MN上，設(shè)．如圖2-1，若四邊形BCFD是平行四邊形，則．過點(diǎn)D作y軸的垂線交對(duì)稱軸l于點(diǎn)G，則．∵，∴，∵軸，∴，∴．又∵，∴，∴，，

∵，，∴，解得．∴，如圖2-2，若四邊形BCDF是平行四邊形，則．同理可證：，∴，∵，，∴，解得．∴（II）若平行四邊形以BC為對(duì)角線時(shí)，由于點(diǎn)D在BC的上方，則點(diǎn)F一定在BC的下方．∴如圖2-3，存在一種平行四邊形，即．設(shè)，，同理可證：，∴，∵，，，∴．解得∴，．綜上所述，存在點(diǎn)F，使得以B，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)：或；當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.15．(2023·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知直線y=2x+2與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C(3，0)在拋物線上．(1)求該拋物線的表達(dá)式．(2)正方形OPDE的頂點(diǎn)O為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，頂點(diǎn)P在線段OC上，頂點(diǎn)E在y軸正半軸上，若△AOB與△DPC全等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在條件（2）下，點(diǎn)Q是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)D重合），將△PQD沿PQ所在的直線翻折得到△PQD'，連接CD'，求線段CD'長(zhǎng)度的最小值．答案:(1)該拋物線的表達(dá)式為y=x2+x+2；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)或(2，0)；(3)線段CD'長(zhǎng)度的最小值為1．分析：（1）先求得點(diǎn)A(-1，0)，點(diǎn)B(0，2)，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）分兩種情況討論：△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD，利用全等三角形的性質(zhì)求解即可；（3）按照（2）的結(jié)論，分兩種情況討論，當(dāng)P、D'、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD'長(zhǎng)度取得最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：令x=0，則y=2x+2=2，令y=0，則0=2x+2，解得x=-1，點(diǎn)A(-1，0)，點(diǎn)B(0，2)，把A(-1，0)，B(0，2)，C(3，0)代入y=ax2+bx+c，得，解得，∴該拋物線的表達(dá)式為y=x2+x+2；（2）解：若△AOB和△DPC全等，且∠AOB=∠DPC=90°，分兩種情況：①△AOB≌△DPC，則AO=PD=1，OB=PC=2，∵OC=3，∴OP=3-2=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)；②△AOB≌△CPD，則OB=PD=2，∴正方形OPDE的邊長(zhǎng)為2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)；綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)或(2，0)；（3）解：①點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，0)時(shí)，∵△PQD'與△PQD關(guān)于PQ對(duì)稱，∴PD'=PD，∴點(diǎn)D'在以點(diǎn)P為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、D'、C三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD'長(zhǎng)度取得最小值，最小值為2-1=1；②點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)時(shí)，∵△PQD'與△PQD關(guān)于PQ對(duì)稱，∴PD'=PD，∴點(diǎn)D'在以點(diǎn)P為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、C、D'三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD'長(zhǎng)度取得最小值，最小值為2-1=1；綜上，線段CD'長(zhǎng)度的最小值為1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類討論．16．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的函數(shù)y，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最大值為M，最小值為N，令函數(shù)，我們不妨把函數(shù)h稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”．(1)①若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值；②若函數(shù)（，k，b為常數(shù)），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的解析式；(2)若函數(shù)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最大值；(3)若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案:(1)①；②時(shí)，，時(shí)，(2)(3)時(shí)，存在分析：（1）①根據(jù)新定義結(jié)合正比例函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②根據(jù)新定義結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)新定義結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)列出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)新定義結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，則，即，，，隨的增大而增大，，②若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，則，，綜上所述，時(shí)，，時(shí)，，（2）解：對(duì)于函數(shù)，，，函數(shù)在第一象限內(nèi)，隨的增大而減小，，解得，當(dāng)時(shí)，，，∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最大值，最大值為；（3）對(duì)于函數(shù)，，拋物線開口向下，時(shí)，隨的增大而增大，時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y的最大值等于，在時(shí)，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，，，的最小值為（當(dāng)時(shí)），若，解得，但，故不合題意，故舍去；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，，，的最小值為（當(dāng)時(shí)），若，解得，但，故不合題意，故舍去③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，i)當(dāng)時(shí)，即時(shí)對(duì)稱軸為，，拋物線開口向上，在上，當(dāng)2時(shí)，有最小值，解得ii)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，，，對(duì)稱軸為，，拋物線開口向上，在上，當(dāng)2時(shí)，有最小值，∵，∴在上h無最小值，綜上所述，時(shí)，存在．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義，要掌握一次函數(shù)，反比例數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于分類討論時(shí)，的取值范圍的取舍．17．(2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，作拋物線，使它與拋物線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式；(3)如圖3，將（2）中拋物線向上平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；②若點(diǎn)，分別為拋物線和拋物線上，之間的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，與點(diǎn)，不重合），試求四邊形面積的最大值．答案:(1)(2)(3)①或；②16分析：（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入，即可求解；（2）利用對(duì)稱性求出函數(shù)頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，即可求函數(shù)的解析式；（3）①通過聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)即可；②求出直線的解析式，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，設(shè)，，則，，可求，，由，分別求出的最大值4，的最大值4，即可求解．（1）解：將點(diǎn)和點(diǎn)代入，∴，解得，∴．（2）∵，∴拋物線的頂點(diǎn)，∵頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，∴拋物線的解析式為，∴．（3）由題意可得，拋物線的解析式為，①聯(lián)立方程組，解得或，∴或；②設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖所示：設(shè)，，則，，∴，，∵，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最大值，∵，∴當(dāng)最大時(shí)，四邊形面積的最大值為16．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖象平移和對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線．(1)如圖①，若拋物線圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交點(diǎn)．連接．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達(dá)式；②若點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．如圖②，直線與軸交于點(diǎn)，同時(shí)與拋物線交于點(diǎn)，以線段為邊作菱形，使點(diǎn)落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，求的取值范圍．答案:(1)①，②存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，-3)或（，-），理由見解析(2)b<或b>分析：（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線AB的解析式，設(shè)點(diǎn)M(m，m-3)點(diǎn)P（m，m2-2m-3）若點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，代入求解即可；（2）先用待定系數(shù)法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)為5，因?yàn)樗倪呅蜟DFE是菱形，由此得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．再根據(jù)該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，分兩種情況（CE在拋物線內(nèi)和CE在拋物線右側(cè)）進(jìn)行討論，求出b的取值范圍．【詳解】（1）①解：把，代入，得，解得：，∴②解：存在，理由如下，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把，代入，得，解得，∴直線AB的解析式為y=x-3，設(shè)點(diǎn)M(m，m-3)、點(diǎn)P（m，m2-2m-3）若點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則或，即或，解得：m=2或m=或m=3，經(jīng)檢驗(yàn)，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，-3)或（，-）（2）解：把點(diǎn)D（-3，0）代入直線，解得n=4，∴直線，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即點(diǎn)C（0，4）∴CD==5，∵四邊形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴點(diǎn)E（5，4）∵點(diǎn)在拋物線上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴，∵該拋物線與線段沒有交點(diǎn)，分情況討論當(dāng)CE在拋物線內(nèi)時(shí)52+5b+3b-9<4解得：b<當(dāng)CE在拋物線右側(cè)時(shí)，3b-9>4解得：b>綜上所述，b<或b>【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分情況討論．19．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)取何