8.5空間直線、平面的平行【情境探究】1.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是否一定異面?提示:不一定.它們可能異面,可能相交,也可能平行.2.觀察長方體ABCD-A1B1C1D1,顯然AB∥CD,CD∥C1D1,則AB與C1D1有何位置關(guān)系?

提示:AB∥C1D1.必備知識(shí)生成3.如圖,在四棱柱ABCD-A′B′C′D′中,底面ABCD為菱形,∠ADC與∠A′D′C′,∠ADC與∠A′B′C′的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何?提示:∠ADC=∠A′D′C′,∠ADC=∠A′B′C′.【知識(shí)生成】1.基本事實(shí)4文字語言平行于同一條直線的兩條直線互相_____圖形語言

符號(hào)語言直線a,b,c,a∥b,b∥c?_____作用證明兩條直線平行說明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做空間平行線的_______平行a∥c傳遞性2.等角定理空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角___________.相等或互補(bǔ)關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一直線與直線平行【典例1】如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).證明:四邊形EFGH是平行四邊形.【思維導(dǎo)引】連接BD,先利用三角形的中位線求得EH

BD和FG

BD,再由基本事實(shí)4得到EH

FG,從而得到四邊形EFGH是平行四邊形.【證明】連接BD,因?yàn)镋H是△ABD的中位線,所以EH∥BD,且EH=BD.同理FG∥BD,且FG=BD.所以EH∥FG,且EH=FG.所以四邊形EFGH是平行四邊形.【類題通法】證明兩條直線平行的兩種方法(1)利用平行線的定義:證明兩條直線在同一平面內(nèi)且無公共點(diǎn).(2)利用基本事實(shí)4:尋找第三條直線,然后證明這兩條直線都與所找的第三條直線平行,根據(jù)基本事實(shí)4,顯然這兩條直線平行.若題設(shè)條件中含有中點(diǎn),則常利用三角形的中位線性質(zhì)證明直線平行.【類題通法】證明兩條直線平行的兩種方法(1)利用平行線的定義:證明兩條直線在同一平面內(nèi)且無公共點(diǎn).(2)利用基本事實(shí)4:尋找第三條直線,然后證明這兩條直線都與所找的第三條直線平行,根據(jù)基本事實(shí)4,顯然這兩條直線平行.若題設(shè)條件中含有中點(diǎn),則常利用三角形的中位線性質(zhì)證明直線平行.【定向訓(xùn)練】如圖所示,E,F分別是長方體A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中點(diǎn).

求證:四邊形B1EDF是平行四邊形.

【證明】設(shè)Q是DD1的中點(diǎn),連接EQ,QC1.因?yàn)镋是AA1的中點(diǎn),所以EQ

A1D1.又因?yàn)樵诰匦蜛1B1C1D1中,A1D1

B1C1,所以EQ

B1C1(基本事實(shí)4).所以四邊形EQC1B1為平行四邊形.所以B1E

C1Q.又因?yàn)镼,F是DD1,C1C的中點(diǎn),所以QD

C1F.所以四邊形QDFC1為平行四邊形.所以C1Q

DF.又因?yàn)锽1E

C1Q,所以B1E

DF.所以四邊形B1EDF為平行四邊形.探究點(diǎn)二等角定理的應(yīng)用【典例2】已知E,E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中點(diǎn).證明:∠BEC=∠B1E1C1.【思維導(dǎo)引】結(jié)合題干條件尋找∠BEC與∠B1E1C1兩邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【證明】如圖,連接EE1,因?yàn)镋、E1分別為AD、A1D1的中點(diǎn),所以A1E1

AE.所以四邊形A1E1EA為平行四邊形.所以A1A

E1E.又因?yàn)锳1AB1B,所以E1EB1B.所以四邊形E1EBB1是平行四邊形.所以E1B1∥EB.同理,E1C1∥EC.又∠BEC與∠B1E1C1的方向相同,所以∠BEC=∠B1E1C1.【類題通法】求角相等的方法一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.【類題通法】求角相等的方法一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.【拓展提升】在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分別是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中點(diǎn).求證:∠EA1F=∠E1CF1.【證明】取A1B1的中點(diǎn)M,連接BM,F1M,因?yàn)镸F1

B1C1,B1C1

BC,所以MF1

BC,所以四邊形BCF1M是平行四邊形,所以MB∥CF1,因?yàn)锳1M

EB,所以四邊形EBMA1是平行四邊形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,同理可證:A1F∥E1C,又∠EA1F與∠F1CE1兩邊的方向均相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.【定向訓(xùn)練】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是CC1,B1C1,C1D1的中點(diǎn).求證:∠NMP=∠BA1D.【證明】如圖,連接CB1,CD1,因?yàn)镃D

A1B1,所以四邊形A1B1CD是平行四邊形,所以A1D∥B1C.因?yàn)镸、N分別是CC1、B1C1的中點(diǎn),所以MN∥B1C,所以MN∥A1D.因?yàn)锽C

A1D1,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,所以A1B∥CD1.因?yàn)镸、P分別是CC1、C1D1的中點(diǎn),所以MP∥CD1,所以MP∥A1B,所以∠NMP和∠BA1D的兩邊分別平行,且兩邊方向均相反,所以∠NMP=∠BA1D.課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.和直線l都平行的直線a,b的位置關(guān)系是(

)

A.相交 B.異面C.平行 D.平行、相交或異面【解析】選C.由基本事實(shí)4可知,和直線l都平行的直線a,b的位置關(guān)系是平行.2.已知∠BAC=40°,AB∥A′B′,AC∥A′C′,則∠B′A′C′=(

)A.40° B.140°C.40°或140° D.大小無法確定【解析】選C.當(dāng)∠B′A′C′與∠BAC開口方向相同時(shí),∠B′A′C′=40°;當(dāng)∠B′A′C′與∠BAC開口方向相反時(shí),∠B′A′C′=140°.3.正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別為AA1,CC1的中點(diǎn),則四邊形D1PBQ是(

)A.正方形 B.菱形C.矩形 D.空間四邊形【解析】選B.設(shè)正方體的棱長為2,直接計(jì)算可知四邊形D1PBQ各邊均為,又四邊形D1PBQ是平行四邊形,所以四邊形D1PBQ是菱形.4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與AD1平行的面上的對(duì)角線有________條.

【解析】正方體各面上的對(duì)角線中,

只有BC1∥AD1.故滿足條件的直線只有1條.答案:15.如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分別是棱AB,AD,B′C′,C′D′的中點(diǎn).求證:四邊形EFF′E′為平行四邊形.【證明】連接BD,B′D′,因?yàn)镋,F分別為AB,AD的中點(diǎn),所以EF

BD,

同理E′F′

B′D′,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,四邊形BB′D′D為平行四邊形,所以BD

B′D′,所以EF

E′F′,故四邊形EFF′E′為平行四邊形.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞5.如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分別是棱AB,AD,B′C′,C′D′的中點(diǎn).求證:四邊形EFF′E′為平行四邊形.3.正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分別為AA1,CC1的中點(diǎn),則四邊形D1PBQ是(

)A.正方形 B.菱形C.矩形 D.空間四邊形【解析】選B.設(shè)正方體的棱長為2,直接計(jì)算可知四邊形D1PBQ各邊均為,又四邊形D1PBQ是平行四邊形,所以四邊形D1PBQ是菱形.【知識(shí)生成】1.基本事實(shí)4文字語言平行于同一條直線的兩條直線互相_____圖形語言

符號(hào)語言直線a,b,c,a∥b,b∥c?_____作用證明兩條直線平行說明基本事實(shí)4表述的性質(zhì)通常叫做空間平行線的_______平行a∥c傳遞性關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一直線與直線平行【典例1】如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).證明:四邊形EFGH是平行四邊形.【思維導(dǎo)引】連接BD,先利用三角形的中位線求得EH

BD和FG

BD,再由基本事實(shí)4得到EH

FG,從而得到四邊形EFGH是平行四邊形.【定向訓(xùn)練】如圖所示,E,F分別是長方體A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中點(diǎn).

求證:四邊形B1EDF是平行四邊形