2024中考數(shù)學(xué)全國(guó)真題分類卷第二十一講與圓有關(guān)的計(jì)算強(qiáng)化訓(xùn)練命題點(diǎn)1扇形的相關(guān)計(jì)算類型一弧長(zhǎng)的計(jì)算1.(2023甘肅省卷)如圖，一條公路(公路的寬度忽略不計(jì))的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧()，點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，半徑OA＝90m，圓心角∠AOB＝80°，則這段彎路()的長(zhǎng)度為()第1題圖A.20πmB.30πmC.40πmD.50πm2.(2023黃岡)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以點(diǎn)C為圓心，CA的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，則弧AD的長(zhǎng)為()第2題圖A.πB.eq\f(4,3)πC.eq\f(5,3)πD.2π3.(2023麗水)某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2m，高為2eq\r(3)m，則改建后門洞的圓弧長(zhǎng)是()第3題圖A.eq\f(5π,3)mB.eq\f(8π,3)mC.eq\f(10π,3)mD.(eq\f(5π,3)＋2)m4.(2023攀枝花)如圖，在半徑為1的⊙O上順次取點(diǎn)A，B，C，D，E，連接AB，AE，OB，OC，OD，OE.若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，則與的長(zhǎng)度之和為________(結(jié)果保留π).第4題圖5.(新趨勢(shì))·跨學(xué)科知識(shí)(2023衡陽(yáng))如圖，用一個(gè)半徑為6cm的定滑輪拉動(dòng)重物上升，滑輪旋轉(zhuǎn)了120°，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與輪滑之間沒有滑動(dòng)，則重物上升了________cm.(結(jié)果保留π)第5題圖6.(2023宜昌)如圖，點(diǎn)A，B，C都在方格紙的格點(diǎn)上，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AB′C′，則點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為________．第6題圖7.(2023福建)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，DF∥AB交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，CF.(1)求證：AC＝AF；(2)若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長(zhǎng)(結(jié)果保留π).第7題圖類型二扇形面積的計(jì)算8.(2023涼山州)家具廠利用如圖所示直徑為1米的圓形材料加工成一種扇形家具部件，已知扇形的圓心角∠BAC＝90°，則扇形部件的面積為()A.eq\f(1,2)π米2B.eq\f(1,4)π米2C.eq\f(1,8)π米2D.eq\f(1,16)π米2第8題圖9.(2023臺(tái)州)一個(gè)垃圾填埋場(chǎng)，它在地面上的形狀為長(zhǎng)80m，寬60m的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了3m，則該垃圾填埋場(chǎng)外圍受污染土地的面積為()A.(840＋6π)m2B.(840＋9π)m2C.840m2D.876m210.(2023玉林)數(shù)學(xué)課上，老師將如圖邊長(zhǎng)為1的正方形鐵絲框變形成以A為圓心，AB為半徑的扇形(鐵絲的粗細(xì)忽略不計(jì))，則所得扇形DAB的面積是________．第10題圖11.(2023鹽城)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)B′處，線段AB掃過(guò)的面積為________.第11題圖命題點(diǎn)2與扇形有關(guān)的陰影部分面積計(jì)算類型一直接和差法12.(2023蘭州)如圖①是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖②所示，它是以O(shè)為圓心，OA，OB長(zhǎng)分別為半徑，圓心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，則陰影部分的面積為()第12題圖A.4.25πm2B.3.25πm2C.3πm2D.2.25πm213.(2023泰安)如圖，四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，DE為半徑，且DE＝6的圓交CD于點(diǎn)F，則陰影部分的面積為()第13題圖A.6π－9eq\r(3)B.12π－9eq\r(3)C.6π－eq\f(9\r(3),2)D.12π－eq\f(9\r(3),2)14.(2023山西)如圖，扇形紙片AOB的半徑為3，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)C處，圖中陰影部分的面積為()第14題圖A.3π－3eq\r(3)B.3π－eq\f(9\r(3),2)C.2π－3eq\r(3)D.6π－eq\f(9\r(3),2)15.(2023重慶A卷)如圖，菱形ABCD中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AD，CB長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，F(xiàn).若AB＝2，∠BAD＝60°，則圖中陰影部分的面積為________．(結(jié)果不取近似值)第15題圖類型二構(gòu)造和差法16.(2023赤峰)如圖，AB是⊙O的直徑，將弦AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到AD，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在AB上，延長(zhǎng)CD，交⊙O于點(diǎn)E，若CE＝4，則圖中陰影部分的面積為()第16題圖A.2πB.2eq\r(2)C.2π－4D.2π－2eq\r(2)17.(2022資陽(yáng))如圖，在矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝eq\r(3)cm，以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為________cm2.第17題圖18.(2023河南)如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點(diǎn)O移到OB的中點(diǎn)O′處，得到扇形A′O′B′.若∠O＝90°，OA＝2，則陰影部分的面積為__________．第18題圖19.(2023梧州)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正四邊形．分別以點(diǎn)A，O為圓心，取大于eq\f(1,2)OA的定長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn).若OA＝1，則，AE，AB所圍成的陰影部分面積為________．第19題圖類型三等積轉(zhuǎn)化法20.(2023遵義)如圖，在正方形ABCD中，AC和BD交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF交AB于點(diǎn)E(E不與A，B重合)，交CD于點(diǎn)F.以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的圓交直線EF于點(diǎn)M，N.若AB＝1，則圖中陰影部分的面積為()A.eq\f(π,8)－eq\f(1,8)B.eq\f(π,8)－eq\f(1,4)C.eq\f(π,2)－eq\f(1,8)D.eq\f(π,2)－eq\f(1,4)第20題圖21.(2022泰安)若△ABC為直角三角形，AC＝BC＝4，以BC為直徑畫半圓如圖所示，則陰影部分的面積為________．第21題圖22.(2023廣元)如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰經(jīng)過(guò)圓心O，若AB＝2eq\r(3)，則陰影部分的面積為________.第22題圖類型四容斥原理法23.(2022荊門)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，分別以B，C為圓心，以正方形的邊長(zhǎng)為半徑的圓相交于點(diǎn)P，那么圖中陰影部分的面積為________．第23題圖命題點(diǎn)3圓切線與求陰影部分面積結(jié)合24.(2023齊齊哈爾)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點(diǎn)D，BC與⊙O交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，且CF＝CD，連接BF.(1)求證：BF是⊙O的切線；(2)若∠BAC＝45°，AD＝4，求圖中陰影部分的面積．第24題圖25.(2023益陽(yáng))如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB.(1)求證：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；(3)在(2)的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π和根號(hào)).第25題圖命題點(diǎn)4圓錐、圓柱的相關(guān)計(jì)算26.(2023無(wú)錫)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為()A.12πB.15πC.20πD.24π27.(2023赤峰)如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為12cm，側(cè)面展開圖為半圓形，則它的母線長(zhǎng)為()A.10cmB.20cmC.5cmD.24cm第27題圖28.(2023云南)某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生到教具加工廠制作圓錐．他們制作的圓錐，母線長(zhǎng)為30cm，底面圓的半徑為10cm，這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是________．29.(2022廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū))如圖，從一塊邊長(zhǎng)為2，∠A＝120°的菱形鐵片上剪出一個(gè)扇形，這個(gè)扇形在以A為圓心的圓上(陰影部分).且圓弧與BC，CD分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐．則圓錐的底面圓半徑是________．第29題圖命題點(diǎn)5圓與正多邊形的相關(guān)計(jì)算30.(2022貴陽(yáng))如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的兩邊AE，CD相切于A，C兩點(diǎn)，則∠AOC的度數(shù)是()A.144°B.130°C.129°D.108°第30題圖31.(2023雅安)如圖，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為()第31題圖A.3eq\r(3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(3\r(3),2)D.332.(2022山西)如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，得，連接AC，AE，則圖中陰影部分的面積為()第32題圖A.2πB.4πC.eq\f(\r(3),3)πD.eq\f(2\r(3),3)π33.(2022綏化)邊長(zhǎng)為4cm的正六邊形，它的外接圓與內(nèi)切圓半徑的比值是________．參考答案與解析1.C【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式l＝eq\f(nπr,180)＝eq\f(80×π×90,180)＝40π.2.B【解析】如解圖，連接CD，∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝8，∴∠CAB＝60°，AC＝4.∵AC＝CD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°.∴弧AD的長(zhǎng)為eq\f(60π×4,180)＝eq\f(4,3)π.第2題解圖3.C【解析】∵圓弧所在圓外接于矩形，且矩形四個(gè)角均為直角，∴直角所對(duì)的弦為直徑，∴如解圖，連接矩形對(duì)角線的交點(diǎn)O即為圓心，∵AB＝2，AD＝2eq\r(3)，∴BD＝eq\r(AB2＋AD2)＝4，∴∠ADB＝30°，∴∠ABD＝60°，∵OA＝OD＝OB＝OC＝2，∴∠AOB＝∠DOC＝60°，∴圓弧長(zhǎng)為eq\f(300π×2,180)＝eq\f(10π,3).第3題解圖4.eq\f(π,3)【解析】∵∠BAE＝65°，∴∠BOE＝2∠BAE＝130°，∵∠COD＝70°，∴∠BOC＋∠DOE＝∠BOE－∠COD＝130°－70°＝60°，∴與的長(zhǎng)度之和為eq\f(60π×1,180)＝eq\f(π,3).5.4π【解析】由題意可知，重物上升的高度即為120°的圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)，∴重物上升的高度為eq\f(120π×6,180)＝4π.6.eq\f(5,2)π【解析】由題可得旋轉(zhuǎn)角∠BAB′＝90°，AB＝AB′，∵在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，∴路徑的長(zhǎng)為eq\f(90π×5,180)＝eq\f(5,2)π.7.(1)證明：∵AD∥BC，DF∥AB，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴∠B＝∠D.又∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF；(2)解：如解圖，連接AO，CO.由(1)得∠AFC＝∠ACF，又∵∠CAF＝30°，∴∠AFC＝eq\f(180°－30°,2)＝75°，∴∠AOC＝2∠AFC＝150°.∴的長(zhǎng)為eq\f(150π×3,180)＝eq\f(5,2)π.第7題解圖8.C【解析】如解圖，連接BC，OA.∵∠BAC＝90°，∴BC為⊙O的直徑．∵BC＝1米，∴OA＝OB＝eq\f(1,2)米，由題意可知AB＝AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝eq\f(\r(2),2)米，∴S扇形＝eq\f(90π×（\f(\r(2),2)）2,360)＝eq\f(1,8)π米2.第8題解圖9.B【解析】如解圖，該垃圾填埋場(chǎng)外圍受污染土地的面積＝80×3×2＋60×3×2＋32π＝(840＋9π)m2.第9題解圖10.1【解析】∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴AB＝AD＝1，的長(zhǎng)為2，∴S扇形DAB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2×1＝1.11.eq\f(π,3)【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)B′作B′H⊥AB于點(diǎn)H，∵B′H＝BC＝1，AB′＝AB＝2，∴∠B′AH＝30°，∴線段AB所掃過(guò)的面積為eq\f(30π×22,360)＝eq\f(π,3).第11題解圖12.D【解析】S陰影＝S扇形AOD－S扇形BOC＝eq\f(120π×32,360)－eq\f(120π×1.52,360)＝eq\f(1,3)×π×(9－2.25)＝2.25π(m2).13.B【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，∵∠A＝60°，AD⊥DE，∴∠AED＝30°.∵AB∥CD，∴∠EDF＝∠AED＝30°.又∵DE＝EF，∴∠DFE＝∠EDF＝30°，∴∠DEF＝180°－∠DFE－∠EDF＝120°.在Rt△DEG中，DE＝6，∠EDF＝30°，∴EG＝DE·sin∠EDF＝3，DG＝DE·cos∠EDF＝3eq\r(3)，∴DF＝2DG＝6eq\r(3)，∴S陰影＝S扇形DEF－S△DEF＝eq\f(120π×62,360)－eq\f(1,2)×6eq\r(3)×3＝12π－9eq\r(3).第13題解圖14.B【解析】如解圖，連接OC，∵扇形AOB沿著AB折疊，點(diǎn)O落在上的點(diǎn)C處，∴四邊形OACB是菱形．又∵OA＝AC＝OC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°.∵S菱形OACB＝2S△AOC，∴S陰影＝S扇形AOB－S菱形OACB＝eq\f(120π×32,360)－2×eq\f(\r(3),4)×32＝3π－eq\f(9\r(3),2).第14題解圖15.2eq\r(3)－eq\f(2π,3)【解析】如解圖，連接BD交AC于點(diǎn)M.∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠AMD＝90°，∠DAM＝eq\f(1,2)∠BAD＝30°，AM＝eq\f(1,2)AC，DM＝eq\f(1,2)BD，∴在Rt△ADM中，DM＝eq\f(1,2)AD＝1，AM＝eq\f(\r(3),2)AD＝eq\r(3)，∴AC＝2AM＝2eq\r(3)，BD＝2DM＝2，∴S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝2eq\r(3)，S扇形DAE＝S扇形BCF＝eq\f(30π×22,360)＝eq\f(π,3)，∴S陰影＝S菱形ABCD－S扇形DAE－S扇形BCF＝2eq\r(3)－eq\f(π,3)－eq\f(π,3)＝2eq\r(3)－eq\f(2π,3).第15題解圖16.C【解析】如解圖，連接OC，OE，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CE于點(diǎn)N，∵AC＝AD且∠A＝30°，∴∠ADC＝∠ACD＝75°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠OCD＝∠ACD－∠ACO＝45°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC＝45°，∴∠EOC＝90°，∵CE＝4，∴ON＝EN＝CN＝2，OE＝OC＝2eq\r(2)，∴S陰影＝S扇形COE－S△OEC＝eq\f(90π×（2\r(2)）2,360)－eq\f(1,2)×4×2＝2π－4.第16題解圖17.eq\f(3\r(3),2)－eq\f(2π,3)【解析】如解圖，連接BE，由題意得BE＝AB＝2cm，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，BC＝AD＝eq\r(3)cm，∴cos∠EBC＝eq\f(BC,BE)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝60°，CE＝1cm，∴S陰影＝S矩形ABCD－S扇形ABE－S△ECB＝2×eq\r(3)－eq\f(60π×22,360)－eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝(eq\f(3\r(3),2)－eq\f(2π,3))cm2.第17題解圖18.eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)【解析】如解圖，設(shè)O′A′與交于點(diǎn)C，連接OC，∵點(diǎn)O′是OB的中點(diǎn)，∴OO′＝eq\f(1,2)OB＝eq\f(1,2)OA＝1，由平移可得∠CO′O＝90°，∴cos∠COO′＝eq\f(OO′,OC)＝eq\f(1,2)，∴∠COO′＝60°，∴CO′＝eq\r(3)OO′＝eq\r(3)，∴S陰影＝S扇形A′O′B′＋S△COO′－S扇形COB＝eq\f(90π×22,360)＋eq\f(1,2)×eq\r(3)×1－eq\f(60π×22,360)＝eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2).第18題解圖19.eq\f(π,12)－eq\f(2－\r(3),4)【解析】如解圖，連接OE，OB，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正四邊形，∴∠AOB＝90°，由尺規(guī)作圖知MN垂直平分OA，∴AE＝OE，∵OA＝OE，∴△OAE是等邊三角形，∴AE＝OE＝OA＝1，∠AOE＝60°，設(shè)MN與OA交于點(diǎn)G，則EG＝OE·sin∠AOE＝1×sin60°＝eq\f(\r(3),2)，∴S陰影＝S扇形AOB－S△OAB－S弓形AE＝S扇形AOB－S△OAB－(S扇形AOE－S△OAE)＝eq\f(90π×12,360)－eq\f(1,2)×1×1－(eq\f(60π×12,360)－eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2))＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)－eq\f(π,6)＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(π,12)－eq\f(2－\r(3),4).第19題解圖20.B【解析】如解圖，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)D為半徑作，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝1，∴OB＝OD＝OC＝eq\f(\r(2),2)，∠DOC＝90°，∵∠EOB＝∠FOD，∴S扇形BOM＝S扇形DON，易知△BOE≌△DOF，∴S陰影＝S扇形COD－S△COD＝eq\f(90π×（\f(\r(2),2)）2,360)－eq\f(1,4)×1×1＝eq\f(π,8)－eq\f(1,4).第20題解圖【一題多解】∵在正方形ABCD中，AB＝1，∴⊙O的半徑為OB＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)，∵EF過(guò)點(diǎn)O，∴由中心對(duì)稱可得四邊形EBCF的面積等于正方形面積的一半，又∵S△OBC＝eq\f(1,4)S正方形ABCD，∴S陰影＝S半圓－eq\f(1,2)S正方形ABCD－(S扇形BOC－S△OBC)＝eq\f(1,2)π×(eq\f(\r(2),2))2－eq\f(1,2)×1×1－eq\f(90π×（\f(\r(2),2)）2,360)＋eq\f(1,4)×1×1＝eq\f(π,4)－eq\f(1,2)－eq\f(π,8)＋eq\f(1,4)＝eq\f(π,8)－eq\f(1,4).21.4【解析】如解圖，連接CD，則陰影部分面積為△ABC面積的一半，即eq\f(1,2)×4×4×eq\f(1,2)＝4.第21題解圖22.eq\f(2π,3)【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，交劣弧AB于點(diǎn)E，連接AO，AE，根據(jù)垂徑定理得AD＝BD＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)，∵將⊙O沿弦AB折疊，恰經(jīng)過(guò)圓心O，∴OD＝DE＝eq\f(1,2)OA，∴∠OAD＝30°，∴∠OAE＝60°，∵OA＝OE，∴△AOE是等邊三角形，∴∠E＝60°，在Rt△AOD中，AO＝eq\f(AD,cos30°)＝eq\f(\f(\r(3),\r(3)),2)＝2，∵AD＝BD，∠ADE＝∠BDO＝90°，DE＝OD，∴△ADE≌BDO(SAS)，∴S陰影＝S扇形AEO＝eq\f(60π×22,360)＝eq\f(2π,3).第22題解圖【一題多解】如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，交劣弧AB于點(diǎn)E，連接AO，AE，∴AD＝BD＝eq\r(3)，∠ODB＝90°，由折疊可知，OD＝DE＝eq\f(1,2)OB，可得∠OBD＝30°，∠AOB＝120°，∴OB＝eq\f(BD,cos∠OBD)＝2，∴S扇形AOB＝eq\f(120π×22,360)＝eq\f(4π,3)，S△AOB＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\r(3)，S扇形AOB－S△AOB＝eq\f(4π,3)－eq\r(3).OE左邊陰影部分面積為eq\f(1,2)(S扇形AOB－S△AOB)＝eq\f(2π,3)－eq\f(\r(3),2)，OE右邊陰影部分面積為eq\f(1,2)S△AOB＝eq\f(\r(3),2)，整體陰影部分面積為兩部分陰影面積之和即為eq\f(2π,3).23.2eq\r(3)－eq\f(2π,3)【解析】如解圖，連接PB，PC，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，∵PB＝BC＝PC，∴△PBC為等邊三角形，∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，∴BF＝PB·cos60°＝eq\f(1,2)PB＝1，PF＝PB·sin60°＝eq\r(3)，∴S陰影＝[S扇形ABP－(S扇形BPC－S△BPC)]×2＝[eq\f(30π×22,360)－(eq\f(60π×22,360)－eq\f(1,2)×2×eq\r(3))]×2＝2eq\r(3)－eq\f(2π,3).第23題解圖24.(1)證明：如解圖，連接BD，第24題解圖∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA＝90°，∴∠BDC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵CF∥AB，∴∠FCB＝∠ABC，∠ABF＋∠F＝180°，∴∠FCB＝∠ACB，∵CF＝CD，BC＝BC，∴△BCF≌△BCD(SAS).∴∠F＝∠BDC＝90°，又∵∠ABF＋∠F＝180°，∴∠ABF＝90°，且AB是⊙O的直徑，∴BF是⊙O的切線；(2)解：如解圖，連接OE，與BD交于點(diǎn)M，∵∠BDA＝90°，∠BAC＝45°，AD＝4，∴BD＝AD＝4，∴AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝4eq\r(2)，∴OB＝2eq\r(2)，∴OE＝OB＝2eq\r(2)，∴∠OEB＝∠ABC.∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠BOE＝∠BAC＝45°，∴OE∥AC，∴∠OMB＝∠ADB＝90°，∴BM＝OM＝2，∴S陰影＝S扇形BOE－S△OBE＝eq\f(45π×（2\r(2)）2,360)－eq\f(2×2\r(2),2)＝π－2eq\r(2).25.(1)證明：∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，又∵CP為半圓O的切線，OC為半圓O的半徑，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＋∠OCB＝∠OCB＋∠BCP，∴∠ACO＝∠BCP；(2)解：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠COB＝∠OAC＋∠OCA＝2∠ACO，∵∠ABC＝2∠BCP，∠ACO＝∠BCP，∴∠ABC＝∠COB，又∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠COB＝∠OCB＝60°，∴∠P＝90°－∠COB＝30°；(3)解：由(2)知∠OAC＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB，又∵AB＝4，∴BC＝2，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(