初中數(shù)學(xué)同角三角函數(shù)關(guān)系強化練習(xí)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.如圖，P為NXOY上一點，作PH_LOy于H,對于si/NXOy+cosZNXOy的大

A.與點P的位置有關(guān)B.與P4的長度有關(guān)C.與NXOV的大小有關(guān)D.與點尸的

位置和ZXOY的大小都無關(guān)

2.如圖，在正方形A8C。中，E,F分別是BC,CD的中點，AE交BF于點H,

CG〃AE交BF于點G,下列結(jié)論，（DsinZHBE=cosAHEB；②CGBF=BCCF；

③BH=FG：④紇=處其中正確的是（）

CF2GF

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

3.如果a是銳角，則下列成立的是（）

A.sina+cosa=lB.sina+cosa>lC.sina+cosa<lD.sina+cosa<l

7

4.在R3ABC中，/C=90。，若sinA=(,則cosA=()

巫

A.cD.

亍-T2

5.如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZA=30°.以點3為圓心畫弧,分別交3C、AB于點

M、N,再分別以點M、N為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于點尸，畫射線3P

交AC于點D若點。到"的距離為1,則AC的長是（）

A.2B.3c.GD.V3+1

6.如圖，在放△ABC中，NACB=90。，AC=3,。是邊AB上一點，連結(jié)C￡）,將

△AC￡）沿CO翻折得到△&?￡）,連結(jié)BE.若四邊形8CDE是平行四邊形，則8c的長

為（）

A.73B.3C.26D.3近

7.若a是銳角,tana*tan50°=l,則a的值為()

A.20°B.30°C.40°D.50°

8.4ABC中，ZC=90°,CDLAB于D,下列比值中不等于tanA的是()

CD廠BD、AC

A吐B.-----C.-----D.

,ACADCD~AB

二、填空題

4

9.如圖，在矩形ABC。中，BC=6,cosNCAB=-,P為對角線AC上一動點，過

線段BP上的點“作EFJLBP,交AB邊于點E,交BC邊于點、凡點N為線段EF的

中點，若四邊形BEP尸的面積為18,則線段8N的最大值為

10.如圖，在RtAABC中，ZA=90°,AD1BC,垂足為D.給出下列四個結(jié)論:

①sina=sinB；②sinp=sinC；③sinB=cosC；④sina=cos。,其中正確的結(jié)論有.

――..tan~6—f1+5/2\tan34-y/o..sin0

"?已知一馬——=0＞r則l即而兩的值為一.

12.如圖，射線。河、ON互相垂直，。4=8,點8位于射線。用的上方，且在線段

04的垂直平分線/上，連接AB,AB=5.將線段AB繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到對

應(yīng)線段A'B',若點B'恰好落在射線ON上，則點A到射線ON的距離d*.

4

13.如圖，在RhABC中，NACB=90O,COSA=M，C￡>為AB邊上的中線，8=5,以

點B為圓心，，為半徑作。B.如果08與中線C。有且只有一個公共點，那么0B的半

15.如果a是銳角，且sin2a十COS235°=1,那么a=度.

16.已知:sinl5cost5"=—sin30,sin20-cos20'=—sin40,

22

sin30.cos30=lsin60,請你根據(jù)上式寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

三、解答題

17.如圖，在△ABC中，ZC=90°,a,b,c分別NA,ZB,NC的對邊.

B

a

A

h

(1)求sin?A+sin28的值;

(2)填空：當a為銳角時，sin2?+sin2(90°-?)=

(3)利用上述規(guī)律,求下列式子的值：sin21°+sin22°+sin23°+???+sin289°.

18.(1)已知3tana-2cos30。=0,求銳角a；

(2)已知2sina-3tan3O0=O,求銳角a.

19.在RrA4cB中，ZACB=90,AC=23C=4,點2為A8中點，點。為AC邊上不

與端點重合的一動點，將43。沿尸。折疊得A￡P(guān)￡>,點A的對應(yīng)點為點E,若

DE1AB,則的長為.

20.如圖，AC是。。的直徑，BC,是。。的弦，M為BC的中點，OM與BO交于

點F,過點。作。Ed.BC,交BC的延長線于點E,且CO平分NACE.

(1)求證：DE是。。的切線；

2

(2)若DE=12,tanZCDE=-,求8M的長.

21.求值：

(1)cav60+sin245-ran34-tan56;

2sinA-cosA

(2)已知=求的值.

4sinA+5cosA

22.如圖，在RJABC中，/ABC=90。，直角頂點8位于x軸的負半軸，點A(0,-

2),斜邊AC交x軸于點。，且。(1,0),BC與y軸交于點E,y軸平分NBAC,反

比例函數(shù)y="(x>0)的圖象經(jīng)過點C.

X

(1)直接寫出點8的坐標；

(2)求)，=七(x>0)的函數(shù)表達式.

X

參考答案：

1.D

【解析】

【分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可得答案.

【詳解】

Pfj-OH~

Vsin2zxor+cos2ZXC)y=—+—-=1,

PO-7PO-

sin2ZXOr+cos2ZXC>y的大小與角的大小無關(guān)，與P點的位置都無關(guān).

故選D.

【點睛】

本題主要了考查同角的三角函數(shù)關(guān)系：siMa+cos2a=1.

2.D

【解析】

【分析】

①根據(jù)正方形的性質(zhì)求證是直角三角形即可得到結(jié)果：

②由①求證aa聲?/XBCF,利用其對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論；

③由①求證△8%=即可得出結(jié)論；

④利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；

【詳解】

?在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC,CD的中點，

/\ABE=/^BCF,

：.NBEA=NCFB,

：CG〃AE,

AGCB=ZABE,

/./CFG=Z.GCB,

，ZCFG+ZGCF=90°,即^CGF為直角三角形，

?；CG〃AE,

???△BHE也是直角三角形，

sinZHBE=cosZWEB.

故①正確；

答案第1頁，共19頁

由①得~4BCF、

.CGCF

??-=",

BCBF

/.CG.BF=BC￡F,

故②正確；

由①得△笈%m4CGF、

ABH=CG,而不是BH=FG,

故③錯誤；

:4BCG?4BFC,

.BCBG

??二~，

BFBC

即BC2=BG.BF，

同理可得：4BCF?4CGF,

可得=BF6F，

.BF2BG

??--Z-=----,

CF1GF

...④正確；

綜上所述，正確的有①②④.

故答案選D.

【點睛】

本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義判斷，準確結(jié)合相似三角形性質(zhì)和全等三角形性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

3.B

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦函數(shù)是對邊比斜邊，余弦函數(shù)是鄰邊比斜邊，三角形的兩邊之和大于第三邊，可

得答案.

【詳解】

解：Ta、b是直角邊，c是斜邊,

..aba+b

..sinct+cosa=—+—=------

Va+b>c,

答案第2頁，共19頁

c

sina+cosa>l.

故選B.

【點睛】

本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，利用正弦函數(shù)是對邊比斜邊，余弦函數(shù)是鄰邊比斜邊是解

題關(guān)鍵.

4.C

【解析】

【分析】

根據(jù)sin2A+cos24=l,進行計算即可解答.

【詳解】

解：由題意得：sin2A+cos2A=l,

.45

..cos-A=1—=—,

99

???cosA.——，

3

故選C.

【點睛】

本題考查了同角三角函數(shù)值的關(guān)系.解題的關(guān)鍵在于熟練掌握sin2A+cos24=l.

5.B

【解析】

【分析】

過點D作DELAB于E,則DE=1,先計算出NABD=30。，在Rrz!M)BE中，由直角三角形

的性質(zhì)求出BE,利用等腰三角形的性質(zhì)求出AB,最后在R/AABC中求出AC的長.

【詳解】

解：如圖，

過點D作DE1AB于E,則DE=1,

答案第3頁，共19頁

???ZC=90°,ZA=30°,

.\ZABC=60°

由尺規(guī)作圖，知PB是NA8C的平分線，

ZABD=-ZABC=30°

2f

:.ZA=ZABD,

AD=DB,

:.AB=2EB,

EB=-^^=、=也

在RfZXDBE中，tan30°3

T

AB=26，

在R/AABC中，AC=A8.cos3()o=2百X—=3,

2

故選：B

【點睛】

本題考查了尺規(guī)作圖，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)及等腰三角形的性質(zhì).靈活的應(yīng)

用銳角三角函數(shù)的定義求直角三角形的邊和角是解本題的關(guān)鍵.

6.A

【解析】

【分析】

設(shè)B2EC相交于點尸，由翻折及題目信息可以推出NAFC=90。，繼而求出NA,運用三角

函數(shù)值解決問題.

【詳解】

如圖：設(shè)82EC相交于點尸

答案第4頁，共19頁

A

由翻折可知：ZA=ZDEC,CE=CA

???ZACB=90°

ZA+ZABC=90°

???四邊形BCDE是平行四邊形

CF=EF,DE/!BC

/EDB=ZABC

/.ZDEC+ZEDB=NA+ZABC=90°

ZAFC=90°

在Rf~4C/中

?/AC=CE,CF=-CE

2

CF1

?..——=sinZA=-=sin30°

AC2

?,.ZA=30°

?/—=tanNA=tan30°=—

AC3

vAC=3

BC=G

故選A.

【點睛】

本題考查了圖形的翻折，平行四邊形的性質(zhì)，特殊角的銳角三角函數(shù)值，求出4的度數(shù)

是解題的關(guān)鍵.

7.C

答案第5頁，共19頁

【解析】

【分析】

互為余角的兩個角的正切值互為倒數(shù).

【詳解】

解：Vtana?tan50°=l

.,.a+50°=90°

/.a=40°.

故選C.

【點睛】

掌握互為余角的兩個角的正切值的關(guān)系：互為余角的兩個角的正切值互為倒數(shù).

8.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)正切的定義和同角的正切值相同即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如下圖所示

在RIAMC中，tanA嘿，故A不符合題意;

CD

在RtAACD中，ta"=而，故B不符合題意;

VZA+ZACD=90°,ZBCD+ZACD=90°

NA=/BCD

tanA=tanZBCD=^^,故C不符合題意;

AC

3“用故D符合題意.

故選D.

【點睛】

此題考查的是正切，掌握正切的定義和同角的正切值相同是解決此題的關(guān)鍵.

答案第6頁，共19頁

4

【解析】

【分析】

4

在AABC中，BC=6,COSNC4B=M求出AC與AB的長，點P在AC上則6WBPW8,由

點N為線段EF的中點，ZABC=90°,則EF=2BN,根據(jù)四邊形BEPF的面積為18,

上廣，8P利用對角線乘積的一半求面積得，PB.BN=18,BN與PB成反比例，PB最小

時，BN最大，當PB_LAC時，PB最小，求出最小值即可.

【詳解】

4

在ZkABC中，BC=6,cosZC4B=-,

Vsin2ZCAB+cos2ZC4B=1,

工sinZCAB=\I\-cos2ZCAB=11

由正弦函數(shù)定義sinNCA8=后,

AL

BC60

-------------=—=1()

AAC=sinZCAB3

5

由勾股定理得AB=VAC2-fiC2=A/102-62=8，

點P在AC上則6<BP<8,

:點N為線段Er的中點，由/ABC=90。,

/.EF=2BN,

?.?四邊形尸的面積為18,EFVBP,

/.S四邊形EBFP=gPB?EF=；PBx2BN=PB?BN=18,

：.PB.BN=18,

，BN嗡

當PB最小時，BN最大,

當PBJ_AC時，PB最小，即SAABC=-AB.BC=-AC.BP

22

AB.BC8x624

BP圾小:

AC105

答案第7頁，共19頁

BN最大=更"1

T

故答案沏*

【點睛】

本題考查銳角三角函數(shù)解直角三角形與點到直線距離最短問題，掌握銳角三角函數(shù)及其之

間的關(guān)系，會用銳角三角函數(shù)解直角三角形，掌握垂線段最短，會利用面積或勾股定理求

BP的最小值，解題時要理解BP最小，BN最大是解題關(guān)鍵.

10.①@③④

【解析】

【分析】

根據(jù)NA=90。，AD±BC,可得/a=/B,Zp=ZC,再利用銳角三角函數(shù)的定義可列式進

行逐項判斷.

【詳解】

VZA=90°,AD±BC,

AZa+Zp=90°,ZB+Zp=90°,ZB+ZC=90°,

/.Za=ZB,Zp=ZC,

sina=sinB,故①正確；

sinp=sinC,故②正確；

二?在RtAABC中sinB=-^-,cosC=-^-，

BCBC

AsinB=cosC,故③正確；

Vsina=sinB,cosZp=cosC,

/.sina=cosZp,故④正確；

故答案為①②③④.

答案第8頁，共19頁

【點睛】

本題主要考查銳角的三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握互余兩角的三角函數(shù)間的關(guān)系.

11.1

【解析】

【分析】

由分式為。的條件，推導(dǎo)出S"2e-(l+")tane+應(yīng)=0且tanO-lHO,求得tan?=血.對

肅齡花進行化簡，得用。+&二將tan*也代入其中,得

tan6/

初七可進而求出孟黑/L

【詳解】

解...taRO-(1+揚lan0+夜_0

tan-1

tarrO-(1+^2)tan04-41=0FltanO-lwO.

??tarrO-tan^-\/2tan^+\/2=0-S.tan^^l.

/.tan6(tan0-V)-V2(tan8-1)=0且tanOwl.

/.(tan0-l)(tan0->/2)=0且tan。H1.

，tan，=夜.

,/sin?。+cos29=1，

sin。

sii?0+\[2coss0

__________1_________

sirrO+\/2cos2—二

tan。

__________1________

siirO+y/lcos20'-\=

1

sirrO+cos2G

-T

=1.

故答案為：L

【點睛】

答案第9頁，共19頁

本題主要考查分式為0的條件、三角函數(shù)的定義以及以及三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握分式

為0的條件、三角函數(shù)的定義以及以及三角函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

12.—

5

【解析】

【分析】

添加輔助線，連接。4'、OB,過4點作APLON交ON與點P.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到

^A'B'O^ABO,在R/AA'PO和中，NB，OA=NBOA,根據(jù)三角函數(shù)和已知線段的長度求

出點A'到射線ON的距離d=A!P.

【詳解】

如圖所示，連接04、OB,過H點作4PL0N交ON與點P.

V線段AB繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段A'B'

，。4'=。4=8,ZB'OB=ZA'OA

：.ZB'OB-ZBOA'=ZA'OA-ZBOA'

???點B在線段0A的垂直平分線I上

/.OC=-OA=-x8=4,OB=AB=5

22

BC=^OB2-OC2=452-42=3

,/ZB'OA'=ZBOA

A'pRC

：.sin/B'OA'=——=sinZBOA=——

A,OOB

.A'P3

??一

85

答案第10頁，共19頁

【點睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角函數(shù).對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心

所連的線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

2424

13.5＜廠46或「=彳##廠=手或5＜r＜6

【解析】

【分析】

根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，判斷出符合題意的。8的半徑「的取值范圍的臨界值并求解即

可；

【詳解】

解：在RhABC中，ZACB=90°,CD為AB邊上的中線，8=5,

AAB=W,CD=BD=5,

...AC4

.cosA=--=—,

AB5

AC=8,

BC=y/AB2-AC2=V102-82=6，

24

CO邊的高=6x8+2+2x2+5=g,

?；與中線CD有且只有一個公共點，

???。8的半徑廠的取值范圍為5＜廠46或「=弓24.

24

故答案為：5＜廠46或r=了.

【點睛】

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、三角形的面積、直角三角形斜邊上的中線、解直角三角

形等知識；熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，由三角函數(shù)求出BC是解決問題的關(guān)鍵.

14.1-5/3

【解析】

【分析】

先根據(jù)一般角三角函數(shù)的性質(zhì)化簡，然后再計算即可.

【詳解】

答案第11頁，共19頁

解：sin225°+cos225—tanGO

—1—y/3

故答案為：1-6.

【點睛】

本題考查了一般角的三角函數(shù)值的運算和實數(shù)的運算，掌握一般角三角函數(shù)的性質(zhì)的解答

本題的關(guān)鍵.

15.35°

【解析】

【分析】

根據(jù)銳角三角函數(shù)正、余弦的關(guān)系si^A+cos2A=1即可解題.

【詳解】

根據(jù)sin2a十cos2a=1,因為sin2a十8$235。=1,所以a=35。.

【點睛】

本題考查銳角三角函數(shù)正、余弦的關(guān)系.

16.sinacosa=—sin2a

2

【解析】

【分析】

從角度的倍數(shù)關(guān)系方面考慮并總結(jié)寫出結(jié)論.

【詳解】

根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)：同一個角正弦與余弦的積等于這個角的2倍的正弦的一半，

規(guī)律為：sina-cosa=—sin2a.

故答案為sina-cosa=gsin2a.

【點睛】

本題考點：同角三角函數(shù)的關(guān)系.

17.(1)1

(2)1

(3)44.5

【解析】

答案第12頁，共19頁

【分析】

(1)由三角函數(shù)的定義及勾股定理即可證明；

(2)由(1)得出的結(jié)論解答即可；

(3)由(1)得出的結(jié)論進行化簡并求值即可；

(1)

證明：,在心AABC中，ZC=90°,

?*.?2+fe2=c2.

又sinA=q,sinB=2,

cc

：.sin2A+sin2B=^+(幺)="二〃=八

(2)

當a為銳角時，sin2a+sin2(90°-a)=l,

故答案為1：

(3)

sin2l°+sin22°+sin23°+---+sin289°

=(sin2l0++sin289°)+(sin220+sin288°)+---+(sin244°+sin246°)+sin2450

=l+l+l+...+l+g(44個1相加)

=44.5

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的關(guān)系，熟記定義是解題的關(guān)鍵.

18.(1)a=30°；(2)a=60°.

【解析】

【分析】

(1)先求出tana的值，然后求出角的度數(shù)；

(2)先求出sina的值，然后求出角的度數(shù).

【詳解】

解：(1)解得：tana=且，

3

則a=30°；

答案第13頁，共19頁

(2)解得：sina=—,

2

則a=60°.

【點睛】

本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是掌握兒個特殊角的三角函數(shù)值.

J95-亞或蓬+5

2-2,

【解析】

【分析】

分兩種情況討論，延長EZ)交A8于尸，由勾股定理可求A8的長，由折疊的性質(zhì)可得

AP=PE=小,ZA=ZE,由銳角三角函數(shù)可求整=黑，可求PF的長，可得"■的長,

ABPE

再由銳角三角函數(shù)可求解.

【詳解】

解：如圖，延長皮)交AB于F,

vZACB=90°,AC=2BC=4,

：.BC=2,AB=yjAC2+BC2=J16+4=2yli,

???點產(chǎn)為AB中點，

AP=后,

?.,將AAPZ）沿尸。折疊得AEPD,DELAB

\AP=PE=亞,ZA=Z￡,

、」

\sinA=-B--C-=--P-F-,

ABPE

2_PF

,?麗=不

:.PF=\,

\AF=y/5-1,

答案第14頁，共19頁

AF_AC

\cosA=

~AD~~AB

.45-l_4

"AD2^

如圖，設(shè)OE與A8交于F,

?.■將MPD沿尸￡＞折疊得XEPD,

r.NA=N￡,AD—DE>AP=PE=小，

\sinA=sin￡=—=—

ABPE

1PF

.,宰=1T

:.PF=\,

\AF=石+1,

QtanA=tanE,

.BC_DF_PF_2

一~AC~~AF~~EF~2f

:.EF=2,DF=^^-,

2

故答案為：匕叵或或上1.

22

【點睛】

本題考查了翻折變換，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵.

20.(1)見解析

(2)5

【解析】

【分析】

答案第15頁，共19頁

(1)連接O。，AD,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得出/ADC=90。，再綜合角平分線的定

義以及圓的基本性質(zhì)，推出NCDE=NA。。，從而推出N4OC=N。0E,即可得證；

(2)在(1)的基礎(chǔ)之上，結(jié)合同弧所對的圓周角相等，可證/CAO=/QBE；由

7

tanZCDE=j,求出CE=8,BE=18,可得BC=10,由M為BC的中點，可得OMLBC,

BM=—；

2

(1)

解：如圖，連接0。AD,

'：OD,OC為半徑，

:.OD=OC

：.ZODC=ZOCD

平分/ACE,

，ZOCD=ZECD,

'：DE±BC,

：.ZDEC=90°,

二Z￡?C￡+ZC￡>E=90°

，NODC+NCDE=90。,

即：ZODE=90°,

???0。為半徑，

.???！晔?。0的切線；

⑵

解：如(1)圖，連接4。可得/CZ)E=/C4O,

根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得/C4O=/OBE,

ZCDE=ZDBE；

答案第16頁，共19頁

,2

RtaCQE中，DE=12,tanZCDE=-,

.CE2

??———，

123

，CE=8,

2

由NCDE=NDBE,RsBDE中，DE=12,tanZ￡)BE=-,

.12_2

；.BE=18,

.".BC=B￡-C￡=10,

???M為BC的中點，

：.OMLBC,BM=18c=5.