第八章素養(yǎng)測(cè)評(píng)時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知sinα＝－eq\f(1,3)，則cos2α的值為()A．－eq\f(4\r(2),9)B．eq\f(4\r(2),9)C．eq\f(7,9)D．－eq\f(7,9)2．已知向量a＝(1，0)，b＝(3，2)，則(a＋b)·(a－b)＝()A．3B．5C．－6D．－123．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，3)，若a·b＝|b|，則x的值為()A．－2B．－4或0C．－2或0D．04．函數(shù)f(x)＝4sin(3x＋eq\f(π,3))＋cos(3x－eq\f(π,6))的最大值為()A．2B．3C．4D．55．已知α，β都是銳角，sinα＝eq\f(3,5)，cos(α＋β)＝－eq\f(12,13)，則sinβ＝()A．1B．eq\f(\r(15)＋1,4)C．－eq\f(16,65)D．eq\f(56,65)6．平面對(duì)量a＝(1，0)，b＝(－1，eq\r(3))，則向量b在向量a方向上的投影的數(shù)量為()A．－1B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),2)D．27．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，D為AB的中點(diǎn)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，則eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝()A．0B．2C．－2D．－48．已知函數(shù)f(x)＝sinωx(sinωx＋eq\r(3)cosωx)(ω>0)，若函數(shù)f(x)的圖象與直線(xiàn)y＝1在(0，π)上有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則ω的取值范圍是()A．(eq\f(7,6)，eq\f(3,2)]B．(eq\f(7,6)，eq\f(4,3)]C．(eq\f(6,5)，eq\f(3,2)]D．(eq\f(6,5)，eq\f(4,3)]二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知向量m＋n＝(3，1)，m－n＝(1，－1)，則()A．(m－n)∥nB．(m－n)⊥nC．|m|＝eq\r(2)|n|D．〈m，n〉＝45°10．下列選項(xiàng)中，值為eq\f(1,2)的是()A．coseq\f(7π,6)B．cos18°cos42°－sin18°sin42°C．2sin15°cos15°D．eq\f(tan30°＋tan15°,1－tan30°tan15°)11．已知x∈(eq\f(π,2)，π)，3cosx＝8tanx，則()A．sinx＝eq\f(1,3)B．tan2x＝－eq\f(4\r(2),7)C．cos2x＝eq\f(1,3)D．sin(x＋eq\f(π,4))cos(x＋eq\f(3,4)π)＝eq\f(4\r(2)－9,18)12．已知向量a＝(2sinx，－1)，b＝(sinx＋eq\r(3)cosx，1)，且函數(shù)f(x)＝a·b，則下列說(shuō)法不正確的是()A．x1，x2是方程f(x)＝1的兩根，則x1－x2是π的整數(shù)倍B．當(dāng)x＝eq\f(π,6)時(shí)，f(x)取得最大值C．[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]是函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間D．將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度得到一個(gè)偶函數(shù)圖象三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．計(jì)算：cos215°－sin215°＝________．14．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，1)，若a與a＋λb垂直，則λ的值為_(kāi)_______．15．已知tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，tan(β－eq\f(π,4))＝eq\f(3,4)，則tan(α＋eq\f(π,4))的值為_(kāi)_______．16．已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx－φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x＋eq\f(π,6))＋f(2x＋eq\f(π,6))，則g(x)的值域?yàn)開(kāi)_______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.(10分)如圖，點(diǎn)P是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是角－β的終邊與單位圓的交點(diǎn)，其中α，β∈(0，eq\f(π,2)).(1)求PQ；(2)求證：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.18．(12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|.19．(12分)已知0<α<eq\f(π,4)，f(α)＝eq\f(2cos（\f(π,2)＋α）·\r(1－sin2α),tan（α＋π）·\r(2＋2cos2α)).(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)若f(α)＝－eq\f(1,5)，求tan2α的值．20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(|φ|<eq\f(π,2)，ω>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π.(1)求f(eq\f(π,4))的值；(2)求函數(shù)y＝eq\r(3)f(x)＋f(x＋eq\f(π,2))的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值．21．(12分)如圖，OPQ是半徑為2，圓心角為eq\f(π,3)的扇形，C是扇形弧上的一動(dòng)點(diǎn)，記∠COP＝θ，四邊形OPCQ的面積為S.(1)求S與θ的函數(shù)關(guān)系；(2)摸索求當(dāng)θ取何值時(shí)，S最大，并求出這個(gè)最大值．22．(12分)已知向量a＝(cosx＋sinx，eq\r(3)cosx)，b＝(cosx－sinx，－2sinx)，記函數(shù)f(x)＝a·b.(1)求函數(shù)f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的取值范圍；(2)若g(x)＝f(x＋t)為偶函數(shù)，求|t|的最小值．第八章素養(yǎng)測(cè)評(píng)1．答案：C解析：cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(－eq\f(1,3))2＝eq\f(7,9).故選C.2．答案：D解析：a＋b＝(4，2)，a－b＝(－2，－2)，所以(a＋b)·(a－b)＝(4，2)·(－2，－2)＝－8－4＝－12.故選D.3．答案：D解析：向量a＝(2，1)，b＝(x，3)，且有a·b＝|b|，則2x＋3＝eq\r(x2＋32)，兩邊平方解得x＝0或x＝－4，而當(dāng)x＝－4時(shí)，等式2x＋3＝eq\r(x2＋32)無(wú)意義，舍去，當(dāng)x＝0時(shí)，等式成立，所以x的值為0.故選D.4．答案：D解析：f(x)＝4sin(3x＋eq\f(π,3))＋cos(3x－eq\f(π,6))＝4(eq\f(1,2)sin3x＋eq\f(\r(3),2)cos3x)＋eq\f(\r(3),2)cos3x＋eq\f(1,2)sin3x＝2sin3x＋2eq\r(3)cos3x＋eq\f(\r(3),2)cos3x＋eq\f(1,2)sin3x＝eq\f(5,2)sin3x＋eq\f(5\r(3),2)cos3x＝5sin(3x＋eq\f(π,3))，∴f(x)最大值為5.故選D.5．答案：D解析：由于0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2（α＋β）)＝eq\f(5,13)，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝eq\f(5,13)×eq\f(4,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(3,5)＝eq\f(56,65).故選D.6．答案：A解析：∵a＝(1，0)，b＝(－1，eq\r(3))，∴a·b＝－1，|a|＝1，∴b在a方向上的投影的數(shù)量為|b|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|)＝－1，故選A.7．答案：A解析：在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，＝2，取，為基底，所以＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)(－)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)，＝－＝eq\f(1,2)－.所以·＝(eq\f(1,2)－)·(eq\f(1,3)＋eq\f(2,3))＝eq\f(1,6)2－eq\f(2,3)2.因?yàn)锳B＝4，AC＝2，所以eq\f(1,6)2－eq\f(2,3)2＝eq\f(1,6)×16－eq\f(2,3)×4＝0.即·＝0.故選A.8．答案：A解析：由f(x)＝sinωx(sinωx＋eq\r(3)cosωx)＝eq\f(1－cos2ωx,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2ωx＝sin(2ωx－eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，f(x)與直線(xiàn)y＝1在(0，π)上有3個(gè)不同交點(diǎn)，即sin(2ωx－eq\f(π,6))＝eq\f(1,2)在(0，π)上有3個(gè)實(shí)根，由x∈(0，π)得：2ωx－eq\f(π,6)∈(－eq\f(π,6)，2ωπ－eq\f(π,6))，所以eq\f(13π,6)<2ωπ－eq\f(π,6)≤eq\f(17π,6)，解得eq\f(7,6)<ω≤eq\f(3,2).故選A.9．答案：BCD解析：由m＋n＝(3，1)，m－n＝(1，－1)，得m＝(2，0)，n＝(1，1)，則|m|＝2，|n|＝eq\r(2)，m·n＝2，若(m－n)∥n，則1×1＝(－1)×1，不符合題意，故A錯(cuò)誤；若(m－n)⊥n，則1×1＋(－1)×1＝0，符合題意，故B正確；由|m|＝2，|n|＝eq\r(2)得|m|＝eq\r(2)|n|，故C正確；cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，由〈m，n〉∈[0，π]知，〈m，n〉＝45°，故D正確．故選BCD.10．答案：BC解析：對(duì)于A選項(xiàng)，coseq\f(7π,6)＝cos(π＋eq\f(π,6))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，cos18°cos42°－sin18°sin42°＝cos(42°＋18°)＝cos60°＝eq\f(1,2)，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，2sin15°cos15°＝sin30°＝eq\f(1,2)，故正確；對(duì)于D選項(xiàng)，eq\f(tan30°＋tan15°,1－tan30°tan15°)＝tan(30°＋15°)＝tan45°＝1，故錯(cuò)誤．故選BC.11．答案：ABD解析：∵3cosx＝8tanx，∴3cos2x＝8sinx，∴3sin2x＋8sinx－3＝0，解得sinx＝eq\f(1,3)或sinx＝－3(舍)，故選項(xiàng)A正確；∵x∈(eq\f(π,2)，π)，∴cosx＝－eq\f(2\r(2),3)，tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝eq\f(\f(1,3),－\f(2\r(2),3))＝－eq\f(\r(2),4)，tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(2×（－\f(\r(2),4)）,1－（－\f(\r(2),4)）2)＝eq\f(－4\r(2),7)，故選項(xiàng)B正確；cos2x＝2cos2x－1＝2×(－eq\f(2\r(2),3))2－1＝eq\f(7,9)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；sin(x＋eq\f(π,4))cos(x＋eq\f(3,4)π)＝(eq\f(\r(2),2)sinx＋eq\f(\r(2),2)cosx)·(－eq\f(\r(2),2)cosx－eq\f(\r(2),2)sinx)＝－eq\f(1,2)(1＋2sinxcosx)＝eq\f(4\r(2)－9,18)，故選項(xiàng)D正確．故選ABD.12．答案：AB解析：依據(jù)題意，f(x)＝2sinx(sinx＋eq\r(3)cosx)－1＝2sin2x＋2eq\r(3)sinxcosx－1＝eq\r(3)sin2x－cos2x＝2sin(2x－eq\f(π,6)).對(duì)A：若f(x)＝1，故可得sin(2x－eq\f(π,6))＝eq\f(1,2)，解得2x－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,6)或2x－eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即x＝kπ＋eq\f(π,6)或x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，則當(dāng)k＝0時(shí)，不妨取x1＝eq\f(π,2)，x2＝eq\f(π,6)，則x1－x2＝eq\f(π,3)不是π的整數(shù)倍，故錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)閒(eq\f(π,6))＝2sineq\f(π,6)＝1，而f(x)的最大值為2，故錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)x∈[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]時(shí)，2x－eq\f(π,6)∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，又y＝2sinx在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]單調(diào)遞增，故f(x)在[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]單調(diào)遞增，故正確；對(duì)D：將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位，故可得y＝2sin(2x＋eq\f(π,2))＝2cos2x，其為偶函數(shù)，故正確．故選AB.13．答案：eq\f(\r(3),2)解析：cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).14．答案：－eq\f(5,3)解析：由題意得，a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，∵a與a＋λb垂直，∴a·(a＋λb)＝1＋λ＋2(2＋λ)＝0，解得λ＝－eq\f(5,3).15．答案：－eq\f(7,26)解析：tan(α＋eq\f(π,4))＝tan[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝eq\f(\f(2,5)－\f(3,4),1＋\f(2,5)×\f(3,4))＝－eq\f(7,26).16．答案：[－eq\f(9,4)，4]解析：視察函數(shù)f(x)圖象知，令函數(shù)f(x)周期為T(mén)，則eq\f(T,2)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2，而當(dāng)x＝eq\f(π,6)時(shí)，f(x)＝Acos(2x－φ)取得最大值，則2×eq\f(π,6)－φ＝2kπ，k∈Z，又0<φ<π，則有k＝0，φ＝eq\f(π,3)，又f(0)＝Acos(－φ)＝Acos(－eq\f(π,3))＝eq\f(1,2)A＝1，解得A＝2，因此，f(x)＝2cos(2x－eq\f(π,3))，則g(x)＝2cos[2(x＋eq\f(π,6))－eq\f(π,3)]＋2cos[2(2x＋eq\f(π,6))－eq\f(π,3)]＝2cos2x＋2cos4x＝4cos22x＋2cos2x－2＝4(cos2x＋eq\f(1,4))2－eq\f(9,4)，因－1≤cos2x≤1，則當(dāng)cos2x＝－eq\f(1,4)時(shí)，g(x)min＝－eq\f(9,4)，當(dāng)cos2x＝1時(shí)，g(x)max＝4，所以g(x)的值域?yàn)閇－eq\f(9,4)，4].17．解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)P是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是角－β的終邊與單位圓的交點(diǎn)，所以P(cosα，sinα)，Q(cos(－β)，sin(－β))，所以Q(cosβ，－sinβ)，所以PQ＝eq\r(（cosα－cosβ）2＋（sinα＋sinβ）2)＝eq\r(2－2cosαcosβ＋2sinαsinβ)＝eq\r(2－2cos（α＋β）).(2)因?yàn)椋?cosα，sinα)，＝(cosβ，－sinβ)，所以·＝cosαcosβ－sinαsinβ.又因?yàn)?，的夾角為α＋β，所以·＝||·||cos(α＋β)＝cos(α＋β)，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.18．解析：(1)因?yàn)?2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4a2－4a·b－3b2＝61.因?yàn)閨a|＝4，|b|＝3，所以4×42－4×4×3cosθ－3×32＝61，解得cosθ＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(2π,3).(2)由題意|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×3coseq\f(2π,3)＋9＝13，所以|a＋b|＝eq\r(13).19．解析：(1)f(α)＝eq\f(－2sinα·\r(sin2α－2sinα·cosα＋cos2α),tanα·\r(2·2cos2α))＝－eq\f(sinα·|sinα－cosα|,\f(sinα,cosα)·|cosα|)，∵0<α<eq\f(π,4)，sinα－cosα<0，cosα>0，∴f(α)＝－eq\f(sinα·（cosα－sinα）,\f(sinα,cosα)·cosα)＝sinα－cosα.(2)∵0<α<eq\f(π,4)，∴cosα>sinα>0，由sinα－cosα＝－eq\f(1,5)sin2α＋cos2α＝1，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(3,5),cosα＝\f(4,5)))，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(3,4),1－\f(9,16))＝eq\f(24,7).20．解析：(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝－eq\r(2)×[eq\f(\r(2),2)cos(ωx＋φ)－eq\f(\r(2),2)sin(ωx＋φ)]＝－eq\r(2)cos(ωx＋φ＋eq\f(π,4))，因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以φ＋eq\f(π,4)＝kπ(k∈Z)，解得φ＝－eq\f(π,4)＋kπ(k∈Z).又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,4)，所以f(x)＝－eq\r(2)cos(ωx)，由題意得eq\f(2π,ω)＝2×π，所以ω＝1，所以f(x)＝－eq\r(2)cosx，故f(eq\f(π,4))＝－eq\r(2)coseq\f(π,4)＝－1.(2)y＝eq\r(3)f(x)＋f(x＋eq\f(π,2))＝－eq\r(2)×[eq\r(3)cosx＋cos(x＋eq\f(π,2))]＝－2eq\r(2)×(eq\f(\r(3),2)cos