Page22廣東省潮州市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分100分，考試時間120分鐘.留意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考號填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；答案不能答在試卷上.3.非選擇題必需用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)運(yùn)用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必需保特答題卡的整齊?考試結(jié)束，將答題卡交回.一?選擇題（本題共12道小題，其中1至8小題為單項選擇題，9至12小題為多項選擇題）（一）單項選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意得到方程組，解出即可.【詳解】由題意得，解得或，故.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿意，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，即可得出答案.【詳解】，則，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選：A.3.某種心臟手術(shù)勝利率為0.7，現(xiàn)采納隨機(jī)模擬方法估計“3例心臟手術(shù)全部勝利”的概率.先利用計算器或計算機(jī)產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于勝利率是0.7，故我們用0?1?2表示手術(shù)不勝利，3?4?5?6?7?8?9表示手術(shù)勝利，再以每3個隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：856?832?519?621?271?989?730?537?925?907由此估計“3例心臟手術(shù)全部勝利”的概率為（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】B【解析】【分析】從隨機(jī)數(shù)中視察得出三個數(shù)都是大于2的組數(shù)，從而可得概率．【詳解】10組隨機(jī)數(shù)中，代表“3例心臟手術(shù)全部勝利”的有共3個，所以估計“3例心臟手術(shù)全部勝利”的概率為.故選：B.4.若，則（）A.4 B.8 C.80 D.3125【答案】C【解析】【分析】兩邊求導(dǎo)代入即可得到答案.【詳解】兩邊同時求導(dǎo)得．令，則故選：C．5.如圖是函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式可以為（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可推斷.【詳解】解：對于A：定義域?yàn)?，?dāng)時，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B：定義域?yàn)?，且，，所以，故B錯誤；對于C：定義域?yàn)?，又，所以?dāng)時，當(dāng)或時，即函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D：定義域?yàn)?，所以?dāng)或時，當(dāng)時，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意；故選：D6.正實(shí)數(shù)滿意，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)基本不等式“1”的妙用可得的最小值為4，再依據(jù)含參不等式恒成立解一元二次不等式，即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】正實(shí)數(shù)滿意，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，等號成立，則時，取到最小值4，要使不等式恒成立，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，且.則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，依據(jù)題意聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理求，進(jìn)而可求結(jié)果.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)F為，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去y得，則，∵，可得，聯(lián)立方程，解得，代入可得，解得或（舍去），可得，故的面積.故選：A.8.點(diǎn)，分別是棱長為的正方體中棱，的中點(diǎn)，動點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動，若面，則的長度的最小值是（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)F，連結(jié)，，，取EF中點(diǎn)O，連結(jié)，證明平面平面，從而得到P的軌跡是線段，則當(dāng)P與O重合時，的長度取最小，計算此時長度即可.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)F，連結(jié)，，，取EF中點(diǎn)O，連結(jié)，,∵點(diǎn)M，N分別是棱長為2的正方體中棱BC，的中點(diǎn)，，,，四邊形為平行四邊形，，而在平面中，易證，∵平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面，∴平面平面，∵動點(diǎn)P在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動，且平面AMN，∴點(diǎn)P的軌跡是線段EF，，，∴，∴當(dāng)P與O重合時，長度取最小值，故選：D．（二）多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，每小題有多個選項正確，每小題全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9.下列說法正確的是（）A.，當(dāng)不變時，越小，該正態(tài)分布對應(yīng)的正態(tài)密度曲線越扁平B.運(yùn)用最小二乘法得到的線性回來直線肯定經(jīng)過點(diǎn)C.相關(guān)系數(shù)r越大，y與x相關(guān)程度就越強(qiáng)D.利用進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時，的值越大，說明有更大的把握認(rèn)為兩事務(wù)有關(guān)系【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)正態(tài)曲線的幾何特征，推斷選項A；由回來直線方程的性質(zhì)，推斷選項B和C；【詳解】對于A，依據(jù)正態(tài)曲線的幾何特征，可知當(dāng)不變時，即越小，該正態(tài)分布對應(yīng)的正態(tài)密度曲線越瘦高，故A錯誤；對于B，運(yùn)用最小二乘法得到的線性回來直線－定經(jīng)過樣本中心，故B正確；對于C，線性相關(guān)系數(shù)肯定值越接近1，表明2個隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，故C錯誤；對于D，因?yàn)殡S機(jī)變量的觀測值越大，說明兩個變量有關(guān)系的可能性越大，即犯錯誤的概率越小，故D正確.故選：BD.10.設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列敘述正確的是（）A.的最小正周期為B.關(guān)于直線軸對稱C.在上的最小值為D.關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】C【解析】【分析】依據(jù)可求出，即可依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)依次推斷.【詳解】由條件知，，，，或.時，在上不單調(diào)遞減；，.對A，的最小正周期為，故A錯誤；對B，，故B錯誤‘；對C，當(dāng)時，，所以，所以，所以在上的最小值為，故C正確；對D，，關(guān)于點(diǎn)對稱，故D不正確.故選：C.11.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，記，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則曲線的離心率B.若以為圓心，為半徑作圓，則圓與的漸近線相切C.直線與雙曲線相切于一點(diǎn)D.若為直線上縱坐標(biāo)不為0的一點(diǎn)，則當(dāng)?shù)目v坐標(biāo)為時，外接圓的面積最小【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的離心率公式計算即可推斷A；求出圓心到漸近線的距離即可推斷B；依據(jù)直線與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系即可推斷C；利用正弦定理求出外接圓的半徑，由半徑最小確定的位置，即可推斷D.【詳解】對于A，若，則，則，故曲線的離心率，故A正確；對于B，曲線的漸近線為，，，以為圓心，為半徑的圓為，圓心到直線的距離為，圓心到直線的距離為，所以以為圓心，為半徑作圓，則圓與的漸近線相切，故B正確；對于C，因?yàn)橹本€與雙曲線的漸近線平行，所以直線與雙曲線相交，且交點(diǎn)只有一個，故C錯誤；對于D，由正弦定理可知外接圓的半徑，所以當(dāng)最大，即時，最小，而，設(shè)，由，可得，即，所以，所以，故D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，滿意，（為自然對數(shù)的底數(shù)），且，則（）A. B.C.在處取得微小值 D.無極大值【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)，對其求導(dǎo)可得，因此設(shè)，依據(jù)題意可得的解析式，對A：利用導(dǎo)數(shù)推斷的單調(diào)性分析推斷，對B、C、D：利用導(dǎo)數(shù)推斷的單調(diào)性分析推斷.【詳解】設(shè)，則，可設(shè)，則，解得，故，即，令，則，故在上單調(diào)遞增，∴，即，則，A錯誤；∵，令，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，在處取得微小值，無極大值，B、C、D均正確故選：BCD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）形式，聯(lián)想到；（2）形式，聯(lián)想到.二?填空題（本題共4小題?每小題5分，共20分）13.設(shè)是圓上的同點(diǎn).且.則______.【答案】6【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，再依據(jù)數(shù)量積的定義計算即可.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，則.故答案為：.14.在等比數(shù)列中，，記數(shù)列的前項和?前項積分別為，則的最大值是______.【答案】8【解析】【分析】結(jié)合題意求出數(shù)列的首項與公比，進(jìn)而求出前項和?前項積分別為，，然后表示出，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可推斷.【詳解】因?yàn)?，，所以公比，所以，所以，，，，因?yàn)?，所以或時，取最大值.故答案為：815.如圖，正四棱錐的每個頂點(diǎn)都在球M的球面上，側(cè)面是等邊三角形．若半球O的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個側(cè)面均相切，則半球O的半徑與球M的半徑的比值為_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，求得到四棱錐各個頂點(diǎn)的距離相等，說明為球的球心，分別求出半球與球的半徑，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，，取的中點(diǎn)，連接，，過作于，可知底面，設(shè)，則，，，，設(shè)球的半徑為，半球的半徑為，則，，在等邊三角形中，求得，由，所以，即半球的半徑為，所以，所以半球O的半徑與球M的半徑的比值為.故答案為：.16.定義在上的奇函數(shù)滿意，且當(dāng)時，，則函數(shù)的全部零點(diǎn)之和為______.【答案】18【解析】【分析】推斷出的對稱性、周期性，畫出與的圖象，結(jié)合圖象求得的全部零點(diǎn)之和.【詳解】∵滿意，則關(guān)于直線對稱，又∵是定義在上的奇函數(shù)，則，即，則，∴是以4為周期的周期函數(shù)，對，可得，則，∴關(guān)于點(diǎn)對稱，令，則，可知：與均關(guān)于點(diǎn)對稱，如圖所示：設(shè)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為，則，故函數(shù)的全部零點(diǎn)之和為.故答案為：18.三?解答題（本題共6道小題，第17題10分，第18-22題每小題12分，共70分）17.對于數(shù)列，若對隨意，都有成立，則稱數(shù)列為“有序減差數(shù)列”.設(shè)數(shù)列是遞減等比數(shù)列，其前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式，并推斷數(shù)列是否為“有序減差數(shù)列”；（2）設(shè)，求的值.【答案】（1），數(shù)列是否為“有序減差數(shù)列”（2）【解析】【分析】（1）由遞減等比數(shù)列得公比，即可求得，，由公式法寫出通項公式、，再由定義推斷“有序減差數(shù)列”；（2）化簡，分組求和即可.【小問1詳解】∵數(shù)列是遞減等比數(shù)列，∴數(shù)列的公比，又∵，∴.∴，∴，，∴，∴數(shù)列是“有序減差數(shù)列”；【小問2詳解】，則.18.在平面四邊形中，.（1）求的長；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）干脆利用余弦定理求解即可；（2）弦有三角形為銳角三角形求出角的范圍，在中，利用正弦定理將用角表示出來，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】在中，，由余弦定理可得，即，解得或；【小問2詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得，在中，因?yàn)?，所以，由，得，所以，所?19.在四棱錐中，底面四邊形是一個菱形，且，，，平面.（1）若是線段上的隨意一點(diǎn)，證明：平面平面；（2）當(dāng)時，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明過程見詳解（2）【解析】【分析】由四邊形是菱形得出，利用線面垂直得到，依據(jù)線面垂直的推斷和面面垂直的判定即可證明；(2)取的中點(diǎn)，連接，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)的坐標(biāo)，分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅问且粋€菱形，則，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，所以，因?yàn)?，則，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由題意可知：，，，，，因?yàn)?，則，設(shè)，則有，所以，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.20.核酸檢測是診斷新冠肺炎的重要依據(jù)，首先取病人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽擾子樣本里的遺傳物質(zhì)，假如有病毒，樣本檢測會呈現(xiàn)陽性，否則為陰性.依據(jù)統(tǒng)計發(fā)覺，疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為，現(xiàn)有4例疑似病例，分別對其取樣?檢測，多個樣本檢測時，既可以逐個化驗(yàn)，也可以將若干個樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會呈陽性，若混合樣本呈陽性，則將該組中備份的樣本再逐個化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個樣本均為陰性，無需再檢驗(yàn).現(xiàn)有以下三種方案：方案一：逐個化驗(yàn)；方案二：四個樣本混合一起化驗(yàn)；方案三：平均分成兩組，每組兩個樣本混合在一起，再分組化驗(yàn).在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測實(shí)力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.（1）若，現(xiàn)將該4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，請問：方案一?二?三中哪個最“優(yōu)”？（2）若對4例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，且想讓“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，求p的取值范圍.【答案】（1）方案一最優(yōu)（2）【解析】【分析】（1）求得三個方案的檢測次數(shù)的期望值，由此推斷出最優(yōu)的方案；（2）記方案二的檢測次數(shù)為，求出對于隨機(jī)變量的概率，從而求出數(shù)學(xué)期望，由方案二檢測次數(shù)的期望值，即可求得的取值范圍.【小問1詳解】方案二：記檢測次數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值為1，5，所以，，所以方案二檢測次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；方案三：每組兩個樣本檢測時，若呈陰性則檢測次數(shù)為1次，其概率為，若呈陽性則檢測次數(shù)3次，其概率為，設(shè)方案三的檢測次數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為2，4，6，所以，，，所以方案三檢測次數(shù)Y的期望為，因?yàn)?，所以方案一最?yōu)；【小問2詳解】方案二：記檢測次數(shù)為，則隨機(jī)變量的可能取值為1，5，所以，，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，由于“方案二”比“方案一”更“優(yōu)”，則，可得，即，解得，所以當(dāng)時，方案二比方案一更“優(yōu)”.21.已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，且的面積的最大值為2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線分別交軸于點(diǎn)，若成等比數(shù)列，求點(diǎn)的縱坐標(biāo).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通過的面積的最大值為2這三個條件，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由題意，設(shè)出，分別表示出對應(yīng)的式子，又因其構(gòu)成等比數(shù)列，即可求得的縱坐標(biāo)的值．【詳解】（1）由，可得，解得，又的面積的最大值為，所以.所以，橢圓C的方程為.（2）由題意知，點(diǎn)與點(diǎn)不重合，設(shè)，則直線的方程為，令，得，同