第七章綜合檢測

時間：120分鐘分值：150分

第I卷(選擇題，共60分)

一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的)

1.下列說法正確的是(D)

A.甲、乙二人比賽，甲勝的概率為*則比賽5場，甲勝3場

B.某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%,前9個病人沒有治愈，則第10個病人一定治愈

C.隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等

D.天氣預(yù)報中，預(yù)報明天降水概率為90%,是指降水的可能性是90%

解析：由概率的意義知D正確.

2.有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個方向前進(jìn)，

每人一個方向.事件“甲向南”與事件“乙向南”是(A)

A.互斥但非對立事件B.對立事件

C.相互獨(dú)立事件D.以上都不對

解析：由于每人一個方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故是

互斥事件，但不是對立事件.

11Q

3.設(shè)事件A,B,已知P(A)=5，P(B)=yP(AU3)=E，則A,8之間的關(guān)系一定為(B)

A.兩個任意事件B,互斥事件

C.非互斥事件D.對立事件

IIg

解析：因?yàn)镻(A)+P(8)=5+y=y^=P(AU8),所以A,8之間的關(guān)系一定為互斥事件.

4.擲一個骰子的試驗(yàn)，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，若

方表示3的對立事件，則一次試驗(yàn)中，事件AU萬發(fā)生的概率為(C)

A3B2C3D6

解析：擲一個骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果.

2I4?

依題意P(A)=d=Q,P(8)=%=,

——21

：.P(?)=1一。(8)=I~^=y

————I12

B表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件，因此事件A與3互斥，從而尸(AUB)=P(A)+P(3)=§+§=).

5.甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績?nèi)缦拢杭祝?8.89.90,91,92,乙：83,83,87,9,99,其中乙的一

個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是(C)

2749

A5BT0C5D10

解析：設(shè)被污損的數(shù)字為x,則

；T=；X(88+89+90+91+92)=90,

(83+83+87+99+90+x),

若則x=8.

——84

若一＞尤乙,則X可以為0,1,2,3,4,567,故所求概率為而=小

6.齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的

下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比

賽，則田忌的馬獲勝的概率為(A)

A|B-4C5D6

解析：分別用A,B,。表示齊王的上、中、下等馬，用a,b,c表示田忌的上、中、下等馬，現(xiàn)從雙

方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽有Ab,Ac,Ba,Bb,Be,Ca,Cb,Cc共9場比賽，其中田忌馬

獲勝的有Ba,Ca,C〃共3場比賽，所以田忌馬獲勝的概率為去

7.甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個，被乙、丙、丁三人搶完.若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每

人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“最佳手氣”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是(D)

3132

A-4B3CIOD5

解析：6元分成空數(shù)元有3份，可能性有(1,1,4),(123),(222),第一個分法有3種，第二個分法有6

種，第三個分法有1種，其中符合“最佳手氣”的有4種，故概率為

8.某電視臺的夏日水上闖關(guān)節(jié)目中的前四關(guān)的過關(guān)率分別為5本*4:3，去1只有通過前一關(guān)才能進(jìn)入下

一關(guān)，其中，第三關(guān)有兩次闖關(guān)機(jī)會，且通過每關(guān)相互獨(dú)立.一選手參加該節(jié)目，則該選手能進(jìn)入第四關(guān)

的概率為(D)

A太B.|噫D最

5432

解析：第一種情況：該選手通過前三關(guān)，進(jìn)入第四關(guān)，所以/>>==6X5X5=5>第二種情況：該選手通

過前兩關(guān)，第三關(guān)沒有通過，再來一次通過，進(jìn)入第四關(guān)，所以尸2=京樹1一,卜]=攝.所以該選手能進(jìn)

2414

入第四關(guān)的概，率為§+毛=石.故選D.

二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)

9.若干個人站成排，其中不是互斥事件的是(BCD)

A.“甲站排頭”與“乙站排頭”

B.“甲站排頭”與“乙不站排尾”

C.“甲站排頭"與''乙站排尾”

D.“甲不站排頭”與“乙不站排尾”

解析：排頭只能有一人，因此''甲站排頭”與“乙站排頭”互斥，而B,C,D中，甲、乙站位不一定

在同一位置，可以同時發(fā)生，因此它們都不互斥.故選BCD.

10.在一個古典概型中，若兩個不同的隨機(jī)事件A,8發(fā)生的概率相等，則稱A和8是“等概率事件”，

如：隨機(jī)拋擲一個骰子?次，事件"點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”和“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”是“等概率事件”.關(guān)于“等概率事

件”，以下判斷正確的是(AD)

A.在同一個古典概型中，所有的樣本點(diǎn)之間都是“等概率事件”

B.若一個古典概型的事件總數(shù)大于2,則在這個古典概型中除樣本點(diǎn)外沒有其他”等概率事件”

C.因?yàn)樗斜厝皇录母怕识际?,所以任意兩個必然事件都是“等概率事件”

D.同時拋擲三枚硬幣一次，則事件“僅有一個正面”和“僅有兩個正面”是“等概率事件”

解析：對于A,由古典概型的定義知，所有樣本點(diǎn)的概率都相等，故所有樣本點(diǎn)之間都是“等概率事

件”，故A正確；對于B,如在135,7,9五個數(shù)中，任取兩個數(shù)，所得和為8和10這兩個事件發(fā)生的概率

相等，故B錯誤：對于C,由題可知"等概率事件”是針對同一個古典概型的，故C不正確：對于D,同

3

時拋擲三枚硬幣一次，共有8種不同的結(jié)果，其中“僅有一個正面”包含3種結(jié)果，其概率為已”僅有兩

O

個正面”包含3種結(jié)果，其概率為看故這兩個事件是“等概率事件”，故D正確.故選AD.

O

11.利用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余

為不合格品，現(xiàn)在這個工廠隨機(jī)抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件4為“是一等品”，8為“是合格品”，C為“是不

合格品”，則下列結(jié)果正確的是(ABC)

A.戶(3)=代B.P(AUB)=-^

C.0(AC8)=0D.P(AUB)=P(O

解析：由題意知A,B,C為互斥事件，故C正確：又因?yàn)閺?00件中抽取產(chǎn)品符合古典柳型的條件，

所以P(8)[,P(A)=看，尸(。=忘，則尸(AU/?)*,故A,B正確；顯然，P(AU8)#P(C),故D錯誤.故

選ABC.

12.下列對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是(AC)

A.某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率

都是看那么該生在上學(xué)路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率蜴

B.已知集合4={234,5,6,7),8=(2,3,6,9},在集合AUB中任取一個元素，則該元素是集合AC3中

3

的元素的概率為年

C.甲袋中有8個門球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中各任取?個球，則取到同

色球的概率環(huán)

D.設(shè)兩個獨(dú)立事件A和8都不發(fā)生的概率為小A發(fā)生5不發(fā)生的概率與8發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，

則事件A發(fā)生的概率是楙

解析：對于A,該學(xué)生在第3個路口首次遇到紅燈的情況為前2個路口不是紅燈，第3個路口是紅燈，

所以概率為故A正確；對于B,因?yàn)锳U8={2,3,4,5,679},AC8={2,3,6},所以由古典

概型的概率公式得，所求的概率是加故B錯誤；對于C,設(shè)“從甲袋中取到白球”為事件A,則P(A)=自

=|,設(shè)“從乙袋中取到白球”為事件8,則尸(5)=W故取到同色球的概率為|x：+(X；=；,故C正

確；對于D,易得P(AC_F)=P(BCT),即P(A)P(下)=P(8)P(X),即P(A)[1-P(8)]=P(8)[1-P(A)],:.

——1——I2

P(A)=P(B),又P(A08)=5，，P(A)=尸(8)=),：,P(A)=y故D錯誤.故選AC.

第II卷(非選擇題，共90分)

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.傳說古時候有一個農(nóng)夫正在田間干活，忽然發(fā)現(xiàn)一只兔子撞死在地頭的木樁上，他喜出望外，于

是拾起兔了?回家了，第二天他就蹲在木樁旁守候，就這樣日復(fù)一日，年復(fù)?年，但再也沒有等著撞死在木

樁上的兔子，原因是兔子撞死在木樁上是隨機(jī)事件，可能不發(fā)生.

14.將一個各個面上均涂有紅漆的正方體鋸成27個大小相同的小正方體，從這些小正方體中任取一個，

其中恰有2面涂有紅漆的概率是出

解析：在27個小正方體中，有8個(8個頂點(diǎn)上)三面涂漆；12個(在12條棱上，每條棱上I個)兩面涂

漆：6個(在6個面上，每個面上1個)一面涂漆；1個(中心)各面都不涂漆.??.所求概率為苗=§.

15.根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)脫貧”的要求，石嘴山市農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派甲、乙、丙3位專家對大武口、

惠農(nóng)2個區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個區(qū)至少派1位專家，則甲、乙兩位專家派遣至惠農(nóng)區(qū)的概率為去

解析：依題意樣本空間0={(甲，乙丙)，(乙，甲丙)，(丙，甲乙)，(甲乙，丙)，(甲丙，乙)，(乙丙.

甲)(其中前面的表示派往大武口區(qū)調(diào)研的專家，后面的表示派往惠農(nóng)區(qū)調(diào)研的專家)},共6個樣本點(diǎn)，甲、

乙兩位專家派遣至惠農(nóng)區(qū)的有(丙，甲乙)，共1個樣本點(diǎn)，因此，所求的事件的概率為看

16.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是0.3,甲獲勝的概率是0.2,乙不輸?shù)母怕蕿椤?

解析：由于一局棋要么甲獲勝，要么乙獲勝，要么兩人和拱，因此乙獲勝的概率為1—0.3—0.2=0.5,

乙不輸?shù)母怕蕿?.5+0.3=0.8(或1-0.2).

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)現(xiàn)有8名馬拉松比賽志愿者，其中志愿者4,4,4通曉日語，Bi，氏，&通曉俄語，G，

C2通曉英語，從中選出通曉日語、俄語和英語的志愿者各1名，組成一個小組.

(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；

(2)求Ai被選中的概率；

(3)求Bi和Ci不全被選中的概率.

解：(1)由題意得該試臉的樣本空間Q={(Ai,Ci),(Ai,B\,Ci),(Ai,Bi,C),(Ai,&,C2),(Ai,

Bi,G),(Ai,Cz),(A2,Bi,Ci),(A2,B\,C2),(A2,Bi,G),(A2,&,C2),(Az,83,Ci),(A2,B3,

C2),(A3,Bi,Ci),(A3,Bi,C2),(A3,Bi,G),(4,82,C2),(A3,&,G),(4,83,Ci)],共18個樣

本點(diǎn).

(2)由于每個樣本點(diǎn)被選中的機(jī)會相等，

??.這些樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，用M表示“4被選中"，則河={(4,Bi,G),(4,Bi,C2),(4,

82,Ci),(AI,&,C2),(Ai,83,Ci),(Ai,&,Q)},含有6個樣本點(diǎn)，

,\A\被選中的概率P(A/)=A=1.

IOJ

(3)用N表示和Ci不全被選中“，則R表示“5和Ci全被選中"，vW={(Ai,Bi,Ci),(A2,

35

Bi,Ci),(A3,Bi,Ci))t含有3個樣本點(diǎn)，和G不全被選中的概率P(N)=l-*=[

18.(12分)某種電路開關(guān)閉合后，會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃動，已知開關(guān)第?次閉合后，出現(xiàn)紅燈和出現(xiàn)

綠燈的概率都是去從開關(guān)第二次閉合起，若前次出現(xiàn)紅燈，則下一次出現(xiàn)紅燈的概率是:，出現(xiàn)綠燈的概率

是多若前次出現(xiàn)綠燈，則下?次出現(xiàn)紅燈的概率是吉出現(xiàn)綠燈的概率是緘：

(1)第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率；

(2)三次發(fā)光中，出現(xiàn)?次紅燈，兩次綠燈的概率.

解：(1)如果第一次出現(xiàn)紅燈，則接著又出現(xiàn)紅燈記為事件A,則。(4)=9；=q：

133

如果第一次出現(xiàn)綠燈，則接著出現(xiàn)紅燈記為事件則尸(8)=]乂5=行.

以上兩種情況彼此互斥，所以第二次出現(xiàn)紅燈的概率為P(A+3)=P(A)+P(8)=W^=X.

(2)依題意，三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的情況共有3種，它們的概率為

1233

①出現(xiàn)綠燈、綠燈、紅燈時的概率為]乂5乂$=行；

_1321

②出現(xiàn)綠燈、紅燈、綠燈時的概率為*xgx，?

1222

③出現(xiàn)紅燈、綠燈、綠燈時的概率為/乂耳乂5=謳.

以上3種情況彼此互斥，所以三次發(fā)光中，出現(xiàn)一次紅燈、兩次綠燈的概率為表+上+1=得

19.(12分)某客戶考察了一款熱銷的凈水器，使用壽命為十年，該款凈水器為三級過濾，每一級過濾

都由核心部件濾芯來實(shí)現(xiàn).在使用過程中，一級濾芯需要不定期更換，其中每更換3個一級濾芯就需要更

換1個二級濾芯，三級濾芯無需更換.其中一級濾芯每個200元，二級濾芯每個400元.記一臺凈水器在

使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯的個數(shù)構(gòu)成的集合為例.如圖是根據(jù)100臺該款凈水器在十年使用期內(nèi)更換的

一級濾芯的個數(shù)制成的柱狀圖.

(1)結(jié)合柱狀圖，寫出集合

(2)根據(jù)以上信息，求出一臺凈水器在使用期內(nèi)更換二級濾芯的費(fèi)用大于1200元的概率(以100臺凈水

器更換二級濾芯的頻率代替1臺凈水器更換二級濾芯發(fā)生的概率)；

(3)若在購買凈水器的同時購買濾芯，則濾芯可享受5折優(yōu)惠(使用過程中如需再購買無優(yōu)惠).假設(shè)上述

100臺凈水器在購機(jī)的同時，每臺均購買a個一級濾芯、〃個二級濾芯作為備用濾芯(其中〃￡M,a+Z>=14),

計(jì)算這100臺凈水器在使用期內(nèi)購買濾芯所需總費(fèi)用的平均數(shù).并以此作為決策依據(jù)，如果客戶購買凈水

器的同時購買備用濾芯的總數(shù)也為14個，則其中一級濾芯和二級濾芯的個數(shù)應(yīng)分別是多少？

解：(1)由題意可知，當(dāng)一級濾芯更換9,10,11個時，二級濾芯需要更換3個，

當(dāng)一級濾芯更換12個時，二級濾芯需要更換4個，所以M={3,4}.

(2)由題意可知，二級濾芯更換3個，需1200元，二級濾芯更換4個，需1600元，在100臺凈水器中，

二級濾芯需要更換3個的凈水器共70臺，二級濾芯需要更換4個的凈水器共30臺，

3()

設(shè)，，一臺凈水器在使用期內(nèi)更換二級濾芯的費(fèi)用大于1200元”為事件A,則2A)=瑞=0.3.

(3)因?yàn)閍+0=14,b￡M,

①若。=10,b=4,

則這100臺凈水器在更換濾芯上所需費(fèi)用的平均數(shù)為

[100X10X30+(100X10+200)X40+(100X10+400)X30+200X4X100]/100=2000:

②若a=ll,6=3,

則這10()臺凈水器在更換濾芯上所需費(fèi)用的平均數(shù)為

[100X11X704-(100X11+200)X30+200X3X70+(200X34-4(X))X301/10()=1880,

所以如果客戶購買凈水器的同時購買備用濾芯的總數(shù)為14個，客戶應(yīng)該購買一級濾芯11個，二級謔

芯3個.

20.(12分)下面是某市2月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖及空氣質(zhì)量指數(shù)與污染程度對應(yīng)表.某

人隨機(jī)選擇2月1日至2月13日中的某一天到該市出差，第二天返回(往返共兩天).

空氣質(zhì)量指數(shù)污染程度

小于100優(yōu)良

大于100且小于150輕度

大于150且小于200中度

大于200且小于300重度

大于300且小于500嚴(yán)重

大于500爆表

(1)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(只寫出結(jié)論，不要求證明)

(2)求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率：

(3)求此人出差期間(兩天)空氣質(zhì)量至少有一天為中度或重度污染的概率.

解：(1)從2月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大.

⑵設(shè)4表示事件“此人于2月i日到達(dá)該市"(i=l,2,…，13).

根據(jù)題意，尸(4)==，且4nA/=0(i壬/,y=1,2,13).

設(shè)8為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣優(yōu)良”，則8=A]U42UA3U4UAi2UA]3.

所以P(B)=P(AIUA2UA3UA7UAI2UAB)=-^.

(3)設(shè)“此人出差期間空氣質(zhì)量至少有一天為中度或重度污染”為事件A,即“此人出差期間空氣質(zhì)量

指數(shù)至少有一天大于150,小于300”，

由題意可知，P(A)=P(AAUA5UAGUA7UAsUA9UAIOUAIi)=P(A4)+P(As)+P(AG)+P(A7)+P(X8)+P(A9)

8

+P(Aio)+P(Aii)=m

21.(12分)在某親子游戲結(jié)束時有一項(xiàng)抽獎活動，抽獎規(guī)則是：盒子里面共有4個小球，小球上分別

寫有0,123的數(shù)字，小球除數(shù)字外其他完全相同，每對親子中，家長先從盒子中取出一個小球，記下數(shù)字

后將小球放回，孩子再從盒子中取出一個小球，記下小球上數(shù)字將小球放回.①若取出的兩個小球上數(shù)字

之積大于4,則獎勵E機(jī)玩具一個；②若取出的兩個小球上數(shù)字之積在區(qū)間［1,4］上，則獎勵汽車玩具?個；

③若取出的兩個小球上數(shù)字之積小于1,則獎勵飲料一瓶.

(1)求每對親子獲得E機(jī)玩具的概率；

(2)試比較每對親子獲得汽車玩具與獲得飲料的概率，哪個更大？請說明理由.

解：⑴樣本空間0={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2).(2,3),

(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)),共16個樣本點(diǎn).

記“獲得飛機(jī)玩具”為事件A,包含的樣本點(diǎn)為(2,3),(3,2),(3,3),共3個，故每對親子獲得飛機(jī)玩具

3

的概率為P(A)=yg.

(2)記''獲得汽車玩具”為事件8,記''獲得飲料”為事件C

事件5包含的樣本點(diǎn)有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6個.

637

??.P(3)=M=W，P(C)=1—P(4)-P(B)=布.

即每對親子獲得飲料的概率大于獲得汽車玩具的概■率.

22.(12分)某市政府為減輕汽車尾氣對大氣的污染，保衛(wèi)藍(lán)天，鼓勵廣大市民使用電動