第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用[例1]在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.[自主解答]選擇，作為平面向量的一組基底，則＝＋，＝eq\f(1,2)＋，＝＋eq\f(1,2)，又＝λ＋μ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3).))故λ＋μ＝eq\f(4,3).[答案]eq\f(4,3)【互動(dòng)探究】在本例條件下，若＝c，＝d，試用c，d表示，.解：設(shè)＝a，＝b，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為CD和BC的中點(diǎn)，所以＝eq\f(1,2)b，＝eq\f(1,2)a，于是有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a，,d＝a＋\f(1,2)b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)2d－c，,b＝\f(2,3)2c－d.))即＝eq\f(2,3)(2d－c)＝eq\f(4,3)d－eq\f(2,3)c，＝eq\f(2,3)(2c－d)＝eq\f(4,3)c－eq\f(2,3)d.【方法規(guī)律】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的．如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點(diǎn)H，M為AH的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________.解析：因?yàn)锳B＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1，BH＝eq\f(1,3)BC.因?yàn)辄c(diǎn)M為AH的中點(diǎn)，所以＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)，即λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,6)，所以λ＋μ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算[例2]已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.求：(1)3a＋b－3(2)滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)．[自主解答]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M的坐標(biāo)為(0,20)．又＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N的坐標(biāo)為(9,2)．故＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．【方法規(guī)律】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用．已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(4,2)，B(5,7)，C(－3，4)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．解：設(shè)頂點(diǎn)D(x，y)．若平行四邊形為ABCD.則由＝(1,5)，＝(－3－x,4－y)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3－x＝1，,4－y＝5，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－1；))若平行四邊形為ACBD，則由＝(－7,2)，＝(5－x，7－y)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x＝－7，,7－y＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝5；))若平行四邊形為ABDC，則由＝(1,5)，＝(x＋3，y－4)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝1，,y－4＝5，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝9.))綜上所述，第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－4，－1)或(12,5)或(－2,9).高頻考點(diǎn)考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示1．平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的常考內(nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬容易題．2．高考對(duì)平面向量共線的坐標(biāo)表示的考查主要有以下幾個(gè)命題角度：(1)利用兩向量共線求參數(shù)；(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)；(3)三點(diǎn)共線問題．[例3](1)(·陜西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實(shí)數(shù)m等于()A．－eq\r(2)B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2)D．0(2)(·湖南高考)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為________．(3)(·東營(yíng)模擬)若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值等于________．[自主解答](1)因?yàn)閍∥b，所以m2＝2，解得m＝－eq\r(2)或m＝eq\r(2).(2)∵a與b方向相反，∴可設(shè)a＝λb(λ<0)，∴a＝λ(2，1)＝(2λ，λ)．由|a|＝eq\r(5λ2)＝2eq\r(5)，解得λ＝－2，或λ＝2(舍)，故a＝(－4，－2)．(3)＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).[答案](1)C(2)(－4，－2)(3)eq\f(1,2)平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三點(diǎn)共線問題．A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于與共線．1．(·遼寧高考)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))解析：選A∵A(1,3)，B(4，－1)，∴＝(3，－4)，又∵||＝5，∴與同向的單位向量為＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).2．已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.解析：由題意知a＋b＝(m－1，－3)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c，得(－3)×(－1)－(m－1)×2＝0，即2(m－1)＝3，故m＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)3．已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．解析：法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由與共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以＝eq\f(3,4)＝(3,3)，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3)．法二：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則＝(x，y)，因?yàn)椋?4,4)，且與共線，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y(tǒng).又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3)．答案：(3,3)———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————1個(gè)區(qū)別——向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a＝＝(x，y)．2種形式——向量共線的充要條件的兩種形式(1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b?x1y2－x2y1＝0