人教版數(shù)學八年級下冊十七章《勾股定理》測試卷3份含答案第十七章卷（1）一、選擇題1．下列各組數(shù)中，以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)=1.5，b=2，c=3 B．a(chǎn)=7，b=24，c=25C．a(chǎn)=6，b=8，c=10 D．a(chǎn)=3，b=4，c=52．已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或253．正方形的面積是4，則它的對角線長是（）A．2 B． C． D．44．如果直角三角形兩直角邊為5：12，則斜邊上的高與斜邊的比為（）A．60：13 B．5：12 C．12：13 D．60：1695．如圖，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，則AC等于（）A．6 B． C． D．46．已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里7．三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是（）A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形8．如圖，將一個邊長分別為4，8的長方形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合，則BE的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題9．在直角三角形中，若兩直角邊的長分別為1cm，2cm，則斜邊長為．10．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，則AB2+AC2+BC2=．11．正方形的對角線為4，則它的邊長AB=．12．直角三角形有一條直角邊為6，另兩條邊長是連續(xù)偶數(shù)，則該三角形周長為．13．如圖，一根樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處．樹折斷之前有米．三、解答題14．如圖是由16個邊長為1的小正方形拼成的，任意連接這些小正方形的若干個頂點，可得到一些線段，試分別畫出一條長度是有理數(shù)的線段和一條長度是無理數(shù)的線段，并寫出這兩條線段的長度．15．如圖：帶陰影部分的半圓的面積是多少？（π取3）16．如圖，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，試判斷△ABD的形狀，并說明理由．17．在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)已知c=25，b=15，求a；(2)已知a=，∠A=60°，求b、c．18．有一只小鳥在一棵高4m的小樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高20m的一棵大樹的樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以4m/s的速度飛向大樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達大樹和伙伴在一起？19．如圖所示，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四邊形ABCD的面積．20．如圖，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為0.5米，求梯子頂端A下落了多少米？答案1．下列各組數(shù)中，以a，b，c為邊的三角形不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)=1.5，b=2，c=3 B．a(chǎn)=7，b=24，c=25C．a(chǎn)=6，b=8，c=10 D．a(chǎn)=3，b=4，c=5【考點】勾股定理的逆定理．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形．【解答】解：A、∵1.52+22≠32，∴該三角形不是直角三角形，故A選項符合題意；B、∵72+242=252，∴該三角形是直角三角形，故B選項不符合題意；C、∵62+82=102，∴該三角形是直角三角形，故C選項不符合題意；D、∵32+42=52，∴該三角形不是直角三角形，故D選項不符合題意．故選A．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷．2．已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或25【考點】勾股定理的逆定理．【專題】選擇題．【分析】已知的這兩條邊可以為直角邊，也可以是一條直角邊一條斜邊，從而分兩種情況進行討論解答．【解答】解：分兩種情況：(1)3、4都為直角邊，由勾股定理得，斜邊為5；(2)3為直角邊，4為斜邊，由勾股定理得，直角邊為．∴第三邊長的平方是25或7，故選D．【點評】本題利用了分類討論思想，是數(shù)學中常用的一種解題方法．3．正方形的面積是4，則它的對角線長是（）A．2 B． C． D．4【考點】勾股定理．【專題】選擇題．【分析】設(shè)正方形的對角線為x，然后根據(jù)勾股定理列式計算即可得解．【解答】解：設(shè)正方形的對角線為x，∵正方形的面積是4，∴邊長的平方為4，∴由勾股定理得，x==2．故選C．【點評】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟記定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如果直角三角形兩直角邊為5：12，則斜邊上的高與斜邊的比為（）A．60：13 B．5：12 C．12：13 D．60：169【考點】勾股定理．【專題】選擇題．【分析】可在直角三角形中，用勾股定理求出斜邊的長，然后根據(jù)三角形面積的不同表示方法，求出斜邊上的高．進而可得出斜邊與斜邊上的高的比例關(guān)系．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5k，BC=12k，根據(jù)勾股定理有：AB==13k，∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴CD==，∴AB：CD=13：=169：60，即斜邊上的高與斜邊的比=60：169，故選D．【點評】本題考查了勾股定理得運用，能夠根據(jù)已知條件結(jié)合勾股定理求出直角三角形的三邊．特別注意結(jié)論：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．此結(jié)論在計算中運用可以簡便計算．5．如圖，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，則AC等于（）A．6 B． C． D．4【考點】勾股定理．【專題】選擇題．【分析】利用兩次勾股定理即可解答．【解答】解：∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90°∵AB=3，BD=2，∴AD==∵DC=1∴AC==．故選B．【點評】本題需先求出AD長，利用了兩次勾股定理進行推理計算．6．已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里【考點】勾股定理的應(yīng)用；方向角．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程=速度×時間，得兩條船分別走了32，24．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【解答】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴∠BAC=90°，兩小時后，兩艘船分別行駛了16×2=32海里，12×2=24海里，根據(jù)勾股定理得：=40（海里）．故選D．【點評】熟練運用勾股定理進行計算，基礎(chǔ)知識，比較簡單．7．三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是（）A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形【考點】勾股定理的逆定理．【專題】選擇題．【分析】對等式進行整理，再判斷其形狀．【解答】解：化簡（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故選C．【點評】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．8．如圖，將一個邊長分別為4，8的長方形紙片ABCD折疊，使C點與A點重合，則BE的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AE=CE，設(shè)BE=x，然后表示出AE，再利用勾股定理列出方程進行計算即可得解．【解答】解：根據(jù)翻折的性質(zhì)得，AE=CE，設(shè)BE=x，∵長方形ABCD的長為8，∴AE=CE=8﹣x，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，AE2=AB2+BE2，即（8﹣x）2=42+x2，解得x=3，所以，BE的長為3．故選A．【點評】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記翻折前后對應(yīng)線段相等，然后用BE的長度表示出AE是解題的關(guān)鍵．9．在直角三角形中，若兩直角邊的長分別為1cm，2cm，則斜邊長為．【考點】勾股定理．【專題】填空題．【分析】由已知直角三角形的兩直角邊，利用勾股定理即可求出斜邊的長．【解答】解：∵在直角三角形中，兩直角邊的長分別為：a=1cm，b=2cm，∴根據(jù)勾股定理得：斜邊長c===cm．故答案為：cm．【點評】此題考查了勾股定理的運用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．10．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，則AB2+AC2+BC2=．【考點】勾股定理．【專題】填空題．【分析】根據(jù)勾股定理可得AB2=AC2+BC2，然后代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【解答】解：∵∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2，∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×52=2×25=50．故答案為：50．【點評】本題考查了勾股定理，是基礎(chǔ)題，熟記定理是解題的關(guān)鍵．11．正方形的對角線為4，則它的邊長AB=．【考點】勾股定理．【專題】填空題．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)利用勾股定理可求出其邊長．【解答】解：設(shè)正方形的邊長為x，則x2+x2=42得：x=．故答案為2．【點評】此題考查勾股定理的運用．12．直角三角形有一條直角邊為6，另兩條邊長是連續(xù)偶數(shù)，則該三角形周長為．【考點】勾股定理．【專題】填空題．【分析】先根據(jù)題意設(shè)出另外兩直角邊的長，再根據(jù)勾股定理列方程解答即可．【解答】解：∵兩條邊長是連續(xù)偶數(shù)，可設(shè)另一直角邊為x，則斜邊為（x+2），根據(jù)勾股定理得：（x+2）2﹣x2=62，解得x=8，∴x+2=10，∴周長為：6+8+10=24．故答案為24【點評】本題主要考查了勾股定理的知識，需注意連續(xù)偶數(shù)應(yīng)相隔2個數(shù)，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用．13．如圖，一根樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處．樹折斷之前有米．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】填空題．【分析】根據(jù)勾股定理，計算樹的折斷部分是15米，則折斷前樹的高度是15+9=24米．【解答】解：因為AB=9米，AC=12米，根據(jù)勾股定理得BC==15米，于是折斷前樹的高度是15+9=24米．故答案為：24．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練運用勾股定理進行計算，是基礎(chǔ)知識，比較簡單．14．如圖是由16個邊長為1的小正方形拼成的，任意連接這些小正方形的若干個頂點，可得到一些線段，試分別畫出一條長度是有理數(shù)的線段和一條長度是無理數(shù)的線段，并寫出這兩條線段的長度．【考點】作長為n（n為正整數(shù)）的線段．【專題】解答題．【分析】連接AB，根據(jù)勾股定理，AB==2．故AB長度是無理數(shù)；根據(jù)勾股定理，CD==5．故CD的長度是有理數(shù)．【解答】解：表示無理數(shù)的線段AB，表示有理數(shù)的線段CD．∵△ABE是直角三角形，∴AB==2，同理，CD═CD==5，故答案為：表示無理數(shù)的線段AB，表示有理數(shù)的線段CD【點評】本題考查了無理數(shù)、有理數(shù)和勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．15．如圖：帶陰影部分的半圓的面積是多少？（π取3）【考點】勾股定理．【專題】解答題．【分析】首先利用勾股定理得出斜邊長，進而利用圓的面積公式得出答案．【解答】解：由題意可得：半圓的直徑為：=10，則陰影部分的半圓的面積是：π×52=×3×25=．【點評】此題主要考查了勾股定理以及圓的面積求法，正確掌握圓的面積公式是解題關(guān)鍵．16．如圖，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，試判斷△ABD的形狀，并說明理由．【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理．【專題】解答題．【分析】先在△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AB2的值，再在△ABD中根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷出AD⊥AB，即可得到△ABD為直角三角形．【解答】解：△ABD為直角三角形．理由如下：∵在△ABC中，∠C=90°，∴AB2=CB2+AC2=42+32=52，∴在△ABD中，AB2+AD2=52+122=132，∴AB2+AD2=BD2，∴△ABD為直角三角形．【點評】本題考查勾股定理與其逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．17．在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)已知c=25，b=15，求a；(2)已知a=，∠A=60°，求b、c．【考點】勾股定理．【專題】解答題．【分析】(1)根據(jù)勾股定理即可直接求出a的值；(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)與勾股定理即可求出b、c的值．【解答】解：(1)根據(jù)勾股定理可得：a==20；(2)∵△ABC為Rt△，∠A=60°，∴∠B=30°，∴c=2b，根據(jù)勾股定理可得：a2+b2=c2，即6+b2=（2b）2，解得b=，則c=2．【點評】考查綜合應(yīng)用勾股定理、直角三角形性質(zhì)，進行邏輯推理能力和運算能力．18．有一只小鳥在一棵高4m的小樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高20m的一棵大樹的樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以4m/s的速度飛向大樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達大樹和伙伴在一起？【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】解答題．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，只需求得AB的長．根據(jù)已知條件，得BC=12，AC=20﹣4=16，再根據(jù)勾股定理就可求解．【解答】解：如圖所示，根據(jù)題意，得AC=20﹣4=16，BC=12．根據(jù)勾股定理，得AB=20．則小鳥所用的時間是20÷4=5（s）．【點評】此題主要是勾股定理的運用．注意：時間=路程÷速度．19．如圖所示，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四邊形ABCD的面積．【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理．【專題】解答題．【分析】連接BD，根據(jù)已知分別求得△ABD的面積與△BDC的面積，即可求四邊形ABCD的面積．【解答】解：連接BD，∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°∴BD=5cm，S△ABD=×3×4=6cm2又∵BD=5cm，BC=13cm，CD=12cm∴BD2+CD2=BC2∴∠BDC=90°∴S△BDC=×5×12=30cm2∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC=6+30=36cm2．【點評】此題主要考查勾股定理和逆定理的應(yīng)用，還涉及了三角形的面積計算．連接BD，是關(guān)鍵的一步．20．如圖，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為0.5米，求梯子頂端A下落了多少米？【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】解答題．【分析】在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：AC=2米，由于梯子的長度不變，在直角三角形CDE中，根據(jù)勾股定理得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的頂端下滑了0.5米．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，故AC===2米，在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，故EC===1.5米，故AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．【點評】本題主要考查了勾股定理的實際應(yīng)用，此題中主要注意梯子的長度不變，分別運用勾股定理求得AC和CE的長，即可計算下滑的長度．第十七章卷（2）一、選擇題1．一直角三角形的斜邊長比一直角邊長大2，另一直角邊長為6，則斜邊長為（）A．4 B．8 C．10 D．122．小豐的媽媽買了一部29英寸（74cm）的電視機，下列對29英寸的說法中正確的是（）A．小豐認為指的是屏幕的長度B．小豐的媽媽認為指的是屏幕的寬度C．小豐的爸爸認為指的是屏幕的周長D．售貨員認為指的是屏幕對角線的長度3．如圖中字母A所代表的正方形的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．644．一直角三角形的一條直角邊長是7cm，另一條直角邊與斜邊長的和是49cm，則斜邊的長（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm5．適合下列條件的△ABC中，直角三角形的個數(shù)為（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形7．直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊乘積的2倍，這個三角形有一個銳角是（）A．15° B．30° C．45° D．60°8．已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm29．已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里二、填空題10．利用圖(1)或圖(2)兩個圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學中一個十分著名的定理，這個定理稱為，該定理的結(jié)論其數(shù)學表達式是．11．如圖，等腰△ABC的底邊BC為16，底邊上的高AD為6，則腰長AB的長為．12．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B200m，結(jié)果他在水中實際游了520m，求該河流的寬度為m．13．小華和小紅都從同一點O出發(fā)，小華向北走了9米到A點，小紅向東走了12米到了B點，則AB為米．14．一個三角形三邊滿足（a+b）2﹣c2=2ab，則這個三角形是三角形．15．木工做一個長方形桌面，量得桌面的長為60cm，寬為32cm，對角線為68cm，這個桌面（填”合格”或”不合格”）．16．直角三角形一直角邊為12cm，斜邊長為13cm，則它的面積為cm2．17．如圖，一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20、3、2，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是．三、解答題18．如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路程是多少米（先畫出示意圖，然后再求解）．19．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC2的值．20．小明的叔叔家承包了一個矩形魚池，已知其面積為48m2，其對角線長為10m，為建柵欄，要計算這個矩形魚池的周長，你能幫助小明算一算嗎？21．如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心200km的范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域．(1)A城是否受到這次臺風的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺風影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？22．一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B′點，那么沿哪條路最近，最短的路程是多少？已知長方體的長2cm、寬為1cm、高為4cm．答案1．一直角三角形的斜邊長比一直角邊長大2，另一直角邊長為6，則斜邊長為（）A．4 B．8 C．10 D．12【考點】勾股定理．【專題】選擇題．【分析】設(shè)斜邊長為x，則一直角邊長為x﹣2，再根據(jù)勾股定理求出x的值即可．【解答】解：設(shè)斜邊長為x，則一直角邊長為x﹣2，根據(jù)勾股定理得，62+（x﹣2）2=x2，解得x=10，故選C．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．2．小豐的媽媽買了一部29英寸（74cm）的電視機，下列對29英寸的說法中正確的是（）A．小豐認為指的是屏幕的長度B．小豐的媽媽認為指的是屏幕的寬度C．小豐的爸爸認為指的是屏幕的周長D．售貨員認為指的是屏幕對角線的長度【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)電視機的習慣表示方法解答．【解答】解：根據(jù)29英寸指的是熒屏對角線的長度可知售貨員的說法是正確的．故選D．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時了解一個常識：通常所說的電視機的英寸指的是熒屏對角線的長度．3．如圖中字母A所代表的正方形的面積為（）A．4 B．8 C．16 D．64【考點】勾股定理．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)勾股定理的幾何意義解答．【解答】解：根據(jù)勾股定理以及正方形的面積公式知：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，所以A=289﹣225=64．故選D．【點評】能夠運用勾股定理發(fā)現(xiàn)并證明結(jié)論：以直角三角形的兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積．運用結(jié)論可以迅速解題，節(jié)省時間．4．一直角三角形的一條直角邊長是7cm，另一條直角邊與斜邊長的和是49cm，則斜邊的長（）A．18cm B．20cm C．24cm D．25cm【考點】勾股定理．【專題】選擇題．【分析】設(shè)另一條直角邊是a，斜邊是c．根據(jù)另一條直角邊與斜邊長的和是49cm，以及勾股定理就可以列出方程組，即可求解．【解答】解：設(shè)另一條直角邊是a，斜邊是c．根據(jù)題意，得，聯(lián)立解方程組，得．故選D．【點評】注意根據(jù)已知條件結(jié)合勾股定理列方程求解．解方程組的方法可以把①方程代入②方程得到c﹣a=1，再聯(lián)立解方程組．5．適合下列條件的△ABC中，直角三角形的個數(shù)為（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理．【專題】選擇題．【分析】計算出三角形的角利用定義判定或在知道邊的情況下利用勾股定理的逆定理判定則可．【解答】解：①，根據(jù)勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；②a=6，∠A=45不是成為直角三角形的必要條件，故不是；③∠A=32°，∠B=58°則第三個角度數(shù)是90°，故是；④72+242=252，根據(jù)勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；⑤22+22≠42，根據(jù)勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．故選A．【點評】本題考查了直角三角形的定義和勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷．6．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，則△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【考點】勾股定理的逆定理；完全平方公式．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形．【解答】解：∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形為直角三角形，故選D．【點評】本題利用了勾股定理的逆定理判定直角三角形，即已知△ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形．7．直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊乘積的2倍，這個三角形有一個銳角是（）A．15° B．30° C．45° D．60°【考點】勾股定理．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)斜邊的平方等于兩條直角邊乘積的2倍，以及勾股定理可以列出兩個關(guān)系式，直接解答即可．【解答】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊是a、b，斜邊是c．根據(jù)斜邊的平方等于兩條直角邊乘積的2倍得到：2ab=c2，根據(jù)勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，即：a2+b2﹣2ab=0，（a﹣b）2=0∴a=b，則這個三角形是等腰直角三角形，因而這個三角形的銳角是45°．故選C．【點評】已知直角三角形的邊長問題，不要忘記三邊的長，滿足勾股定理．8．已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為（）A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2【考點】勾股定理；翻折變換（折疊問題）．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)折疊的條件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：將此長方形折疊，使點B與點D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，根據(jù)勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面積為3×4÷2=6．故選C．【點評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．9．已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里【考點】勾股定理的應(yīng)用；方向角．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)方位角可知兩船所走的方向正好構(gòu)成了直角．然后根據(jù)路程=速度×時間，得兩條船分別走了32，24．再根據(jù)勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【解答】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴∠BAC=90°，兩小時后，兩艘船分別行駛了16×2=32海里，12×2=24海里，根據(jù)勾股定理得：=40（海里）．故選D．【點評】熟練運用勾股定理進行計算，基礎(chǔ)知識，比較簡單．10．利用圖(1)或圖(2)兩個圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學中一個十分著名的定理，這個定理稱為，該定理的結(jié)論其數(shù)學表達式是．【考點】勾股定理的證明．【專題】填空題．【分析】通過圖中三角形面積、正方形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．【解答】解：用圖(2)較簡單，如圖正方形的面積=（a+b）2，用三角形的面積與邊長為c的正方形的面積表示為4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化簡得a2+b2=c2．這個定理稱為勾股定理．故答案為：勾股定理、a2+b2=c2．【點評】本題是用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，鍛煉了同學們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．11．如圖，等腰△ABC的底邊BC為16，底邊上的高AD為6，則腰長AB的長為．【考點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】填空題．【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得BD=8，再根據(jù)勾股定理即可求出AB的長．【解答】解：∵等腰△ABC的底邊BC為16，底邊上的高AD為6，∴BD=8，AB===10．【點評】注意等腰三角形的三線合一，熟練運用勾股定理．12．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B200m，結(jié)果他在水中實際游了520m，求該河流的寬度為m．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】填空題．【分析】從實際問題中找出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，運用勾股定理求得AB===480米．【點評】考查了勾股定理的應(yīng)用，是實際問題但比較簡單．13．小華和小紅都從同一點O出發(fā)，小華向北走了9米到A點，小紅向東走了12米到了B點，則AB為米．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】填空題．【分析】根據(jù)題意畫出圖形根據(jù)勾股定理解答．【解答】解：如圖，在Rt△AOB中，∠O=90°，AO=9m，OB=12m，根據(jù)勾股定理得AB====15m．【點評】本題很簡單，只要根據(jù)題意畫出圖形即可解答，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．14．一個三角形三邊滿足（a+b）2﹣c2=2ab，則這個三角形是三角形．【考點】勾股定理的逆定理．【專題】填空題．【分析】化簡等式，可得a2+b2=c2，由勾股定理逆定理，進而可得其為直角三角形．【解答】解：（a+b）2﹣c2=2ab，即a2+b2+2ab﹣c2=2ab，所以a2+b2=c2，則這個三角形為直角三角形．故答案為：直角．【點評】考查了勾股定理逆定理的運用，是基礎(chǔ)知識比較簡單．15．木工做一個長方形桌面，量得桌面的長為60cm，寬為32cm，對角線為68cm，這個桌面（填”合格”或”不合格”）．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】填空題．【分析】只要算出桌面的長為60cm，寬為32cm，對角線為68cm是否符合勾股定理即可，根據(jù)勾股定理直接解答．【解答】解：==68cm，故這個桌面合格．【點評】本題考查的是勾股定理在實際中的應(yīng)用，需要同學們結(jié)合實際掌握勾股定理．16．直角三角形一直角邊為12cm，斜邊長為13cm，則它的面積為cm2．【考點】勾股定理．【專題】填空題．【分析】根據(jù)勾股定理求得其另一直角邊的長，再根據(jù)面積公式即可求得其面積．【解答】解：∵直角三角形一直角邊為12cm，斜邊長為13cm，∴另一直角邊==5cm，∴面積=×5×12=30cm2．【點評】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求得另一直角邊的長．17．如圖，一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20、3、2，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是．【考點】勾股定理；平面展開﹣最短路徑問題．【專題】填空題．【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答．【解答】解：如圖所示，∵三級臺階平面展開圖為長方形，長為20，寬為（2+3）×3，∴螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案為25．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．18．如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路程是多少米（先畫出示意圖，然后再求解）．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】解答題．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解．【解答】解：如圖所示，過D點作DE⊥AB，垂足為E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13（負值舍去）答：小鳥飛行的最短路程為13m．【點評】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關(guān)鍵．19．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，求AC2的值．【考點】勾股定理．【專題】解答題．【分析】∵AD⊥BC于D，∴可得到兩個直角三角形△ABD和△ADC，可利用勾股定理求得AD長，進而求得AC2的值．【解答】解：∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°∵AB=3，BD=2∴AD2=AB2﹣BD2=5∵DC=1，∴AC2=AD2+DC2=5+1=6．【點評】本題需注意最后求的是AC2，所以在計算過程中都保持線段的平方即可．20．小明的叔叔家承包了一個矩形魚池，已知其面積為48m2，其對角線長為10m，為建柵欄，要計算這個矩形魚池的周長，你能幫助小明算一算嗎？【考點】勾股定理的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用．【專題】解答題．【分析】根據(jù)矩形的面積公式得到長與寬的積，再根據(jù)勾股定理得到長與寬的平方和．聯(lián)立解方程組求得長與寬的和可．【解答】解：設(shè)矩形的長是a，寬是b，根據(jù)題意，得：，(2)+(1)×2，得（a+b）2=196，即a+b=14，所以矩形的周長是14×2=28m．【點評】注意根據(jù)題意結(jié)合勾股定理聯(lián)立解方程組，只需求得長與寬的和即可．21．如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心200km的范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域．(1)A城是否受到這次臺風的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺風影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】解答題．【分析】(1)點到直線的線段中垂線段最短，故應(yīng)由A點向BF作垂線，垂足為C，若AC＞200則A城不受影響，否則受影響；(2)點A到直線BF的長為200千米的點有兩點，分別設(shè)為D、G，則△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，則C是DG的中點，在Rt△ADC中，解出CD的長，則可求DG長，在DG長的范圍內(nèi)都是受臺風影響，再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時間．【解答】解：(1)由A點向BF作垂線，垂足為C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，則AC=160km，因為160＜200，所以A城要受臺風影響；(2)設(shè)BF上點D，DA=200千米，則還有一點G，有AG=200千米．因為DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因為AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分線，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120千米，則DG=2DC=240千米，遭受臺風影響的時間是：t=240÷40=6（小時）．【點評】此題主要考查輔助線在題目中的應(yīng)用，勾股定理，點到直線的距離及速度與時間的關(guān)系等，較為復(fù)雜．22．一只螞蟻如果沿長方體的表面從A點爬到B′點，那么沿哪條路最近，最短的路程是多少？已知長方體的長2cm、寬為1cm、高為4cm．【考點】勾股定理；平面展開﹣最短路徑問題．【專題】解答題．【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將正方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答．【解答】解：如圖：根據(jù)題意，如上圖所示，最短路徑有以下三種情況：(1)沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪開，得圖(1)AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；(2)沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪開，得圖(2)AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；(3)沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪開，得圖(3)AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；綜上所述，最短路徑應(yīng)為(1)所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．【點評】此題考查最短路徑問題，將長方體從不同角度展開，是解決此類問題的關(guān)鍵，注意不要漏解．第十七章卷（3）一、選擇題1．分別以下列五組數(shù)為一個三角形的邊長：①6，8，10②13，5，12③1，2，3④9，40，41⑤3，4，5．其中能構(gòu)成直角三角形的有（）組．A．2 B．3 C．4 D．52．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，則它的三條邊之比為（）A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：13．已知直角三角形一個銳角60°，斜邊長為1，那么此直角三角形的周長是（）A． B．3 C．+2 D．4．如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達到建筑物的高度是（）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米5．放學以后，小紅和小穎從學校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，若小紅和小穎行走的速度都是40米/分，小紅用15分鐘到家，小穎20分鐘到家，小紅和小穎家的直線距離為（）A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能確定6．如圖所示，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，若考慮既要符合設(shè)計要求，又要節(jié)省材料，則在庫存的l1=5.2m、l2=6.2m、l3=7.8m、l4=10m四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l47．如圖，分別以直角△ABC的三邊AB、BC、CA為直徑向外作半圓，設(shè)直線AB左邊陰影部分面積為S1，右邊陰影部分面積為S2，則（）A．S1=S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．無法確定8．在△ABC中，∠C=90°，周長為60，斜邊與一直角邊比是13：5，則這個三角形三邊長分別是（）A．5，4，3 B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，109．如圖所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，則AE=（）A．1 B． C． D．210．直角三角形有一條直角邊長為13，另外兩條邊長為連續(xù)自然數(shù)，則周長為（）A．182 B．183 C．184 D．185二、填空題11．木工師傅要做一個長方形桌面，做好后量得長為80cm，寬為60cm，對角線為100cm，則這個桌面（填“合格”或“不合格”）．12．如圖所示，以Rt△ABC的三邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1=4，S2=12，則S3=．13．將長為10米的梯子斜靠在墻上，若梯子的上端到梯子的底端的距離為6米，則梯子的底端到墻的底端的距離為．14．如果一個三角形的三個內(nèi)角之比是1：2：3，且最小邊的長度是8，最長邊的長度是．15．若三角形的三邊滿足a：b：c=5：12：13，則這個三角形中最大的角為度．16．已知一個直角三角形的兩條直角邊分別為6cm，8cm，那么這個直角三角形斜邊上的高為cm．17．命題：“同角的余角相等”的逆命題是．18．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為25dm、3dm、3dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是．（結(jié)果保留根號）19．如圖，已知一根長8m的竹竿在離地3m處斷裂，竹竿頂部抵著地面，此時，頂部距底部有m．20．一艘小船早晨8：00出發(fā)，它以8海里/時的速度向東航行，1小時后，另一艘小船以12海里/時的速度向南航行，則上午10：00，兩小船相距海里．三、解答題21．如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路程是多少米（先畫出示意圖，然后再求解）．22．三個半圓的面積分別為S1=4.5π，S2=8π，S3=12.5π，把三個半圓拼成如圖所示的圖形，則△ABC一定是直角三角形嗎？說明理由．23．某中學有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m，若每平方米草皮需要200元，問學校需要投入多少資金買草皮？24．如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他要完成這件事情所走的最短路程是多少？25．印度數(shù)學家什迦邏（1141年﹣1225年）曾提出過“荷花問題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺”請用學過的數(shù)學知識回答這個問題．26．如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向320km的B處，以每小時40km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風中心200km的范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域．(1)A城是否受到這次臺風的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺風影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？27．細心觀察下圖，認真分析各式，然后解答問題．（）2+1=2，S1=（）2+1=3，S2=（）2+1=4，S3=(1)請用含n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；(2)推算出OA10的長；(3)求出S12+S22+S22+…+S102的值．答案1．分別以下列五組數(shù)為一個三角形的邊長：①6，8，10②13，5，12③1，2，3④9，40，41⑤3，4，5．其中能構(gòu)成直角三角形的有（）組．A．2 B．3 C．4 D．5【考點】勾股定理的逆定理．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形．【解答】解：因為①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能構(gòu)成直角三角形的有三組．故選B．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷．2．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，則它的三條邊之比為（）A．1：1： B．1：：2 C．1：： D．1：4：1【考點】勾股定理．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)給出的條件和三角形的內(nèi)角和定理計算出三角形的角，再計算出它們的邊的比．【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴c=2a，b=a，∴三條邊的比是1：：2．故選B．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和勾股定理，通過知道角的度數(shù)計算特殊三角形邊的比．3．已知直角三角形一個銳角60°，斜邊長為1，那么此直角三角形的周長是（）A． B．3 C．+2 D．【考點】勾股定理；含30度角的直角三角形．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理即可解答．【解答】解：如圖所示，Rt△ABC中，∠B=60°，AB=1，則∠A=90°﹣60°=30°，故BC=AB=×1=，AC===，故此三角形的周長是．故選D．【點評】考查了勾股定理和含30度角的直角三角形，熟悉直角三角形的性質(zhì)：直角三角形中，30°所對的直角邊是斜邊的一半．熟練運用勾股定理．4．如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達到建筑物的高度是（）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)梯子、地面、墻正好構(gòu)成直角三角形，再根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：如圖所示，AB=13米，BC=5米，根據(jù)勾股定理AC===12米．故選A．【點評】此題是勾股定理在實際生活中的運用，比較簡單．5．放學以后，小紅和小穎從學校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，若小紅和小穎行走的速度都是40米/分，小紅用15分鐘到家，小穎20分鐘到家，小紅和小穎家的直線距離為（）A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能確定【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】選擇題．【分析】兩人的方向分別是東南方向和西南方向，因而兩人的家所在點與學校的連線正好互相垂直，根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得：如圖：OA=40×20=800m．OB=40×15=600m．在直角△OAB中，AB==1000米．故選C．【點評】本題考查正確運用勾股定理的應(yīng)用，解題時從實際問題中整理出直角三角形是本題的關(guān)鍵．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關(guān)鍵．6．如圖所示，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，若考慮既要符合設(shè)計要求，又要節(jié)省材料，則在庫存的l1=5.2m、l2=6.2m、l3=7.8m、l4=10m四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)30度直角邊等于斜邊一半，高是5，然后用勾股來算；或根據(jù)正弦函數(shù)等于對邊比斜邊即可解答．【解答】解：方法1：∠ACD=90°﹣60°=30°，設(shè)拉線AC=x，則AD=x，則．x2=（x）2+52，AC=x=≈5.77，AC=x=﹣（不合題意舍去）．方法2：如圖CD=5米，∠A=60°∴AC===≈5.77米所以最好選用l2故選B．【點評】此題主要考查三角函數(shù)的運用能力．7．如圖，分別以直角△ABC的三邊AB、BC、CA為直徑向外作半圓，設(shè)直線AB左邊陰影部分面積為S1，右邊陰影部分面積為S2，則（）A．S1=S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．無法確定【考點】勾股定理．【專題】選擇題．【分析】因為是直角三角形，所以可以直接運用勾股定理，然后運用圓的面積公式來求解．【解答】解：∵△ABC為直角三角形，∴AB2=AC2+BC2又∵∴S1=π=π?，=（）=π?=S1∴S1=S2，故選A．【點評】此題考查的是勾股定理的運用，三角形的直角邊之和等于第三邊，而且圓的面積公式中R2正好與勾股定理中的平方有聯(lián)系，因此可將二者結(jié)合起來看．8．在△ABC中，∠C=90°，周長為60，斜邊與一直角邊比是13：5，則這個三角形三邊長分別是（）A．5，4，3 B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，10【考點】勾股定理．【專題】選擇題．【分析】由斜邊與一直角邊比是13：5，設(shè)斜邊是13k，則直角邊是5k．根據(jù)勾股定理，得另一條直角邊是12k．根據(jù)題意，求得三邊的長即可．【解答】解：設(shè)斜邊是13k，直角邊是5k，根據(jù)勾股定理，得另一條直角邊是12k．根據(jù)題意，得：13k+5k+12k=60解得：k=2．則三邊分別是26，24，10．故選D．【點評】用一個未知數(shù)表示出三邊，根據(jù)已知條件列方程即可．熟練運用勾股定理．9．如圖所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，則AE=（）A．1 B． C． D．2【考點】勾股定理．【專題】選擇題．【分析】根據(jù)勾股定理進行逐一計算即可．【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC===；AD===；AE===2．故選D．【點評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．10．直角三角形有一條直角邊長為13，另外兩條邊長為連續(xù)自然數(shù)，則周長為（）A．182 B．183 C．184 D．185【考點】勾股定理．【專題】選擇題．【分析】設(shè)出另一直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理列出方程，再根據(jù)邊長都是自然數(shù)這一特點，寫出二元一次方程組，求解即可．【解答】解：設(shè)另一直角邊長為x，斜邊為y，根據(jù)勾股定理可得x2+132=y2，即（y+x）（y﹣x）=169×1因為x、y都是連續(xù)自然數(shù)，可得，∴周長為13+84+85=182；故選A．【點評】本題綜合考查了勾股定理與二元一次方程組，解這類題的關(guān)鍵是利用勾股定理來尋求未知系數(shù)的等量關(guān)系．11．木工師傅要做一個長方形桌面，做好后量得長為80cm，寬為60cm，對角線為100cm，則這個桌面（填“合格”或“不合格”）．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】填空題．【分析】只要算出桌面的長與寬的平方和是否等于對角線的平方，如果相等可得長、寬、對角線構(gòu)成的是直角三角形，由此可得到每個角都是直角，根據(jù)矩形的判定：有三個角是直角的四邊形是矩形，可得此桌面合格．【解答】解：∵802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，∴∠D=90°，同理：∠B=∠BCD=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴這個桌面合格．故答案為：合格．【點評】本題考查的是勾股定理逆定理在實際中的應(yīng)用，以及矩形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理逆定理與矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一個三角形中，兩條邊的平方和等于另一條邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形．12．如圖所示，以Rt△ABC的三邊向外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，且S1=4，S2=12，則S3=．【考點】勾股定理．【專題】填空題．【分析】由正方形的面積公式可知S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3，由此可求S3．【解答】解：∵S1=4，∴BC2=4，∵S2=12，∴AC2=12，∴在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2=4+12=16，∴S3=AB2=16．故答案為：16．【點評】本題考查了勾股定理及正方形面積公式的運用，解題關(guān)鍵是明確直角三角形的邊長的平方即為相應(yīng)的正方形的面積，難度一般．13．將長為10米的梯子斜靠在墻上，若梯子的上端到梯子的底端的距離為6米，則梯子的底端到墻的底端的距離為．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】填空題．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出BC的值．【解答】解：在Rt△ABC中，AB2=AC2﹣BC2，∵AB=10m，AC=6m，∴BC==8m，即梯子的底端到墻的底端的距離為8m．故答案為：8米．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理在直角三角形中的表達式．14．如果一個三角形的三個內(nèi)角之比是1：2：3，且最小邊的長度是8，最長邊的長度是．【考點】勾股定理；三角形內(nèi)角和定理．【專題】填空題．【分析】根據(jù)三角形的三個內(nèi)角之比是1：2：3，求出各角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：設(shè)一份是x，則三個角分別是x，2x，3x．再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得：x+2x+3x=180°，解得：x=30°，則2x=60°，3x=90°．故此三角形是有一個30°角的直角三角形．根據(jù)30°的角所對的直角邊是斜邊的一半，得，最長邊的長度是16．【點評】此題要首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得三個角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得最長邊的長度即可．15．若三角形的三邊滿足a：b：c=5：12：13，則這個三角形中最大的角為度．【考點】勾股定理的逆定理．【專題】填空題．【分析】一個三角形的三邊符合a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，依此可得這個三角形中最大的角的度數(shù)．【解答】解：設(shè)三角形的三邊分別為5x，12x，13x，則（5x）2+（12x）2=（13x）2，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形．則這個三角形中最大的角為90度．故答案為：90．【點評】考查了勾股定理的逆定理，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則三角形ABC是直角三角形．16．已知一個直角三角形的兩條直角邊分別為6cm，8cm，那么這個直角三角形斜邊上的高為cm．【考點】勾股定理．【專題】填空題．【分析】根據(jù)勾股定理可求出斜邊．然后由于同一三角形面積一定，可列方程直接解答．【解答】解：∵直角三角形的兩條直角邊分別為6cm，8cm，∴斜邊為=10，設(shè)斜邊上的高為h，則直角三角形的面積為×6×8=×10h，h=4.8cm，這個直角三角形斜邊上的高為4.8cm．【點評】本題考查了勾股定理的運用即直角三角形的面積的求法，屬中學階段常見的題目，需同學們認真掌握．17．命題：“同角的余角相等”的逆命題是．【考點】互逆命題．【專題】填空題．【分析】先把同角的余角相等寫成“如果…那么…”的形式，然后交換題設(shè)和結(jié)論即可得到逆命題．【解答】解：“同角的余角相等”的逆命題為“如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的余角”．故答案為：如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的余角．【點評】本題考查了命題與定理，正確理解原命題與逆命題的關(guān)系是解題關(guān)鍵．18．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為25dm、3dm、3dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是．（結(jié)果保留根號）【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】填空題．【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答．【解答】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為25dm，寬為（3+3）×3dm，則螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為xdm，由勾股定理得：x2=252+[（3+3）×3]2=949，解得x=．故答案為dm．【點評】此題主要考查了平面展開﹣最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．19．如圖，已知一根長8m的竹竿在離地3m處斷裂，竹竿頂部抵著地面，此時，頂部距底部有m．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】填空題．【分析】利用勾股定理，用一邊表示另一邊，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)果．【解答】解：由圖形及題意可知，AB2+BC2=AC2設(shè)旗桿頂部距離底部有x米，有32+x2=52，得x=4，故答案為4．【點評】本題主要是考查學生對勾股定理的熟練掌握，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出直角三角形并正確的利用勾股定理．20．一艘小船早晨8：00出發(fā)，它以8海里/時的速度向東航行，1小時后，另一艘小船以12海里/時的速度向南航行，則上午10：00，兩小船相距海里．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】填空題．【分析】正東方向與正南方向正好構(gòu)成直角，因而兩船所經(jīng)過的路線，與10：00時，兩船之間的連線正好構(gòu)成直角三角形．根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：在直角△OAB中，OB=2×8=16海里．OA=12海里，根據(jù)勾股定理：AB===20海里．故答案為：20．【點評】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關(guān)鍵．21．如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路程是多少米（先畫出示意圖，然后再求解）．【考點】勾股定理的應(yīng)用．【專題】解答題．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解．【解答】解：如圖所示，過D點作DE⊥AB，垂足為E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13（負值舍