專題13立體幾何的空間角與空間距離及其綜合應用小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1異面直線所成角及其應用（10年6考）2022·全國新Ⅰ卷、2021·全國乙卷、2018·全國卷2017·全國卷、2016·全國卷、2015·浙江卷要熟練掌握幾何法和向量法求解空間角與空間距離，本節(jié)內容是新高考卷的?？純热?，要熟練掌握方程思想求值，需強化鞏固復習.考點2線面角及其應用（10年4考）2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2022·浙江卷2022·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2018·浙江卷2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷考點3二面角及其應用（10年6考）2023·北京卷、2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅱ卷2022·浙江卷、2019·浙江卷、2018·浙江卷2017·浙江卷、2015·浙江卷考點4點面距及其應用（10年1考）2019·全國卷考點01異面直線所成角及其應用1．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為2．（2021·全國乙卷·高考真題）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．3．（2018·全國·高考真題）在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．4．（2017·全國·高考真題）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．5．（2016·全國·高考真題）平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．6．（2015·浙江·高考真題）如圖，三棱錐中，，點分別是的中點，則異面直線所成的角的余弦值是．

考點02線面角及其應用1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．32．（2023·全國乙卷·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國甲卷·高考真題）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為5．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為6．（2018·浙江·高考真題）已知四棱錐的底面是正方形，側棱長均相等，是線段上的點（不含端點），設與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．7．（2018·全國·高考真題）已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為．8．（2018·全國·高考真題）在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為A． B． C． D．9．（2018·全國·高考真題）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A． B． C． D．考點03二面角及其應用1．（2023·北京·高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（

）

A． B．C． D．2．（2023·全國乙卷·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側面積為C． D．的面積為4．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．5．（2019·浙江·高考真題）設三棱錐的底面是正三角形，側棱長均相等，是棱上的點（不含端點），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則A． B．C． D．6．（2018·浙江·高考真題）已知四棱錐的底面是正方形，側棱長均相等，是線段上的點（不含端點），設與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．7．（2017·浙江·高考真題）如圖，已知正四面體D–ABC（所有棱長均相等的三棱錐），P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點，AP=PB，，分別記二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角為α,β,γ，則A．γ<α<β B．α<γ<β C．α<β<γ D．β<γ<α8．（2015·浙江·高考真題）如圖，已知，是的中點，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則A． B． C． D．考點04點面距及其應用1．（2019·全國·高考真題）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點，PC=2，點P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為．專題13立體幾何的空間角與空間距離及其綜合應用小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1異面直線所成角及其應用（10年6考）2022·全國新Ⅰ卷、2021·全國乙卷、2018·全國卷2017·全國卷、2016·全國卷、2015·浙江卷要熟練掌握幾何法和向量法求解空間角與空間距離，本節(jié)內容是新高考卷的?？純热?，要熟練掌握方程思想求值，需強化鞏固復習.考點2線面角及其應用（10年4考）2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2022·浙江卷2022·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2018·浙江卷2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷考點3二面角及其應用（10年6考）2023·北京卷、2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅱ卷2022·浙江卷、2019·浙江卷、2018·浙江卷2017·浙江卷、2015·浙江卷考點4點面距及其應用（10年1考）2019·全國卷考點01異面直線所成角及其應用1．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【分析】數(shù)形結合，依次對所給選項進行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設，連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD2．（2021·全國乙卷·高考真題）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，，所以.故選：D3．（2018·全國·高考真題）在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正方體中，，將問題轉化為求共面直線與所成角的正切值，在中進行計算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設正方體邊長為，則由為棱的中點，可得，所以，則.故選C.

【點睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個平面中；②利用邊角關系，找到（或構造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因為直線夾角為銳角，所以②對應的余弦取絕對值即為直線所成角的余弦值.4．（2017·全國·高考真題）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，補成直四棱柱，則所求角為，易得，因此，故選C．平移法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍．5．（2016·全國·高考真題）平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：如圖，設平面平面=，平面平面=，因為平面，所以，則所成的角等于所成的角.延長，過作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.【點睛】求解本題的關鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補.6．（2015·浙江·高考真題）如圖，三棱錐中，，點分別是的中點，則異面直線所成的角的余弦值是．

【答案】【詳解】如下圖，連結，取中點，連結，，則可知即為異面直線，所成角（或其補角）易得，，，∴，即異面直線，所成角的余弦值為.

考點：異面直線的夾角.考點02線面角及其應用1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結合正三棱臺的結構特征求得，進而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關系可得，進而可求正三棱錐的高，即可得結果.【詳解】解法一：分別取的中點，則，可知，設正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設，則，，可得，結合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因為，則，可知，則，設正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.2．（2023·全國乙卷·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，推導確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點，連接，因為是等腰直角三角形，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C3．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長關系即可比較大?。驹斀狻咳鐖D所示，過點作于，過作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．4．（2022·全國甲卷·高考真題）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為【答案】D【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結構特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設，依題以及長方體的結構特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對于A，，，，A錯誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因為，所以，B錯誤；對于C，，，，C錯誤；對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．5．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為 D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【分析】數(shù)形結合，依次對所給選項進行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因為，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因為四邊形為正方形，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設，連接，因為平面，平面，則，因為，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯誤；因為平面，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD6．（2018·浙江·高考真題）已知四棱錐的底面是正方形，側棱長均相等，是線段上的點（不含端點），設與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．【答案】D【分析】分別作出線線角、線面角以及二面角，再構造直角三角形，根據(jù)邊的大小關系確定角的大小關系.【詳解】設為正方形的中心，為中點，過作的平行線，交于，過作垂直于，連接、、，則垂直于底面，垂直于，因此從而因為，所以即，選D.

【點睛】線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.7．（2018·全國·高考真題）已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側面積為．【答案】【分析】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長,再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側面積公式求出結果.【詳解】因為母線，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因為的面積為，設母線長為所以，因為與圓錐底面所成角為45°，所以底面半徑為，因此圓錐的側面積為．【整體點評】根據(jù)三角形面積公式先求出母線長，再根據(jù)線面角求出底面半徑，最后根據(jù)圓錐側面積公式求出側面積，思路直接自然，是該題的最優(yōu)解．8．（2018·全國·高考真題）在長方體中，，與平面所成的角為，則該長方體的體積為A． B． C． D．【答案】C【分析】首先畫出長方體，利用題中條件，得到，根據(jù)，求得，可以確定，之后利用長方體的體積公式求出長方體的體積.【詳解】在長方體中，連接，

根據(jù)線面角的定義可知，因為，所以，從而求得，所以該長方體的體積為，故選C.【點睛】該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關系，從而求得結果.9．（2018·全國·高考真題）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個頂點出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應用面積公式求得結果.【詳解】根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面與中間的，且過棱的中點的正六邊形，且邊長為，所以其面積為，故選A.點睛：該題考查的是有關平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關的字眼，從而得到其為過六條棱的中點的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應用相關的公式求得結果.考點03二面角及其應用1．（2023·北京·高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長相加即可得解.【詳解】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因為平面，平面，所以，因為，平面，，所以平面，因為平面，所以，.同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因為，所有棱長之和為.故選：C2．（2023·全國乙卷·高考真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，推導確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點，連接，因為是等腰直角三角形，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，

顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線平面，則直線在平面內的射影為直線，從而為直線與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線與平面所成的角的正切為.故選：C3．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側面積為C． D．的面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項，圓錐的體積為，A選項正確；B選項，圓錐的側面積為，B選項錯誤；C選項，設是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項正確；D選項，，所以，D選項錯誤.故選：AC.

4．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長關系即可比較大?。驹斀狻咳鐖D所示，過點作于，過作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．5．（2019·浙江·高考真題）設三棱錐的底面是正三角形，側棱長均相等，是棱上的點（不含端點），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則A． B．C． D．【答案】B【解析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計算.解答的基本方法是通過明確各種角，應用三角函數(shù)知識求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.【詳解】方法1：如圖為中點，在底面的投影為，則在底面投影在線段上，過作垂直，易得，過作交于，過作，交于，則，則，即，，即，綜上所述，答案為B.方法2：由最小角定理，記的平面角為（顯然）由最大角定理，故選B.方法3：（特殊位置）取為正四面體，為中點，易得，故選B.【點睛】常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯誤有，不能正確作圖得出各種角.未能想到利用“特殊位置法”，尋求簡便解法.6．（2018·浙江·高考真題）已知四棱錐的底面是正方形，側棱長均相等，是線段上的點（不含端點），設與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則A． B． C． D．【答案】D【分析】分別作出線線角、線面角以及二面角，再構造直角三角形，根據(jù)邊的大小關系確定角的大小關系.【詳解】設為正方形的中心，為中點，過作的平行線，交于，過作垂直于，連接、、，則垂直于底面，垂直于，因此從而因為，所以即，選D.

【點睛】線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.7．（2017·浙江·高考真