高二第二學(xué)期開學(xué)考試卷數(shù)學(xué)文科

1.已知數(shù)列1,V3,V5,V7,…，質(zhì)=1，則3百是該數(shù)列的（）

A.第22項B.第23項C.第24項D.第28項

fx+y-1>0,

2.已知x,y滿足約束條件;2x—y—2±0,則①的取值范圍是（）

lx-2y+2>0,

A.[-p1]B.[-2,3]C.（-^o.-;]U[i.+oo）D.（-oo,-2]u[3,+oo）

3.在△A8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,fisin:-=—,則△ABC的形狀為（）

22C

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

4.已知以下四個結(jié)論：

①函數(shù)y=tam:圖象的一個對稱中心為（一三0）；

②函數(shù)y=|sinx+:|的最小正周期為萬；

③函數(shù)y=sin（2x+習(xí)的圖象與函數(shù)/'（x）=cos（-n--2x）的圖象重合；

④若月+B=三，則（1+1@必）（1+3118）=2.

4

其中，正確的結(jié)論是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

5.V3sin2a+sinacosa=y/3,ae(O,JT),則cos(a—。)的值為()

A.小13或匹B.三出C)6+、'二電V"一D'''6+n

4244"44

6.已知單位向量b滿足值+2b|=日-2b|,則(4^+b)?(a—b)=()

A.1B.2C.3D.4

7.已知三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABC_L底面6C。，Z\A灰:是邊長為3的正三角形，△8CO是

直角三角形，且NBCD=90°,CD=2,則此三棱錐外接球的體積等于（）

「32兀、64兀

A.45萬兀B.—C.12兀D.——

33

2222

8.已知圓Cx：(x-2)+(y-3)=1,圓%(x-3)+(y-4)=9,M,N分別是圓g,

C二上的點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為（）

A.EB.V17-1C.6—2丫2D.5V2—4

9.已知雙曲線C：\—\=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F「Fj點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn),

連接PF工與y軸交于點(diǎn)M,若艮0|=2|0M|（0為坐標(biāo)原點(diǎn)），PFX1PFr則雙曲線C的漸近線

方程為（）

A.y=+3xB.y=士通xC.y=±2xD.y=±V2x

10.已知函數(shù)&乂）=一乂4+23^+（2-1》為偶函數(shù)，則￡仁）的導(dǎo)函數(shù)「（x）的圖象大致為（）

11.下列四個命題中真命題的個數(shù)是()

①“x=l”是“d一4x+3=0”的充分不必要條件；

②命題“vxeR,sinx<1"的否定是“我eR,sinx>1”；

③“若am：<bm2,貝必<b"的逆命題為真命題；

④命題p；vxe[1,+°°),Igx>0,命題q：”eR,x:+x+1<0,則pvq為真命題.

A.0B.1C.2D.3

12.過橢圓式+亡=1的左焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線AB,CD,分別交橢圓于A,B,C,DPI

164

點(diǎn)，則四邊形ACBD面積的最大值與最小值之差為()

A.吧民三C.竺D.%

25252525

13.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+g)的圖象為C,則：

①C關(guān)于直線x=三對稱；②C關(guān)于點(diǎn)七,0)對稱;

③/'（x）在（-U上是增函數(shù)；④把y=2cos2x的圖象向右平移六個單位長度可以得到圖象C.

以上結(jié)論正確的有.（填所有正確的序號）

14.已知集合人=根慢。-4x+3<0},集合B={x|x，-ax+a-1<0},命題p：xeA,命

題q：xeB,若「q的必要不充分條件是「p,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

15.已知拋物線C：x==；y的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線1與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，則

IAFIIBFI

16.阿波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世

界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這

樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（k>0且kH1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個

圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有AABC.AC=6,sinC=V3siiiA,則當(dāng)△ABC的面積最大時，它的內(nèi)切圓的

半徑為.

17.在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,S為△ABC的/------------

面積，滿足S=?（爐+/一?。?

（1）求角力的大小;

（2）若a=2,求b+c的取值范圍.

18.如圖，四棱錐尸-他8的底面ABCD是平行四邊形，△4BP是等邊三角形且邊長是4,

DA=DP=2y(2.

(1)證明：APLBD-,

(2)若BD=4,求四棱錐P-ABCD的體積.

19.設(shè)等差數(shù)列｛aj的前n項和為Sn，已知a6=13,S10=120.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

(2)若數(shù)列(bj滿足：bn=-^(neN'),求數(shù)列(bj的前n項和心.

20.隨著時代的進(jìn)步與發(fā)展，維持生態(tài)平衡，促進(jìn)可持續(xù)發(fā)展是一個新的美好愿景，我們也應(yīng)

該從自身做起，自覺愛護(hù)生態(tài)環(huán)境，為此，某網(wǎng)絡(luò)平臺對市民參與生態(tài)文明建設(shè)的情況進(jìn)行

了調(diào)查，從參與生態(tài)文明建設(shè)的人中隨機(jī)選出100人，根據(jù)所得數(shù)據(jù)，對年齡進(jìn)行適當(dāng)分組后

得到如下的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率直方圖求出a的值；

（2）根據(jù)頻率直方圖估計這100人年齡的平均數(shù)和中位數(shù)各是多少；

（3）現(xiàn)要從最后兩組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,

求第4組恰好抽到2人的概率.

21.已知橢圓嗤+若=l（a〉b>0）的離心率為手點(diǎn)（后專為C上一點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為0,點(diǎn)A,B在C上，點(diǎn)P滿足而=&+加，且直線OA,OB的斜率之積為一；,

證明：值二+而2為定值.

22.已知函數(shù)f(x)=ax2+(2—a)lnx+2.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于x的方程f(x)=匕+2詼在口,+<>。)上恰有一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

數(shù)學(xué)文科答案

1B

【解答】

解：由數(shù)列1,V3,\[5,々，…歷二工

可得通項公式an=廊=I(neN').

令3遍=VH=T,解得n=23,

所以3乃是數(shù)列的第23項.

故選B.

2D

【解答】

解：蟲表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(一1,1)連線的斜率的倒數(shù),

y-1

作出可行域，

可知點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(-1,1)連線的斜率在點(diǎn)B(l,0)處取得最小值為一匕

在點(diǎn)C(2,2)處取得最大值點(diǎn)所以斜率的取值范圍是[一占才,

所以言的取值范圍是(—8「2]U[3,+8).

故選D.

3.解:因?yàn)?2+b)(siw4-sinB)=(c-fe)sinC

=(2+b)(a-b)=(c-b)c

=2Q-2b+ab-爐=c°-be.

又因?yàn)镼=2,

所以2Q-京=-be

=+c'一Q’=be

=cos/l=------=

2bc2

=AA=—It,

3

△月BC面積S=-besinA=—be,

24

而配+c二—=be

=b二+c?—be=。二

=爐+c，—be=4

=>he<4?

所以S=±bcsinA卷，即△4BC面積的最大值為V5.

24

故選B.

4.

【解答】

解：由正切函數(shù)圖象特征可知①正確；

y=卜inx+耳的最小正周期為2〃，故②不正確；

y=sin(2x+的表達(dá)式可以改寫為f(x)=-cos-2x),故③不正確;

由A+B=之則tan(A+B)=山+出^=1,

4l-tan4tan5

(1+tani4)(l+tanB)=14-tanA+tanB+tanA-tanB=2,故④正確.

故選3.

5.解：v靠.卜干.+jsin2a=取,

???^sin2a—^cos2a二"，

???sin(2a-；)==.

???ae(O,/r)，

???a—:或三當(dāng)Q=半時，

-%cos(a=cos(---)=cos-cos-+sin-sin-="46；

\4/\34/34344

當(dāng)Q=2時,???cos(a=cos-=—.

2V4/42

故選4

6.解：由向+24=值-2」得l?1=0,

又|a|=1,|b|=1,

(4a+b)?(a-b)=4a,-b。=3.

故選C.

7.答案：B

解析：因?yàn)槿忮F的底面BCD中，^BCD=90°,CD=2,BC=3,所以用方=屈，

其外接圓的圓心為9的中點(diǎn)，設(shè)為。一設(shè)三棱錐的外接球的球心為。，則。。平面BCD,

取8c的中點(diǎn)G,連接OGrAG,因?yàn)锽ROGu平面BCD,所以O(shè)Q，BROQ_LQG,因

為三角形ABC為正三角形，所以AG_LBC,過。作O//LAG于H,則OHGQ為矩形，設(shè)

\CD=\,AG=^

。。=及，球的半徑為R,因?yàn)镼G=O〃=

22

R2=0^=OH2+AH2=\+

2222

R=OD=00；+OtD=h

解得〃考X,所以球的體積為抓普

【解答】

解：如圖,

圓J關(guān)于x軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)A(2,-3),半徑為1,

圓C2的圓心坐標(biāo)(3.4),半徑為3,

|PM|+|PN|的最小值為圓A與圓C2的圓心距減去兩個圓的半徑和,

故選D.

9.

【解答】

解：由題意雙曲線的圖形如圖,

設(shè)PL=m,PF2=n,點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，

連接PE與y軸交于點(diǎn)M,若R0|=2|0M|（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）,PFj1PF,,

ZMF10=ZF,F1P,NM0Fa=NF1P理=90。，

所以△/MO-△FF「P,

所以

所以m=2n,

又m—n=2a,

得n=2a,

所以m=4a,

可得16a二+4a2=4c2=4a2+4b2,

解得R=2,

a

所以雙曲線的漸近線方程為：y=±2x.

故選c.

10.

【答案】

A

11.

【答案】

D

【解答】

解：①由x=1,則d-dx+BuO,

反之，由得：x=3,或工=L

所以，“尤=1”是“d-dx+BuO”的充分不必要條件，故正確；

②命題“vxeR,sinx<1”的否定是“滅eR,sinx>1”，故正確；

2Zf,

③“若a〃F<b?nf則a<b”的逆命題為“若a<b,則am二<bm若m=0時不符合，是

假命題，故不正確；

④命題p：vxW[L+8),Igx20,正確，

命題q：mxwR,r2+x+1<0,不正確，

因?yàn)?2+4+1=(%+3)2+：>0恒成立，pvq為真，故正確.

故選D.

12.

【解答】

解：由題意得a2=16,b2=4,c=2V3,

當(dāng)AB,CD中的一條與x軸垂直，另一條與x軸平行時，

S=ix2ax—=2b2=8.

2a

當(dāng)直線的斜率都存在時，

設(shè)AB：y=k(x+2>/5),CD：y=—：(x+2").

,一+二=1,

由,164

y=k(x+2⑸，

整理得(1+4k?)x2+16^3k2x+48k2-16=0.

設(shè)A—yJB(x;.y2),

16例148^-16

則Xi+x=-

2l+4k2l+4k2：

22

所以|AB|=J(1+k)[(xx+x2)-4X!X2]=*：；，

所以得|CD|=痣4,

1,,,,32(k2+

S=2|AB|X|CD|=(4k=+l)(k=+4)

、32(k2+l)2128

-w

當(dāng)且僅當(dāng)4k2+1=k?+4,即卜=±1等號成立.

故四邊形的最大值為8,最小值為曾.

故四邊形ACBD面積的最大值與最小值之差為8-蕓=弓

2525

故選D.

13.

【答案】

(D@④

【解答】

函數(shù)f(x)=2sin(2x+$的圖象為C,

所以：對于①，當(dāng)時，/珞)=2sing+半)=-2,所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線％=皆對

稱，①正確;

對于②，當(dāng)1=三時，"W)=2sinG+9=2,所以函數(shù)的圖象不C關(guān)于點(diǎn)(jO)對稱，故②

12126312

錯誤；

對于③，當(dāng)xe(-H)時，24+彳6(—]9,所以函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)，故③正確；

對于④，把y=2cos2x的圖象向右平移三個單位長度可以得到

/12

/(x)=2cos(2x-：)=2sin(2x+；),故④正確.

14.

【答案】(4,+8)

【解答】

解：對于集合A：由X2-4X+3<0,

解得1<x<3,

二集合A=(1,3),

-np：(YO,1]U[3,+8)；

對于集合B：由x2-ax+a-l<C,

化為&-1)/一9-1)]<0,

其->q滿足：(x-l)[x-(a-l)]2O.

V「q的必要不充分條件是「p,

必有a-1>3,

解得a>4.

實(shí)數(shù)a的取值范圍是(4,+8).

故答案為：(4,+8).

15.

【解答】

解：由題意，得拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0（）,

直線1與C有兩個交點(diǎn),

直線1的斜率存在.

設(shè)直線1的方程為丫=kx+；,A(x1,yx),B(x,,y3),

y=kx

聯(lián)立《’3

x2=4

整理，得x2-綱\=0,

則Xi+X2=gk,x1x2=--.

又???|AF|=i+yx,|BF|=1+y2,

3

|AF|?|BF|=；+|(yx+y2)+yiy2=；(1+k).

|AB|=|AF|+|BF|=：+%+%

:

=：+k(x1+x2)=11+k),

瑞1

故答案為：3.

16.

【解答】

解：???sinC=J5sinA,二由正弦定理得,

幽=土=0為非零常數(shù)，故點(diǎn)B的軌跡是圓.

|CB|sinA

以線段AC中點(diǎn)為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,

則A(-3,0),C(3,0),設(shè)B(x,y),

v|AB|=V3|CB|,

???“x+BV+y，=V3>/(x-3):+y2

即x2+y2-12X+9=0,整理得(x-6)2+y2=27,

因此，當(dāng)△ABC面積最大時，AC邊上的高為圓的半徑3VJ,

此時|BC|=，3=+(375)2=6,|AB|=，9:+(30]=6、氏

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,則

1廠1/L、

-x6x3V3=—x+6+6)r

解得r=-z：—=6y'3-9.

73+2

故答案為：6\3—9.

17.

【解答】

解：（1）由三角形面積公式得:

5=Y(62+c2-a2)=；bcsiih4,

/.—bccosA=-bcsinA,

22

:.tanA=V3,

J4=".

3

(2)在△ABC中，

由正弦定理得—a-，又Q=2,

an-sinSsine

所以b=*B,c=宇EC=*in(好B),

故b+c=干sinB+^sin(y-B)

=卓(；sinB+TJCOSB)=4sin(B+

因?yàn)?<B<W，故:<B+,<、,

所以:<sin(B+?)=1，b+c&(2,4],

故b+c的取值范圍是(2,4].

18.答案：(1)證明：取AP中點(diǎn)M,連接DM,BM,

-.-DA^DP,BA=BP,s.PAVDM,PA^BM,

?：DMcBM=M,.平面DWB.又?.?比><=平面。WB,：.PA^BD

(2)由(1)知，R41.平面8DM,

在等邊三角形叢8中，由邊長為4,得BM='16-4=25

在等腰三角形4)P中，由AZ)=OP=2及，AM=2,得D”=2,

又BD=4,:.DM2+BM-=DB2,WDMVBM.

'''S&JBM=5*2x26—26.

則Vp-ABD=]XSMDMXPA=3X2GX4=—y-.^p-ABCD2Vp_A8O=--—?

19.

【解答】

解：(1)設(shè)數(shù)列｛aj的公差為d,

由Sio=12O,得2a1+9d=24,

又a=a1+5d=13.

解得a1=3,d=2,

因此｛aj的通項公式是：an=2n4-1.

(2)由(1)知悅=三一

anan4l

2

=(2n+l)(2n+3)

=gn+2)-(2i>+l)=__1_____1_

一(2n+l)(2n+3)-2n+l2n+3，

所以％=bx+b2+b?+…+bn_2+bjj_i+bn

111111

=(3-S)+(S-7)+(7-9)+"，+

11

(2n-3-2n-l)+

1111

(2n-「2n+1)+(2n+「2n+3)

11

-32n+3

-3（2n+3）*

20.

【答案】

解：⑴由10x（0.010+0.015+a+0.035+0.010）=1,Wa=0.030.

（2）由于前兩組的頻率和為0.1+0.3=0.4,第三組的頻率為0.35,

故中位數(shù)為35+a=壬；

0.0357

平均數(shù)為0.1X20+0.3X30+0.35x40+0.15x50+0.1x60=38.5.

（3）第4,5組的人數(shù)分別為15人，10人，

從最后兩組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第4,5組抽取的人數(shù)分別為3人，2人，

設(shè)第5組中的兩人為4,組，設(shè)第4組中的三人為九，bz,b3.

從5人中隨機(jī)抽取3人，為（a1g也）,（4心也），（a1,a:,63）,（勺也也％（勺也也），

（久也也）,（a：也也），Q也也）,（a:.b:,b3）,（瓦，壇力J共10個基本事件;

其中第4組恰好抽到2人包含（%,無力2）（a1也心），（心也也）,（a：也也），（a：也也）,

（0也4）共6個基本事件，從而第4組恰好抽到2人的概率P=葛=/

【解答】

解：（1）由10x（0.010+0.015+a+0,035+0.010）=1,得a=0.030.

⑵由于前兩組的頻率和為0.1+0.3=0.4,第三組的頻率為0.35,

故中位數(shù)為35+-TT；=個；

0.0357

平均數(shù)為0.1x20+0.3X30+0.35x40+0.15x50+0.1x60=38.5.

（3）第4,5組的人數(shù)分別為15人，10人，

從最后兩組中用分層抽樣的方法抽取5人，則第4,5組抽取的人數(shù)分別為3人，2人，

設(shè)第5組中的兩人為4,a2,設(shè)第4組中的三人為g,b2,b3.

從5人中隨機(jī)抽取3人，（。］,。二力二），（a1.a二,b?）,（。1力1力二），

（心也也）,（出,瓦也），（。二,瓦也），（見也也），（比也也）共10個基本事件;

其中第4組恰好抽到2人包含（a>b工也>（%也也），（A也，%），（的也也），（出也,九）,

（生也.％）共6個基本事件，從而第4組恰好抽到2人的概率P=葛=/

【解答】

（1）解：由題知,

a=3,

解得|b=L

C=2V2.

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為J+y2=L

（2）證明：設(shè)A（x「yJ,當(dāng)直線AB的斜率不存在時，Bfxp-yj,

因?yàn)橹本€OA,OB的斜率之積為一；,所以立?』=—匕即x；=9y；,

9XjXj9

又A,B在橢圓三+y。=1上，所以x；=?,yf='；.

因?yàn)镺P=OA+OB,

所以靠二+加二=(OB-6A)*+(6B+6A)-

=6B:+6A:-2OB-6A+6B::+6A:+26B-6A

=2(|6A|2+|6B|:)

=4(xf+yf)=4x(：+：)=20.

當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為丫=0+1?(m*0),

y=kx+m,

x2c,消去y,得(1+9卜二取二十18kmx+9m。-9=0,

{t+y-=i

△=(18km)2-4(1+9k:)(9m:-9)=