1.1.3集合的基本運算

例1設集合A={x|-l<x<2},集合B={x門VxW3},求AUB.

例2A={x|T<xW4},B={xI2Vx<5},求AflB.

例4不等式組的解為A,U=R,試求A及C〃A,并把它們分別表示在數(shù)軸上。

題型三集合的交集運算

例3若集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={xIx2-5x+6=0},C={x|x2+2x

-8=0},求a的值使得0g(AfiB)與AfiC=0同時成立。

題型四集合的補集運算

例5設全集U={1,2,X2-2},A={1,X},求C^A

例6設全集U為R,A={xIx2-x-2=0},B={xI|x|=y+1,yeA),求C°B

題型五集合運算性質的簡單應用

例7已知集合A={xIx?+ax+12b=0}和B={xIx?-ax+b=0},滿足(C。A)C|B=2,

An(C(7B)={4}>U=R,求實數(shù)a、b的值。

例8已知A={xIx2-px-2=0},B={xIx2+qx+r=0},且AUB={-2,1,5},A|"|B

={-2},求實數(shù)p、q、r的值。

數(shù)學思想方法

一、數(shù)形結合思想

例9(用數(shù)軸解題)已知全集U={xIxW4},集合A={xI-2<x<3},集合B={xI

-3<xW3},求C^A,ApB,Cu(AnB),(C(/A)nB

例10（用Venn圖解題）設全集U和集合A、B、P滿足A=C（,,B,8=（2/，則A與P

的關系是（）

A.A=Cu.PB.A=PC.Az-->--PD.Au----P

二、分類討論思想

例11設集合A={|a+l|,3,5},集合B={2〃+1,a2+2a,a2+2a-l],當ACB={2,

3}時，求AUB

三、“正難則反”策略與“補集”思想

例12已知方程x?+ax+1=0,x2+2x-a=0,x2+2ax+2=0,若三個方程至少有一

個方程有實根，求實數(shù)a的取值范圍。

四、方程思想

例13設集合A={x|x2+4x=0,xeR},B={xIx2+2(a+l)x+a2-1=0,x€R}>

若BqA,求實數(shù)a的值。

創(chuàng)新、拓展、實踐

例14（實際應用題）在開秋季運動會時，某班共有28名同學參加比賽，其中有15人

參加徑賽，有8人參加田賽，有14人參加球類比賽，同時參加田賽和徑賽的有3人，同時

參加徑賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，問同時參加田賽和球類比賽的

有多少人？只參加徑賽的同學有多少人？

例15（開放探究題）定義集合A和B的運算為A*B={xIxeA且xeB},試寫出含

有幾何運算符號“*”、“U”、“n”，并對任意集合A和B都成立的一個式子

例16我們知道，如果集合AqU,那么U的子集A的補集為C°A={x|xeU,且xCA},

類似地，對于集合A、B,我們把集合{xIxeA,且xeB}叫做A與B的差集，記作A-B,

例如A={1,2,3,5,8},B={4,5,6,7,8},則A-B={1,2,3,},B-A={4,6,7}。

據(jù)此，回答以下問題：

（1）補集與差集有什么異同點？

⑵若U是高一⑴班全體同學的集合，A是高一⑴班全體女同學組成的集合，求U-A

及CQ

⑶在圖1-1-24所示的各圖中，用陰影

表示集合A-B

S1-1-24

⑷如果A-B=0,那么A與B之間具

有怎樣的關系。

高考要點闡釋

例1(2008?陜西高考)2,3,4,5),集合A={xIx?-3x+2=0},

B={x|x=2a,aeA）,則集合（AUB）中元素的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

例2(2008?上海高考)若集合A={xIxW2},B={xIxea},滿足AP|B={2},則實

數(shù)a=.

例3(2008?北京高考)已知集合A={xI-2WxW3},B={xIx<-l或x>4},則集合

A「B等于()

A.{x|x<3或x>4}B.{x|-1<x<3}C,{x|3<x<4}D.{x|-2<x<-l}

1.2函數(shù)及其表示

例1判斷下列對應是否為函數(shù)

2

(l)x——，X#),xeR；(2)x->y,這里y?=x,xeN,yeR

X

2.1指數(shù)函數(shù)

例1求下列各式的值

⑴y（-2）3=（2）,（一2）4=（3）y（3-萬）6=

(4)+2xy+/二

例2⑴把下列各式中的a寫成分數(shù)指數(shù)塞的形式（a>0）；

①a5=256②a7=28③a-7=56④a-3n=35,w(m,HGN*)

3

⑵計算：①95

_3

②162

例4化簡（式中字母都是正數(shù)）

⑴(x&y75)在

⑵(2x五+3y-6)(2x&-3y)

ii6

⑶4xc?3x百(-y'")?y3

例化簡下列各式

-2-7-2-7

(小1)—工~+丁~T"-工~一~丁2

x3+y3x3-y3

41

排-8”b.Z1

⑵-1-------------(1233

a

a'+2>/ab+4加

典型例題

題型一、根式的性質

a2

例1求值(a>0).

&?

例2計算：⑴75-276+75+276

(2)^2+yj~5+^2--J~5

題型二、分數(shù)指數(shù)辱及運算性質

1.計算問題：例3計算：W/H療療

2.化簡問題：例4化簡下列各式：⑴后，+御寧廬十水聲7?

⑵(xT+x+x°)(x5-尤“)

3.帶附加條件的求值問題

例5已知a"a《=3,求下列各式的值:

⑴a+a-1

⑵a2+.a-2

33

⑶-r

-。5

數(shù)學思想方法

一、化歸與轉化思想

例6化簡:(a>0,b>0).

二、整體代換思想

例7⑴已知2，+2-,=。（常數(shù)），求8,+8r的值。

??

(2)已知x+y=12,xy=9,且x<y,求一j-彳的值。

—十/

創(chuàng)新、拓展、實踐

1.數(shù)學與科技

例8已知某兩星球間的距離d[=3.12X1（）34千米，某兩分子間的距離d?=3.12X10-32

米，請問兩星球間距離是兩分子間距離的多少倍？

2.創(chuàng)新應用題

例9已知a、b是方程x?-6x+4=0的兩根，且a>b>0,求坦金的值。

Na+八

3.開放探究題

例10已知a>0,對于0養(yǎng)8,reN,,式子（、份）~（上）,能化為關于a的整數(shù)指

Va

數(shù)幕的可能情形有兒種？

高考要點闡釋（寫出解題的過程）

13[3_11

例1（2008?重慶文高考）若x>0,則（2x4+32）（2x4-32）-4xW?（x-）

I―-1-1

例2(上海高考)若X1、X2為方程2，=(/)，的兩個實數(shù)解，則X1+X2=.

例3(北京高考改編)函數(shù)f(x)=a'(a>0,且存1)對于任意的實數(shù)x、y都有()

A.f(x,y)=f(x)?f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)

C.f(x+y)=f(x)?f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)

名師專家點穴

一、巧用公式

引入負指數(shù)器及分數(shù)指數(shù)幕后，初中的平方差、立方差、完全平方公式有了新的特征；如:

111I112

-

222-2-2-3一33-

a-+aa+2+a+bab+b

一(a

例1化簡下列各式

」1

(1)(x-+X+1)(X-x^)

二、整體帶入

1-1Y+-2—2

例2已知x2+x2=3求,、的值。

門+上5-3

例3計算(1+)(1+)…(1+-7-)(1+4)(1+!).

220482102424222

三、根式、小數(shù)化為指數(shù)累

,173----

例4計算(0.0081)4.口><(與ori?[81?25+(3巳)3]2

88

2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質

例1指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)

(1)y=4'；(2)y=x4；(3)y=-4'；(4)y=(-4)x；(5)y=乃*;(6)y=4x2；

⑺y=x*；(8)y=(2a-1)'(a>；,且aW1)

例2比較下列各題中兩個值的大小。

⑴1.72—5,1,73；(2)0.8,0.8-0-2；⑶1.7°3,0.931

例3求下列函數(shù)的定義域和值域:

⑶廠中F

(1)y-V1—2,；(2)y=2、T

教材問題探究

1.函數(shù)圖像的變換

例1畫出下列函數(shù)的圖像，并說明他們是由函數(shù)f(x)=2,的圖像經過怎樣的變換得

到的。

(1)y=2X-1；⑵y=2"i；(3)y=23：(4)y=|2V-1|；

(5)y=-2V；(6)y=-2-x

2.圖像變換的應用

例2設f(x)=|3X-1|,c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),則下列關系式中一定成立的

是()

A.3c<3fcB,3C>3&C.3,+3">2D.3C+30<2

探究學習

例3選取底數(shù)a(a>0,且aH1)的若干個不同的值，在同一平面直角坐標系內作出

相應的指數(shù)函數(shù)的圖像.觀察圖像，你能發(fā)現(xiàn)他們有哪些共同特征？

典型例題精析

題型一指數(shù)函數(shù)的定義

例1函數(shù)丫=52+32+3)2*是指數(shù)函數(shù)，則2的值為

題型二指數(shù)函數(shù)的圖像和性質

1.過定點問題

例2函數(shù)y=2"T+3恒過定點.

2.指數(shù)函數(shù)的單調性

例3討論函數(shù)f(x)=(：)/3的單調性，并求其值域。

ax-1

例4已知函數(shù)f(x)=--------(a>1)

ax+1

(1)求該函數(shù)的值域；⑵證明f(x)是R上的增函數(shù)

3.指數(shù)函數(shù)的圖像

例5若函數(shù)y=a*+b-1(a>0,且afl)的圖象經過第一、三、四象限，則一定

有（）

A.a>l,且b<lB.O<a<l,且b<0

C.0<a<l,且b>0D.a>l,且b<l

變試訓練1：當aWO時，函數(shù)y=ax+1）和丫=b"的圖象只可能是下列中的（）

題型三指數(shù)函數(shù)圖像和性質的綜合應用

1.比較大小

例6右圖是指數(shù)函數(shù)：①y=a"②y=b]③

④y=d*的圖象，則a、b、c、d與1的大小關系是（

A.a<b<l<c<dB.b<a<l<d<c

C.l<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

2,解不等式

例7⑴解不等式rW2.

⑵已知年+4+2y>任+4+2廠，則X的取值范圍是—

|2、-1（x40）,

⑶設函數(shù)f（x）=<1若f（x0）>l,則X。的取值范圍是（）

[X，（XA0）,

變試訓練2：設y「a3A+1=a,其中a>0,a￥l,確定x為何值時,

，y2

有：⑴；

yi=y2⑵Yi>y2-

3.定義域和值域

例8求下列函數(shù)的定義域與值域

?

(1)y=2與；(2)y=r

例3已知TWxW2,求函數(shù)f(x)=3+2?3田一9’的值域

4.指數(shù)方程

例10解方程：3X+2-32-X-80

例”若方程(“+cr+a=0有正數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-00,1)B.(-oo,2)C.(-3,-2)D.(-3,0)

5.單調性問題

例12已知a>0且aWl,討論f(xhaT="?的單調性

例13設a>0,f(x)=幺+e在R匕滿足f(-x)=f(x)。

aex

⑴求。的值⑵證明：f(x)在(0,+oo)上是增函數(shù)

6.奇偶性問題

(11A

例14已知函數(shù)f(x)=-----+—*x3.

(272；

⑴求f(x)的定義域

⑵討論f（x）的奇偶性

(3)證明f(x)>0

題型四指數(shù)函數(shù)的實際應用

例15截止到1999年底，我國人口約13億。如果今后能將人口平均增長率控制在

1%.那么經過20年后，我國人口約為多少？（精確到億）

數(shù)學思想方法

一、數(shù)形結合思想

1.比較大小

例16比較3Ts和4f7

2.求參數(shù)的取值范圍

例17關于x的方程（31=如土2有負根，求。的取值范圍。

<4；5-?

3.研究函數(shù)的單調性

例18求函數(shù)y=71-2V+I+22V的單調區(qū)間

二、分類討論思想

例19根據(jù)下列條件確定實數(shù)x的取值范圍7H力(a>0且a#l)

三、函數(shù)與方程思想

例20已知x,yeR,且3*+5*>37+5-t,求證x+y>0.

創(chuàng)新、拓展、實踐

1.數(shù)學與科技

例21家用電器（如冰箱等）使用的氟化物的釋放破壞了大氣中的臭氧層。臭氧含量

Q呈指數(shù)函數(shù)型變化，滿足關系式Q=Q0e40025，，其中Q0是臭氧的初始量，t為時間。

⑴隨著時間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？

⑵多少年以后將會有一半的臭氧消失？

例22某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定

的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）

與時間t（小時）之間近似滿足右圖所示的曲線。

（1）寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關系式y(tǒng)=f（t）；

⑵據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微

克時，治療疾病有效。求服藥一次治療疾病有效的時間。

2.數(shù)學與生產

例23某工廠今年1月、2月、3月生產某產品的數(shù)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3

萬件，為了估測以后各月的產量，以這三個的月產量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬產品月產量y

（萬件）與月份數(shù)x的關系，根據(jù)經驗，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或丫=2放+。（其中a、

b、c為常數(shù)），已知4月份該產品產量為1.37萬件，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較

好？并求此函數(shù)的解析式。

3.創(chuàng)新應用

4*

例24設f(x)=--------,若0<a<l,試求:

4*+2

(1)f(a)+f(l-a)的值

⑵

高中數(shù)學必修4

第一章三角函數(shù)

三角函數(shù)是中學數(shù)學的重要內容，還是學習解三角形、向量、立體幾何中有關內容的

重要工具。

學法指導：1.要掌握三角函數(shù)中各個函數(shù)的基本概念，熟悉他們之間的內在聯(lián)系。

2.在熟練掌握概念、公式的基礎上，要不斷總結解題規(guī)律，掌握變形方法

與技巧。