課時(shí)提升練(三十)數(shù)列求和一、選擇題1．?dāng)?shù)列{1＋2n－1}的前n項(xiàng)和為()A．1＋2nB．2＋2nC．n＋2n－1 D．n＋2＋2n【解析】設(shè)前n項(xiàng)和Sn，則Sn＝1＋20＋1＋2＋1＋22＋…＋1＋2n－1＝n＋eq\f(1－2n,1－2)＝n＋2n－1.【答案】C2．(2012·福建高考)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝ncoseq\f(nπ,2)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2012等于()A．1006B．2012C．503D．0【解析】a1＝coseq\f(π,2)＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….∴數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)為0，前2012項(xiàng)的所有偶數(shù)項(xiàng)(共1006項(xiàng))依次為－2,4，－6,8，…故S2012＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2010＋2012)＝1006.【答案】A3．?dāng)?shù)列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則數(shù)列{an}的前12項(xiàng)和等于()A．76 B．78C．80 D．82【解析】由已知an＋1＋(－1)nan＝2n－1得，an＋2＋(－1)n＋1an＋1＝2n＋1，∴an＋2＋an＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)．取n＝1,5,9及n＝2,6,10，結(jié)果相加可得S12＝a1＋a2＋…＋a11＋a12＝78.【答案】B4．已知函數(shù)f(x)＝xa的圖像過點(diǎn)(4,2)，令an＝eq\f(1,fn＋1＋fn)，n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2014＝()A.eq\r(2013)－1 B.eq\r(2014)－1C.eq\r(2015)－1 D.eq\r(2015)＋1【解析】由f(4)＝2得4a＝2.∴a＝eq\f(1,2)，則f(x)＝xeq\f(1,2)，∴an＝eq\f(1,fn＋1＋fn)＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，S2014＝a1＋a2＋a3＋…＋a2014＝(eq\r(2)－eq\r(1))＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(4)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(2015)－eq\r(2014))＝eq\r(2015)－1.【答案】C5．(2014·南寧模擬)數(shù)列{an}中，已知對(duì)任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A．(3n－1)2 B.eq\f(1,2)(9n－1)C．9n－1 D.eq\f(1,4)(3n－1)【解析】∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2時(shí)，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1時(shí)，a1＝2適合上式，∴an＝2·3n－1，故數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}是首項(xiàng)為4，公比為9的等比數(shù)列．因此aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝eq\f(41－9n,1－9)＝eq\f(1,2)(9n－1)．【答案】B6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－6n，則{|an|}的前n項(xiàng)和Tn＝()A．6n－n2 B．n2－6n＋18C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6n－n21≤n≤3，,n2－6n＋18n＞3)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6n－n21≤n≤3，,n2－6nn＞3))【解析】∵Sn＝n2－6n，∴{an}是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為－5，公差為2，∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，∴n≤3時(shí)，an＜0，n＞3時(shí)，an＞0，∴Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6n－n21≤n≤3，,n2－6n＋18n＞3.))【答案】C二、填空題7．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(2n－1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.【解析】由題意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.【答案】1008．在等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，前99項(xiàng)的和S99＝30，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.【解析】∵S99＝30，∴a1(299－1)＝30，∵數(shù)列a3，a6，a9，…，a99也成等比數(shù)列且公比為8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝eq\f(4a11－833,1－8)＝eq\f(4a1299－1,7)＝eq\f(4,7)×30＝eq\f(120,7).【答案】eq\f(120,7)9．若eq\f(1＋3＋5＋…＋2x－1,\f(1,1·2)＋\f(1,2·3)＋…＋\f(1,xx＋1))＝110(x∈N*)，則x＝________.【解析】原式分子為1＋3＋5＋…＋(2x－1)＝eq\f(1＋2x－1x,2)＝x2，原式分母為eq\f(1,1·2)＋eq\f(1,2·3)＋…＋eq\f(1,xx＋1)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,x)－eq\f(1,x＋1)＝eq\f(x,x＋1)，故原式＝eq\f(x2,\f(x,x＋1))＝x2＋x＝110，x＝10.【答案】10三、解答題10．(2014·大綱全國卷)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝10，a2為整數(shù)，且Sn≤S4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.【解】(1)由a1＝10，a2為整數(shù)，知等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù)．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.解得－eq\f(10,3)≤d≤－eq\f(5,2).因此d＝－3.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝13－3n.(2)bn＝eq\f(1,13－3n10－3n)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10－3n)－\f(1,13－3n))).于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－\f(1,10)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,7)))＋…＋eq\f(1,10－3n)－eq\f(1,13－3n)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10－3n)－\f(1,10)))＝eq\f(n,1010－3n).11．(2012·江西高考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k，并求an；(2)求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9－2an,2n)))的前n項(xiàng)和Tn.【解】(1)當(dāng)n＝k∈N＋時(shí)，Sn＝－eq\f(1,2)n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－eq\f(1,2)k2＋k2＝eq\f(1,2)k2，故k2＝16，因此k＝4，從而an＝Sn－Sn－1＝eq\f(9,2)－n(n≥2)．又a1＝S1＝eq\f(7,2)，所以an＝eq\f(9,2)－n.(2)因?yàn)閎n＝eq\f(9－2an,2n)＝eq\f(n,2n－1)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋eq\f(2,2)＋eq\f(3,22)＋…＋eq\f(n－1,2n－2)＋eq\f(n,2n－1)，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,2n－2)－eq\f(n,2n－1)＝4－eq\f(1,2n－2)－eq\f(n,2n－1)＝4－eq\f(n＋2,2n－1).12．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)＋1))an(n∈N*)．(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和為Tn，An＝eq\f(1,T1)＋eq\f(1,T2)＋eq\f(1,T3)＋…＋eq\f(1,Tn)，試比較An與eq\f(2,nan)的大?。窘狻?1)證明：由a1＝S1＝2－3a1得a1＝eq\f(1,2)，當(dāng)n≥2時(shí)，由an＝Sn－Sn－1得eq\f(an,n)＝eq\f(1,2)×eq\f(an－1,n－1)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是首項(xiàng)和公比均為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．(2)由(1)得eq\f(an,n)＝eq\f(1,2n)，于是2n·an＝n，Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).所以eq\f(1,Tn)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，于是An＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1)，而eq\f(2,nan)＝eq\f(2n＋1,n2)，所以問題轉(zhuǎn)化為比較eq\f(2n,n2)與eq\f(n,n＋1)的大?。O(shè)f(n)＝eq\f(2n,n2)，g(n)＝eq\f(n,n＋1)，當(dāng)n≥4時(shí)，f(n)≥f(4)＝1，而g(n)＜1，所以f(n)＞