專題02數(shù)軸上動點問題的三種考法【知識點梳理】1.數(shù)軸上兩點間的距離數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)為分別為a、b，則A與B間的距離AB=|a－b|；2.數(shù)軸上點移動規(guī)律數(shù)軸上點向右移動則數(shù)變大（增加），向左移動數(shù)變?。p?。?；當(dāng)數(shù)a表示的點向右移動b個單位長度后到達點表示的數(shù)為a+b；向左移動b個單位長度后到達點表示的數(shù)為a－b.類型一、求值（速度、時間、距離）例1．?dāng)?shù)軸上點A表示的數(shù)為10，點M，N分別以每秒a個單位長度、每秒b個單位長度的速度沿數(shù)軸運動，a，b滿足．

(1)請直接寫出______，______；(2)如圖1，點M從A出發(fā)沿數(shù)軸向左運動，到達原點后立即返回向右運動；同時點N從原點O出發(fā)沿數(shù)軸向左運動，運動時間為t，點P為線段的中點．若，求t的值；(3)如圖2，若點M從原點向右運動，同時點N從原點向左運動，運動時間為t．當(dāng)以M，N，O，A為端點的所有線段的長度和為109時，求出此時點M對應(yīng)的數(shù)．例2．如圖，點O為數(shù)軸原點，點A、B、C都在數(shù)軸上，．已知點A表示的數(shù)為．

(1)直接寫出點B表示的數(shù)；(2)一動點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動；另一動點Q同時從點B出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，已知P、Q兩點恰好在點C相遇，求點C表示的數(shù)．(3)在（2）的條件下，當(dāng)點P分別到A、B、C三點的距離之和為68個單位長度時，求點P的運動時間．例3．如圖1，點在射線上，，，點從點出發(fā)，沿方向以的速度向右勻速運動，點從點出發(fā)，在線段上向左勻速運動，兩點同時出發(fā)．

(1)若點運動速度為，當(dāng)點和點都運動到線段上，且點恰好為線段的中點時，求點運動的時間；(2)如圖2，若點也為射線上一點，且，當(dāng)時，點運動到線段上且恰好滿足，求點的運動速度．例4．如圖將一條數(shù)軸在原點，點，點，點處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點表示，點表示，點表示，點表示，點表示，我們稱點和點在數(shù)軸上相距個長度單位．動點從點出發(fā)，以單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，同時，動點從點出發(fā)，以單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動，兩點上坡時速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话?，下坡時速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀?，平地則保持初始速度不變．當(dāng)點運動至點時則兩點停止運動，設(shè)運動的時間為秒．問：

(1)動點從點運動至點需要秒，此時點對應(yīng)的點是．(2)，兩點在點處相遇，求出相遇點所對應(yīng)的數(shù)是多少？(3)求當(dāng)為何值時，，兩點在數(shù)軸上相距的長度與，兩點在數(shù)軸上相距的長度相等．【變式訓(xùn)練1】已知多項式的常數(shù)項是a，次數(shù)是b，若a、b兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點為A、B，點A位于點B的左邊．

(1)數(shù)軸上A點表示的數(shù)為______，B點表示的數(shù)為______．(2)數(shù)軸上在B點右邊有一點C，點C到A、B兩點的距離和為13，求點C在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)．(3)若P、Q兩點分別從A、B出發(fā)，同時沿數(shù)軸正方向運動，O為數(shù)軸原點，P點的速度是Q點速度的2倍，且3秒后，，求點Q運動的速度．【變式訓(xùn)練2】，分別是數(shù)軸上兩個不同點A，所表示的有理數(shù)，且，，A，兩點在數(shù)軸上的位置始圖所示：

(1)直接寫出數(shù)，的值；(2)A，兩點相距多少個單位長度？(3)若點在數(shù)軸上，點到點的距離是點到A點距離的，求點考示的數(shù)；(4)點從A點出發(fā)，先向左移動一個單位長度，再向右移動2個單位長度，再向左移動3個單位長度，再向右移動4個單位長度，依次操作2022次后，求點表示的數(shù)．【變式訓(xùn)練3】已知數(shù)軸上的A、B兩點分別對應(yīng)的數(shù)字為a、b，且a、b滿足．

(1)求a、b的值；(2)點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，出發(fā)后經(jīng)過t秒鐘，P、A、B三點中其中一個點到另外兩個點的距離相等，求出此時t值；(3)數(shù)軸上還有一點C對應(yīng)的數(shù)為40，若點P從A點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向C點運動，同時，點Q從B點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度向正方向運動，點P運動到C點后立即返回再沿數(shù)軸向左運動．當(dāng)時，求點P運動的時間．【變式訓(xùn)練4】已知：b是最小的正整數(shù)，且a、b、c滿足，請回答問題．

(1)請直接寫出a、b、c的值．______，______，______；(2)a、b、c所對應(yīng)的點分別為A、B、C，點P為一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x，點P在0到2之間運動時即（時），請化簡式子：（請寫出化簡過程）；(3)在（1）（2）的條件下，點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度也向左運動，運動時間為t，是否存在t，使A、B、C中一點是其它兩點的中點，若存在，求t的值，若不存在，說明理由．類型二、定值問題例．已知M，N兩點在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為m，n，且m，n滿足：．

(1)求m、n的值；(2)①情境：有一個玩具火車如圖1所示，放置在數(shù)軸上，將火車沿數(shù)軸左右水平移動，當(dāng)點A移動到點B時，點B所對應(yīng)的數(shù)為m，當(dāng)點B移動到點A時，點A所對應(yīng)的數(shù)為n．則玩具火車的長為__________個單位長度；②應(yīng)用：如圖1所示，當(dāng)火車勻速向右運動時，若火車完全經(jīng)過點M需要2秒，則火車的速度為__________個單位長度/秒．(3)在（2）的條件下，當(dāng)火車勻速向右運動，同時點P和點Q從N、M出發(fā)，分別以每秒1個單位長度和2個單位長度的速度向左和向右運動，記火車運動后對應(yīng)的位置為．是否存在常數(shù)k使得的值與它們的運動時間無關(guān)？若存在，請求出k和這個定值：若不存在，請說明理由．【變式訓(xùn)練1】如圖，數(shù)軸上有三個點，，，表示的數(shù)分別是，，．

(1)若使、兩點的距離是、兩點的距離的3倍，則需將點向右移動________個單位：(2)點、、開始在數(shù)軸上運動，若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時，點和點分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向右運動，設(shè)運動時間為秒：①點、、表示的數(shù)分別是_______、_______、_______（用含、的代數(shù)式表示）：②若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為，當(dāng)為何值時，的值不會隨著時間的變化而改變．【變式訓(xùn)練2】如圖，在數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)，且

(1)填空，_______________，_______________；(2)若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為，已知點為數(shù)軸上一動點，且滿足，求出點表示的數(shù)；(3)若點以每秒個單位長度的速度向左運動，同時點以每秒個單位長度的速度向右運動，動點從原點開始以每秒個單位長度運動，運動時間為秒，運動過程中，點始終在、兩點之間上，且的值始終是一個定值，求點運動的方向及的值，【變式訓(xùn)練3】如圖，在數(shù)軸上點A、B、C表示的數(shù)分別為、、，點A與點B之間的距離表示為，點B與點C之間的距離表示為，點A與點C之間的距離表示為．(1)、、；(2)若點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，點Q以每秒3個單位長度的速度從點C出發(fā)，P、Q同時同向而行，運動時間為t秒，經(jīng)過多少秒后，點P、Q兩點相距2個單位長度？(3)若點D從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向左運動，點E從B點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向右運動，點F從C點出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度向右運動，設(shè)點D、E、F同時出發(fā)，運動時間為t秒，問的值是否隨著時間t的變化而變化？請說明理由．【變式訓(xùn)練4】如圖所示，數(shù)軸上有，，，四個點，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，且滿足．已知（單位長度），（單位長度）．(1)求點和點分別表示的數(shù)；(2)若線段以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運動，設(shè)運動時間為秒，當(dāng)（單位長度）時，求的值；(3)若動點從表示數(shù)的點開始以每秒5個單位長度的速度向右運動，且滿足的值不隨點運動時間的變化而改變，求的值．類型三、數(shù)量關(guān)系問題例．已知在數(shù)軸上有A，B兩點，點A表示的數(shù)為8，點B在A點的左邊，且．若有一動點P從數(shù)軸上點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向點B勻速運動，動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著數(shù)軸向點A勻速運動，規(guī)定其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t秒．(1)【解決問題】：①當(dāng)秒時，寫出數(shù)軸上點P，Q所表示的數(shù)；②問點P運動多少秒與點Q相距3個單位長度？(2)【探索問題】：若為的中點，為的中點，直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系．【變式訓(xùn)練1】已知數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)的數(shù)分別是a，b，其中a，b分別為單項式的系數(shù)和次數(shù)，點P為數(shù)軸上的一動點．(1)A，B兩點的距離__________；(2)在數(shù)軸上是否存在點P，使？若存在，請求出點P對應(yīng)的數(shù)；若不存在，請說明理由；(3)若點P以每秒1個單位的速度從點O（點O對應(yīng)的數(shù)是0）出發(fā)向右勻速運動，同時點A以每秒5個單位的速度向左勻速運動，點B以每秒8個單位的速度向右勻速運動．在運動的過程中，M，N分別是，的中點，設(shè)運動時間為t秒．①請用含t的代數(shù)式表示；②隨著時間t的變化，與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【變式訓(xùn)練2】如圖，已知在數(shù)軸上有A，B兩點，點A表示的數(shù)為8，點B在A點的左邊，且．若有一動點P從數(shù)軸上點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運動．設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)解決問題：①當(dāng)時，寫出數(shù)軸上點B，P所表示的數(shù)；②若點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，問點P運動多少秒與點Q相距3個單位長度？(2)探索問題：若M為AQ的中點，N為BP的中點．當(dāng)點P在A，B兩點之間運動時，探索線段MN與線段PQ的數(shù)量關(guān)系（寫出過程）．課后訓(xùn)練1．已知數(shù)軸上有A，B，C三點，分別表示，，6，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點同時出發(fā)，甲的速度是每秒4個單位，乙的速度是每秒3個單位．(1)，．(2)若甲、乙相向而行，則甲、乙在多少秒后數(shù)軸上相遇？該相遇點在數(shù)軸上表示的數(shù)是什么？(3)若甲、乙相向而行，則多少秒后甲到A，B，C三點的距離之和為23個單位？(4)在（3）的條件下，當(dāng)甲到A，B，C三點的距離之和為23個單位時，甲調(diào)頭返回，則甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，并求出相遇點在數(shù)軸上表示的數(shù)；若不能，請說明理由．2．【背景知識】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點A、點B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點之間的距離，線段的中點表示的數(shù)為．【問題情境】如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為8，點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設(shè)運動時間為t秒．【綜合運用】(1)填空：用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點P表示的數(shù)為；點Q表示的數(shù)為．(2)求當(dāng)t為何值時，P、Q兩點相遇；(3)求當(dāng)t為何值時，；(4)若點為的中點，點為的中點，點在運動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段的長．3．如圖，數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)的有理數(shù)分別為和20、點P從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向勻速運動，同時，點Q從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向勻速運動．設(shè)運動時間為秒．(1)當(dāng)時，線段的長度是___________；當(dāng)時，線段的長度是___________．(2)當(dāng)時，求所有符合條件的t的值，并求出此時點Q所對應(yīng)的數(shù)．(3)若點P一直沿數(shù)軸的正方向運動，點Q運動到點B時，立即改變運動方向，沿數(shù)軸的負方向運動，到達點A時，隨即停止運動，在點Q的整個運動過程中，直接寫出所有使得線段的t值．5．已知數(shù)軸上的、兩點分別對應(yīng)的數(shù)字為、，且、滿足．(1)直接寫出：______，______；(2)從出發(fā)，以每秒個長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，何時，，三點中其中一個點到另外兩個點的距離相等？求出相應(yīng)的時間；(3)數(shù)軸上還有一點對應(yīng)的數(shù)為，若點從出發(fā)，以每秒個單位的速度向點運動，同時，從點出發(fā)，以每秒個長度的速度向正方向運動，點運動到點立即返回再沿數(shù)軸向左運動．當(dāng)時，求運動的時間．6．已知式子是關(guān)于x的二次多項式，且二次項系數(shù)為b，，數(shù)軸上A，B、C三點所對應(yīng)的數(shù)分別是a、b和c，點A，B沿數(shù)軸同時出發(fā)相向勻速運動，點B的速度為每秒2個單位長度，4秒后兩點相遇．(1)求點A的運動速度；(2)若點A與點B之間的距離記為，原點