第五章三角函數(shù)5.1.1任意角人教A版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)現(xiàn)實(shí)中存在很多周期變化的現(xiàn)象,這些現(xiàn)象的背后與三角函數(shù)密不可分.本單元重點(diǎn)研究與“周而復(fù)始”現(xiàn)象相關(guān)的函數(shù)——三角函數(shù).學(xué)習(xí)中,我們一方面要拓展角度的范圍,使之成為任意角;另一方面,我們要引入弧度制,為三角函數(shù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.本單元的研究路徑為:任意角——任意角的分類——弧度制的定義——角度制與弧度制的換算.這是學(xué)習(xí)本單元的知識(shí)明線,具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)如圖所示:學(xué)習(xí)單元1

任意角和弧度制

本學(xué)習(xí)單元的最終目標(biāo)是掌握任意角和弧度制,理解任意角的定義、分類;理解弧度制的定義,同時(shí)理解為何將角度制化為弧度制,具體的換算規(guī)則是什么.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解任意角的概念,能區(qū)分各類角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握象限角的概念,并會(huì)用集合表示象限角.(直觀想象)3.理解終邊相同的角的含義及表示,并能解決有關(guān)問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一:任意角1.角的概念:平面內(nèi)的

繞著它的端點(diǎn)

所成的圖形.

2.角的分類按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為三類:類型定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角

負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按

方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角一條射線沒(méi)有做

,就稱它形成了一個(gè)零角

一條射線旋轉(zhuǎn)順時(shí)針任何旋轉(zhuǎn)3.相等角與角的加減(1)相等角:設(shè)角α由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成,角β由射線O'A'繞端點(diǎn)O'旋轉(zhuǎn)而成.如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等,那么就稱α=β.(2)相反角:把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角.角α的相反角記為-α.(3)設(shè)α,β是任意兩個(gè)角.我們規(guī)定,把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β,這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α+β.名師點(diǎn)睛角的概念推廣后,角的大小可以任意取值.把角放在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究,對(duì)于一個(gè)給定的角,都有唯一的一條終邊與之對(duì)應(yīng),并使得角具有代數(shù)和幾何雙重意義.微思考始邊與終邊重合的角一定是零角嗎?提示

不一定.只有始邊沒(méi)做任何旋轉(zhuǎn),始邊與終邊重合的角才是零角.知識(shí)點(diǎn)二:象限角與終邊相同的角1.象限角在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.2.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與360°整數(shù)倍的和.名師點(diǎn)睛對(duì)于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解應(yīng)注意三點(diǎn):(1)α是任意角.(2)“k∈Z”有三層含義:①特殊性:每取一個(gè)整數(shù)值就對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的角.②一般性:表示所有與角α終邊相同的角(包括α自身).③從幾何意義上看,k表示角的終邊按一定的方向旋轉(zhuǎn)的圈數(shù),k取正整數(shù)時(shí),逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn);k取負(fù)整數(shù)時(shí),順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn);k=0時(shí),沒(méi)有旋轉(zhuǎn).(3)集合中“k·360°”與“α”之間用“+”連接,如k·360°-30°應(yīng)看成k·360°+(-30°),表示與-30°角終邊相同的角.微思考若角的始邊相同,相等的角終邊相同嗎?反過(guò)來(lái),終邊相同的角相等嗎?提示

相等的角終邊一定相同.但終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問(wèn)題1現(xiàn)實(shí)世界中存在大量的周期變化現(xiàn)象,圓周運(yùn)動(dòng)是一種最簡(jiǎn)單、最直觀描述周期性變化的載體,如何刻畫(huà)圓周上一點(diǎn)位置的變化?問(wèn)題2可以發(fā)現(xiàn),借助角的大小變化容易刻畫(huà)圓周上點(diǎn)的位置變化,但在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,初中所學(xué)角的范圍已不能滿足要求,如何解決?探究點(diǎn)一任意角的概念問(wèn)題3如何用量化的方式刻畫(huà)任意角?【例1】

(多選題)下列說(shuō)法不正確的是(

)A.三角形的內(nèi)角不一定是第一、二象限角B.始邊相同,終邊相同的角不一定相等C.鈍角比第三象限角小D.小于180°的角是鈍角、直角或銳角CD解析

A中90°的角既不是第一象限角,也不是第二象限角,故A正確;B中始邊相同,終邊相同的角不一定相等,如360°和720°,故B正確;C中鈍角是大于-100°的角,而-100°的角是第三象限角,故C不正確;D中零角或負(fù)角是小于180°的角,但它既不是鈍角,也不是直角或銳角,故D不正確.規(guī)律方法

理解與角的概念有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念,弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧,判斷結(jié)論正確需要證明,而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可.探究點(diǎn)二坐標(biāo)系中角的概念及其表示問(wèn)題4角的范圍推廣到了任意角,對(duì)于終邊相同的角如何用代數(shù)方式表示?1.終邊相同的角的求解【例2】

寫(xiě)出與75°角終邊相同的角的集合,并求在360°~1080°范圍內(nèi)與75°角終邊相同的角.分析

根據(jù)與角α終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+α,k∈Z},寫(xiě)出與75°角終邊相同的角的集合,再取適當(dāng)?shù)膋值,求出360°~1

080°范圍內(nèi)的角.解

與75°角終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.當(dāng)360°≤β<1

080°時(shí),即360°≤k·360°+75°<1

080°,又k∈Z,所以k=1或k=2.當(dāng)k=1時(shí),β=435°;當(dāng)k=2時(shí),β=795°.綜上所述,在360°~1

080°范圍內(nèi)且與75°角終邊相同的角為435°角和795°角.規(guī)律方法

求與已知角α終邊相同的角時(shí),要先將這樣的角表示成k·360°+α(k∈Z)的形式,然后采用賦值法求解或解不等式,確定k的值,求出滿足條件的角.問(wèn)題5如果拓展到終邊在某條直線上的角如何代數(shù)表示?2.終邊在某條直線上的角的集合【例3】

寫(xiě)出終邊在如圖所示的直線上的角的集合.(1)(2)(3)解(1)在0°~360°范圍內(nèi),終邊在直線y=0上的角有兩個(gè),即0°和180°,又所有與0°角終邊相同的角的集合為S1={β|β=0°+k·360°,k∈Z},所有與180°角終邊相同的角的集合為S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,終邊在直線y=0上的角的集合為S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.(2)由圖形易知,在0°~360°范圍內(nèi),終邊在直線y=-x上的角有兩個(gè),即135°和315°,因此,終邊在直線y=-x上的角的集合為S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+k·180°,k∈Z}.(3)終邊在直線y=x上的角的集合為{β|β=45°+k·180°,k∈Z},結(jié)合(2)知所求角的集合為S={β|β=45°+k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+k·90°,k∈Z}.規(guī)律方法

終邊落在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{x|x=k·360°,k∈Z};終邊落在x軸的非正半軸上的角的集合為{x|x=k·360°+180°,k∈Z};終邊落在x軸上的角的集合為{x|x=k·180°,k∈Z};終邊落在y軸的非負(fù)半軸上的角的集合為{x|x=k·360°+90°,k∈Z};終邊落在y軸的非正半軸上的角的集合為{x|x=k·360°-90°,k∈Z};終邊落在y軸上的角的集合為{x|x=k·180°+90°,k∈Z};終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合為{x|x=k·90°,k∈Z}.問(wèn)題6若角的終邊界于某個(gè)區(qū)域內(nèi),可否用不等式表示這個(gè)區(qū)域的角?3.區(qū)域角的求解【例4】

如圖所示,寫(xiě)出頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊為x軸的非負(fù)半軸,終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(包括邊界).分析

(1)要注意角的起始邊界與終止邊界的書(shū)寫(xiě);(2)注意角的終邊規(guī)律性重復(fù)出現(xiàn).(1)(2)解(1)對(duì)于陰影部分,終邊落在陰影部分內(nèi)角的集合為{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°,k∈Z}.(2)對(duì)于陰影部分,集合為{α|60°+k·180°≤α≤90°+k·180°,k∈Z}.延伸探究1若將本例(1)改為如圖所示的圖形,那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示?解

陰影部分(包括邊界),則所有滿足條件的角β為{β|k·360°+150°≤β≤k·360°+225°,k∈Z}.延伸探究2若將本例(2)改為如圖所示的圖形,那么終邊落在陰影部分的角的集合如何表示?解

在0°~360°范圍內(nèi),終邊落在陰影部分的角為{β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.故角β的取值集合為{β|n·180°+60°≤β<n·180°+105°,n∈Z}.規(guī)律方法

區(qū)域角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角.其寫(xiě)法可分為三步:(1)借助圖形,在直角坐標(biāo)系中先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始邊界和終止邊界;(2)按由小到大的順序分別標(biāo)出起始邊界和終止邊界對(duì)應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β;(3)分別將起始邊界、終止邊界的對(duì)應(yīng)角α,β加上360°的整數(shù)倍,即可求得區(qū)域角.探究點(diǎn)三

確定nα及

所在的象限

問(wèn)題7若一個(gè)角在某個(gè)區(qū)域內(nèi),則與該角成倍數(shù)關(guān)系的角又在哪個(gè)區(qū)域?【例5】

已知α是第二象限角:(1)求角

所在的象限;(2)求角2α所在的象限.解(1)(方法1)∵α是第二象限角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z).(方法2)如圖,先將各象限分成2等份,再?gòu)膞軸非負(fù)半軸起,按逆時(shí)針?lè)较?依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,則標(biāo)有二的區(qū)域即為

的終邊所在的區(qū)域,故

為第一或第三象限角.(2)∵k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z),∴k·720°+180°<2α<k·720°+360°(k∈Z).∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.規(guī)律方法

nα或

所在象限的判斷方法(1)用不等式表示出角nα或

的范圍;(2)用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)確定角nα或

所在象限.探究點(diǎn)四角的終邊的對(duì)稱問(wèn)題問(wèn)題8若兩個(gè)角的終邊關(guān)于某些特殊直線對(duì)稱,這兩個(gè)角有怎樣的代數(shù)關(guān)系?【例6】(1)若角θ的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,則θ+α=

.

k·360°,k∈Z

解析

設(shè)角β與角α的終邊相同,則-β與β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱,根據(jù)終邊相同角的表示可得α=β+k1·360°,k1∈Z,θ=-β+k2·360°,k2∈Z,故θ+α=(-β+k2·360°)+(β+k1·360°)=(k1+k2)·360°=k·360°,k∈Z.(2)若角γ的終邊與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,則γ+α=

.

(2k+1)·180°,k∈Z解析設(shè)角β與角α的終邊相同,則180°-β與β關(guān)于y軸對(duì)稱.根據(jù)終邊相同角的表示,可得α=β+k3·360°,k3∈Z,γ=180°-β+k4·360°,k4∈Z.故γ+α=(180°-β+k4·360°)+(β+k3·360°)=[2(k3+k4)+1]·180°=(2k+1)·180°,k∈Z.規(guī)律方法

角的終邊是一條射線,在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)兩個(gè)角的終邊具有對(duì)稱性,對(duì)應(yīng)的角就有一定的關(guān)系.一般地,我們有如下結(jié)論:角α,β終邊的位置關(guān)系α,β的關(guān)系角α與β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱β=-α+k·360°(k∈Z)角α與β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱β=-α+(2k+1)·180°(k∈Z)角α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱β=α+(2k+1)·180°(k∈Z)角α與β的終邊在一條直線上β=α+k·180°(k∈Z)學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234567891011A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.下列敘述正確的是(

)A.四邊形的內(nèi)角必是第一或第二象限角B.始邊相同而終邊不同的角一定不相等C.第四象限角一定是負(fù)角D.鈍角比第三象限角小B解析

若90°角是四邊形的內(nèi)角,它不是第一或第二象限角,故A錯(cuò);280°角是第四象限角,它是正角,故C錯(cuò);-100°角是第三象限角,它比鈍角小,故D錯(cuò).B正確.12345678910112.把-1485°化成k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是(

)A.315°-5×360° B.45°-4×360°C.-315°-4×360° D.-45°-10×180°A解析

∵0°≤α<360°,∴排除C,D選項(xiàng),經(jīng)計(jì)算可知選項(xiàng)A正確.12345678910113.-495°角的終邊與下列哪個(gè)角的終邊相同(

)A.135° B.45° C.225°

D.-225°C解析

因?yàn)?495°=-2×360°+225°,所以與-495°角終邊相同的是225°角.故選C.12345678910114.如圖,終邊在陰影部分(含邊界)的角的集合是(

)A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}C解析

如題圖,終邊落在陰影部分(含邊界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.故選C.12345678910115.設(shè)α是第一象限的角,則

所在的象限為(

)A.第一象限 B.第三象限C.第一象限或第三象限 D.第二象限或第四象限C12345678910116.與-2020°角終邊相同的最小正角是

;最大負(fù)角是

.

140°

-220°解析

因?yàn)?2

020°=-6×360°+140°,140°-360°=-220°,所以最小正角為140°,最大負(fù)角為-220°.12345678910117.已知角α的終邊在圖中陰影部分所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界),寫(xiě)出角α的集合.解

在0°~360°范圍內(nèi),終邊落在陰影部分內(nèi)的角為30°<α<150°與210°<α<330°,故所有滿足題意的角α的集合為{α|k·360°+30°<α<k·360°+150°,k∈Z}∪{α|k·360°+210°<α<k·360°+330°,k∈Z}={α|n·180°+30°<α<n·180°+150°,n∈Z}.123456789101112345678910118.在0°~360°范圍內(nèi),找出與下列各角終邊相同的角,并判斷它們是第幾象限的角:(1)-120°;(2)640°.解

(1)與-120°終邊相同的角的集合為M={β|β=-120°+k·360°,k∈Z}.當(dāng)k=1時(shí),β=-120°+1×360°=240°,∴在0°~360°范圍內(nèi),與-120°終邊相同的角是240°,它是第三象限的角.(2)與640°終邊相同的角的集合為M={β|β=640°+k·360°,k∈Z}.當(dāng)k=-1時(shí),β=640°-360