2023-2024學(xué)年度湘楚名校高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷2024.5注意事項(xiàng)：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.3.本試卷命題范圍：必修第一冊(cè)，必修第二冊(cè)（6.1~9.3）.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在中，，，則外接圓的半徑為（

）A． B．1 C．2 D．34．如圖，已知，則（

）A． B．C． D．5．如圖為近一年我國(guó)商品零售總額和餐飲收入總額同比增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列結(jié)論正確的是（

）（注：同比，指當(dāng)前的數(shù)據(jù)與上一年同期進(jìn)行比對(duì)；環(huán)比，指當(dāng)前數(shù)據(jù)與上個(gè)月的數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì).）

A．2024年月份，商品零售總額同比增長(zhǎng)B．2023年月份，餐飲收入總額同比都降低C．2023年月份，商品零售總額同比都增加D．2023年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速為6．已知非零平面向量滿足，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．17．在正三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則使得不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為10．摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑，如深圳前海的“灣區(qū)之光”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點(diǎn)離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，設(shè)置若干個(gè)座艙，游客從離地面最近的位置進(jìn)艙，開啟后按逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)分鐘，當(dāng)時(shí)，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處.以下關(guān)于摩天輪的說法中，正確的為（

）A．摩天輪離地面最近的距離為8米B．若旋轉(zhuǎn)分鐘后，游客距離地面的高度為米，則C．若在，時(shí)刻，游客距離地面的高度相等，則的最小值為30D．存在，使得游客在該時(shí)刻距離地面的高度均為90米11．計(jì)算機(jī)顯示的數(shù)字圖像是由一個(gè)個(gè)小像素點(diǎn)組合而成的．處理圖像時(shí)，常會(huì)通過批量調(diào)整各像素點(diǎn)的亮度，間接調(diào)整圖像的對(duì)比度、飽和度等物理量，讓圖像更加美觀．特別地，當(dāng)圖像像素點(diǎn)規(guī)模為1行列時(shí)，設(shè)第i列像素點(diǎn)的亮度為，則該圖像對(duì)比度計(jì)算公式為．已知某像素點(diǎn)規(guī)模為1行列的圖像第i列像素點(diǎn)的亮度，現(xiàn)對(duì)該圖像進(jìn)行調(diào)整，有2種調(diào)整方案：①；②，則（

）A．使用方案①調(diào)整，當(dāng)時(shí)，B．使用方案②調(diào)整，當(dāng)時(shí)，C．使用方案①調(diào)整，當(dāng)時(shí)，D．使用方案②調(diào)整，當(dāng)，時(shí)，三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩三種產(chǎn)品.某日三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示，且醫(yī)用防護(hù)口罩和醫(yī)用外科口罩共生產(chǎn)了45000個(gè)，則醫(yī)用普通口罩生產(chǎn)的個(gè)數(shù)為.13．已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是．14．某園區(qū)有一塊三角形空地（如圖），其中，現(xiàn)計(jì)劃在該空地上劃分三個(gè)區(qū)域種植不同的花卉，若要求，則的最小值為．

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15．已知函數(shù)（且）為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求函數(shù)的解析式.16．已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間和最值；（Ⅱ）若函數(shù)在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．17．已知長(zhǎng)方體中，棱，，連結(jié)，過點(diǎn)作的垂線交于，交于．（1）求證：平面；（2）求二面角的正切值．18．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若，D為AC的中點(diǎn)，求線段BD長(zhǎng)度的取值范圍.19．隨機(jī)抽取100名學(xué)生，測(cè)得他們的身高（單位：），按照區(qū)間，，，，分組，得到樣本身高的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）求頻率分布直方圖中的值及身高在及以上的學(xué)生人數(shù)；（2）估計(jì)該校100名生學(xué)身高的75％分位數(shù)．（3）若一個(gè)總體劃分為兩層，通過按樣本量比例分配分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，．記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，證明：①；②．1．D【分析】根據(jù)兩個(gè)集合中的元素，進(jìn)行交并補(bǔ)的運(yùn)算并判斷包含關(guān)系.【詳解】集合，，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D選項(xiàng)正確．故選：D.2．D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得復(fù)數(shù)為，得到其共軛復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.3．C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理，即可求解.【詳解】設(shè)為外接圓的半徑，由正弦定理得，解得，所以外接圓的半徑為.故選：C.4．B【分析】利用向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算法則，取為基底，通過運(yùn)算，即可得答案；【詳解】，，故選：B.5．C【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖一一分析即可.【詳解】對(duì)于A，2024年月份，商品零售總額同比增長(zhǎng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，2023年8月份，餐飲收入總額同比增加，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，2023年月份，商品零售總額同比都增加，故C正確；對(duì)于D，2023年12月，餐飲收入總額環(huán)比增速并未告知，故D錯(cuò)誤.故選：C6．A【分析】把給定等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積性質(zhì)轉(zhuǎn)化為的不等式即可得解.【詳解】依題意，，，，當(dāng)時(shí)，上述最后等式不成立，從而有，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，又，當(dāng)且僅當(dāng)與同方向時(shí)取“=”，則有，解得，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取“=”，所以的最小值是4.故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：平面向量，，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相同或至少一個(gè)為零向量時(shí)取等號(hào)；，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反或至少一個(gè)為零向量時(shí)取等號(hào).7．C【分析】延長(zhǎng)CB至F，使得，可得四邊形BEDF是平行四邊形，，則為異面直線AD與BE所成的角或補(bǔ)角，設(shè)，取的中點(diǎn)，求出、、，利用余弦定理求得，可得答案．【詳解】D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，所以，，如圖，延長(zhǎng)CB至F，使得，連接DE，DF，AF，，因?yàn)?，所以，，所以四邊形BEDF是平行四邊形，，則為異面直線AD與BE所成的角或補(bǔ)角．設(shè)，取的中點(diǎn)，連接、，則，，，，，，由余弦定理得，由余弦定理得．所以直線AD與BE所成角的余弦值為故選：C.

8．B【解析】易知，是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上遞減，在上遞增，由，得到的圖象關(guān)于對(duì)稱，且在上遞減，在上遞增，再根據(jù)不等式成立，由求解.【詳解】函數(shù)，令，因?yàn)?，所以是偶函?shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上遞減，在上遞增，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，且在上遞減，在上遞增，若使得不等式成立則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B9．CD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓柱、圓錐和球的表面積和體積公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，圓柱的側(cè)面積為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，球的表面積為，所以C正確；對(duì)于D中，圓柱的體積，圓錐的體積，球的體積，所以圓柱、圓錐、球的體積之比為，故D正確.故選：CD.10．ABC【分析】A選項(xiàng)，最高點(diǎn)離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，求出A正確；B選項(xiàng)，建立平面直角坐標(biāo)系，求出時(shí)，初相為，進(jìn)而得到，，得函數(shù)解析式；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)得到方程，求出或，故C正確；D選項(xiàng)，整體法求出在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，結(jié)合特殊點(diǎn)的函數(shù)值，得到在只有一個(gè)解，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，最高點(diǎn)離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，所以摩天輪離地面最近的距離為（米），選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，以軸心為原點(diǎn)，與地面平行的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)分鐘時(shí)，游客位于點(diǎn)，以為終邊的角為，分鐘時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度為，所以周期，角速度為，在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式是：，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，在，時(shí)刻，游客距離地面的高度相等，即，即，故或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由于不相等且為非負(fù)整數(shù)，故此時(shí)，故的最小值是30，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，，令，解得，令，解得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在只有一個(gè)解，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．AC【分析】方案①：根據(jù)的性質(zhì)，將、及代入判斷A；利用對(duì)比度公式可得，即可判斷C；方案②：在時(shí)代入特殊值判斷B；根據(jù)條件判斷且，特殊值代入判斷D.【詳解】使用方案①調(diào)整：當(dāng)時(shí)且，又則，A正確；，，當(dāng)，即且，又，可得，C正確；使用方案②調(diào)整：當(dāng)時(shí)，顯然若時(shí)，B錯(cuò)誤；，而，則，故，又，則，，所以，而，時(shí)，則，則，此時(shí)，顯然存在，D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D時(shí)注意的取值范圍，根據(jù)n值判斷的大小關(guān)系.12．【分析】通過醫(yī)用防護(hù)口罩和醫(yī)用外科口罩的總數(shù)以及所占比例和，求出三種產(chǎn)品的總數(shù)，然后利用醫(yī)用普通口罩的百分比，即可求解【詳解】因?yàn)槿N產(chǎn)品的總數(shù)為：（個(gè)），所以醫(yī)用普通口罩生產(chǎn)的個(gè)數(shù)（個(gè)）.故答案為：13．【分析】先求出整體的范圍，由沒有零點(diǎn)得，解出的范圍，再結(jié)合的取值，即可求解.【詳解】由可得，又在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則，解得，又，解得，又，所以或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上：的取值范圍是.故答案為：.14．【分析】根據(jù)可知點(diǎn)的軌跡，再利用正弦定理以及圓周角和圓心角之間的關(guān)系，易知當(dāng)為與圓的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，再利用余弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，因?yàn)椋栽谌鐖D所示的圓上，圓的半徑為，

由圓周角的性質(zhì)可得，連接，可得，所以當(dāng)為與圓的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，即，又，在中，，根據(jù)余弦定理可知，所以的最小值為．故答案為：15．(1)2(2).【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求得m；（2）利用，求出底數(shù)a即可得解析式,注意求函數(shù)的定義域.【詳解】（1）由，得，方程的兩個(gè)根為，2.又函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，此時(shí)，則，即為奇函數(shù)，故；（2）由（1）知，，，，解得..令，解不等式得：所以定義域?yàn)?，所以的解析式?16．（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，，最大值為，最小值為；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用和的正弦公式、二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)可得，令可求單調(diào)遞增區(qū)間，易得最大值和最小值；（Ⅱ）題目等價(jià)于，與有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得出.【詳解】（Ⅰ），令，，解得，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，易得的最大值為，最小值為；（Ⅱ）函數(shù)在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)，與有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，由（1）可知當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用三角恒等變換將函數(shù)化簡(jiǎn)為正弦型函數(shù)，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.17．（1）具體見解析；（2）.【分析】（1）利用條件先證明平面，得，再證明平面，得，進(jìn)而通過線面垂直的判定定理得到結(jié)論；（2）連接AC交BD于O，根據(jù)二面角平面角的定義可證明是二面角的一個(gè)平面角，進(jìn)而求出正切值.【詳解】（1）如圖，連接AC交BD于O，由底面ABCD是正方形，得AC⊥BD，又平面ABCD，平面ABCD，所以，而，所以平面，則.又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，而，所以平面，所?而，所以平面.（2）因?yàn)?，且，所以，所以相似于，所以，由勾股定理易得：，易知O為BD的中點(diǎn)，所以，易知，且，所以是二面角的一個(gè)平面角，，即二面角的正切值為.18．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)，即可得出答案；（2）利用余弦定理結(jié)合，平方，將用表示，再利用正弦定理求出，再根據(jù)三角恒等變換結(jié)合三角函數(shù)得性質(zhì)即可得出答案.【詳解】（1）解：因?yàn)樗?，則，即，所以，又，則，所以，即，由，得，所以，所以；（2）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以，則，因?yàn)?，所以，，則，因?yàn)?，所以，所以，則，所以，所以.19．（1）0.06