第29講外接球與內(nèi)切球問題一．選擇題（共20小題）1．（2024春?潤州區(qū)校級期末）若棱長為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．2．（2024?泉州二模）如圖是一個由6個正方形和8個正三角形圍成的十四面體，其全部頂點(diǎn)都在球的球面上，若十四面體的棱長為1，則球的表面積為A． B． C． D．3．（2024?三模擬）如圖，已知一底面半徑為1，體積為的圓錐內(nèi)接于球（其中球心在圓錐內(nèi)），則球的表面積為A． B． C． D．4．（2024?甲卷）已知，，是半徑為1的球的球面上的三個點(diǎn)，且，，則三棱錐的體積為A． B． C． D．5．（2024春?讓胡路區(qū)校級期末）一塊邊長為的正方形鐵片如圖所示，將它的陰影部分截下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個正四棱錐的外接球的表面積A． B． C． D．6．（2024?晉中三模）在正四棱錐中，已知，為底面的中心，以點(diǎn)為球心作一個半徑為的球，則該球的球面與側(cè)面的交線長度為A． B． C． D．7．（2024?河南模擬）如圖，正方形與正方形所在的平面相互垂直，，點(diǎn)，，，，，在同一個球面上，則該球的體積是A． B． C． D．8．在半徑為的球內(nèi)放入5個球，其中有4個球大小相等，兩兩相外切且均與大球相內(nèi)切，另一個小球與這四個球均相外切，則這個小球半徑為A． B． C． D．9．（2024春?三明期中）在三棱錐中，，，．平面平面，若球是三棱錐的外接球，則球的表面積為A． B． C． D．10．（2024?白山三模）如圖，正四棱錐的每個頂點(diǎn)都在球的球面上，側(cè)面是等邊三角形．若半球的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個側(cè)面均相切，則半球的體積與球的體積的比值為A． B． C． D．11．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）已知矩形，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)將沿翻折，得到四棱錐，且平面平面，則四面體的外接球的表面積為A． B． C． D．12．桌面上放著3個半徑為1的球，兩兩相切，在它們上方的空間里放入一個球使其頂點(diǎn)（最高處）恰好和3個球的頂點(diǎn)在同一個平面上，該球的半徑為A． B． C． D．13．（2024?龍巖模擬）如圖，在棱長為10的正方體內(nèi)放入兩個半徑不相等的球，，這兩個球相外切，且球與正方體共頂點(diǎn)的三個面相切，球與正方體共頂點(diǎn)的三個面相切，則球的半徑最大時，球的體積是A． B． C． D．14．（2024?桂林三模）如圖，有一個水平放置的透亮無蓋的正方體容器，容器高，將一個球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為，如不計容器的厚度，則球的表面積為A． B． C． D．15．（2024?聊城一模）阿基米德是古希臘宏大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，是靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他在不知道球體積公式的狀況下得出了圓柱容球定理，即圓柱內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積等于圓柱體積的三分之二．那么，圓柱內(nèi)切球的表面積與該圓柱表面積的比為A． B． C． D．16．（2024?5月份模擬）已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球的球面上，，，，平面平面，則球的體積為A． B． C． D．17．（2024?廣西模擬）已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球的球面上，平面，，與平面所成的角為，則球的表面積為A． B． C． D．18．（2024?廈門模擬）如圖，在四棱錐的平面綻開圖中，四邊形是邊長為2的正方形，是以為斜邊的等腰直角三角形，，則四棱錐外接球的球心到面的距離為A． B． C． D．19．（2024?江蘇模擬）在三棱錐中，是邊長為2的正三角形，，，分別是，的中點(diǎn)，且，則三棱錐接球的表面積為A． B． C． D．20．（2024春?揚(yáng)中市校級期末）已知三棱錐的全部頂點(diǎn)都在球的球面上，且平面，，，，則球的表面積為A． B． C． D．二．填空題（共18小題）21．（2024?蚌埠模擬）有四個半徑為1的小球，球，球，球放置在水平桌面上，第四個小球放在這三個小球的上方，且四個小球兩兩外切．在四個小球之間有一個小球，與這四個小球均外切．則球的半徑為．22．（2024?榆林一模）已知直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若，，，則此球的表面積等于．23．（2024?安徽模擬）已知球是圓錐的外接球，圓錐的母線長是底面半徑的3倍，且球的表面積為，則圓錐的側(cè)面積為．24．（2024秋?唐山期末）已知一個圓錐內(nèi)接于球（圓錐的底面圓周及頂點(diǎn)均在同一球面上），圓錐的高是底面半徑的3倍，圓錐的側(cè)面積為，則球的表面積為．25．（2024春?青羊區(qū)校級期末）已知邊長為的菱形中，，沿對角邊折成二面角為的四面體，則四面體的外接球的表面積為．26．（2024?沈陽三模）在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，平面平面，則四面體的外接球的表面積為．27．（2024春?包河區(qū)校級期中）把四個半徑分別為9，9，9，19的小球同時放入一個大球中，使四個小球兩兩外切并均與大球內(nèi)切，則大球的半徑為．28．把半徑為的四個小球全部放入一個大球內(nèi)，則大球半徑的最小值為．29．（2024?饒陽縣校級模擬）如圖，在三棱柱中，，為棱上一點(diǎn)，且，平面，則三棱錐的外接球的表面積為．30．（2024?普陀區(qū)模擬）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為．31．（2024?奉賢區(qū)校級二模）已知是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球的球面上．若球的表面積為，則球的體積為；到平面的距離為．32．（2024?渝水區(qū)校級模擬）阿基米德多面體，也稱為半正多面體，是指至少由兩種類型的正多邊形為面構(gòu)成的凸多面體．如圖，從正四面體的4個頂點(diǎn)處截去4個相同的正四面體，若得到的幾何體是由正三角形與正六邊形構(gòu)成的阿基米德多面體，且該阿基米德多面體的表面積為，則該阿基米德多面體外接球的表面積為．33．（2024?泰州模擬）由兩種或三種正多邊形面組成的凸多面體稱作阿基米德多面體．將一個棱長為12的正四面體截去4個小正四面體后可以得到一個由正三角形和正六邊形構(gòu)成的阿基米德八面體，則該阿基米德八面體的外接球的表面積為．34．（2024?濰坊三模）阿基米德在他的著作《論圓和圓柱》中，證明白數(shù)學(xué)史上聞名的圓柱容球定理：圓柱的內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓柱的體積之比等于它們的表面積之比．可證明該定理推廣到圓錐容球也正確，即圓錐的內(nèi)切球（與圓錐的底面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓錐體積之比等于它們的表面積之比，則該比值的最大值為．35．（2024秋?懷化期末）矩形中，，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為．36．（2024?閔行區(qū)校級模擬）在棱長為2的正方體，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，三棱錐的頂點(diǎn)在同一個球面上，則該球的表面積為