板塊（二）系統(tǒng)熱門考點(diǎn)——以點(diǎn)帶面

（一）巧用性質(zhì)妙解函數(shù)

［速解技法——學(xué)一招］

函數(shù)性質(zhì)主要指函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性，要深刻理解并加以巧妙地運(yùn)

用.

以對(duì)稱性為例，若函數(shù)/U）滿足八a+x）=/s-x）,則函數(shù)圖象關(guān)于直線*=色要對(duì)稱；

若函數(shù)/（x）滿足/（a+x）+/（8一x）=c,則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)9對(duì)稱.

［例1］定義在R上的奇函數(shù)｛x）滿足Ax—2）=~Ax）,且在［0,1］上是增函數(shù)，則有（）

A.周啕

。周需乂-：）

口.代）啕喝

［解析］選B由題設(shè)知犬*）=-/^-2）=42—工），所以函數(shù)八用的圖象關(guān)于直線*=1

對(duì)稱.

由于奇函數(shù)人x）在［0,1］上是增函數(shù)，故八x）在［-L0］上也是增函數(shù)，

綜上,函數(shù)/U）在［-1,1］上是增函數(shù)，在［L3］上是減函數(shù).

又局=7（2-0=心,

所以代）＜知@=嫩

［例2］已知函數(shù)_/1*）=/+$加工的定義域?yàn)椋郇D1,1］,若/Uog2?i）勺Uog4（m+2））成立，

則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

［解析］由＜x）=—+sinx的定義域?yàn)椋?1,1］,

易知人丫）在［-1,1］上單調(diào)遞增，

由/Uog2，〃）勺Uog4（"?+2））,

r1

,―lW10g26Wl,

—1Wlog4（/n+2）&1,7

一戶機(jī)W2,

可得Vlog2/n<log4（w+2）,解得<

0</n<2,

/n>0,

7/l>0,

</n+2>0,

故：<機(jī)<2.

綜上可知，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為使，2).

［答案］|｝，2)

［經(jīng)典好題——練一手］

1.已知定義在R上的函數(shù)八X)滿足/(2+*)=—火2—x),當(dāng)x<2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，如果

xi+x2<4,且(當(dāng)一2尸(M—2)<0,則,八*1)+/(必)的值為()

A.可正可負(fù)B.可能為0

C.恒大于()D.恒小于0

解析：選D由犬2+丫)=一/(2—%)可知，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)中心對(duì)稱.因?yàn)閤<2時(shí)，

大工)單調(diào)遞增，所以x>2時(shí)，犬x)單調(diào)遞增.因?yàn)?+X2<4且(肛一2>(應(yīng)—2)<0,設(shè)肛<2?2,

則—所以八上2)54-X1).又因?yàn)?八4-*1)=—/(XI),所以八*2)<—AM),即.八*|)+,八M)<0.

2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2'x-m'-Urn為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記a=f(k)go.53),b=

./Uog25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

解析：選C由函數(shù)式》)=25""一1為偶函數(shù)可知，,"=o,故八%)=23一1.當(dāng)x>0時(shí)，

/U)為增函數(shù)，k)go_53=-log23,,,.log25>|—logo,53|>0.

:.b=fi\og25)>a=Alogo.53)>c=f(2m).

3.已知y=_/U)+x2是奇函數(shù)，且大1)=1.若g(x)=/(x)+2,則g(-1)=.

解析：由題意得g(—1)=八-1)+2.又八一1)+(—1)2=-/(1)+12］=—2,所以八-1)=

-3.

故/i(-1)+2=—3+2=—1,即g(-l)=-L

答案：一1

4.函數(shù)人X)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足/U+2)=/U).當(dāng)xG［O,l］時(shí)，犬x)=2x.若

在區(qū)間［-2,3］上方程ax+2a-fix)=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解析：由./U+2)=/U),得函數(shù)的周期是2.

由ax+2a=0,

得式x)=ax+2A.

設(shè)y=_/lr),則y=ax+2a,作出函數(shù)y="r),y=ax+2a的圖象，如圖.

要使方程ax+2a—/(x)=0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則直線y=ar+2a=a(x+2)的斜率

滿足kAH<a〈kAG,

由題意可知，G(l,2),"(3,2),4(-2,0),

2222

所以心〃=M，kAG=y所以鏟aj.

［常用結(jié)論——記一番］

1.函數(shù)的單調(diào)性

在公共定義域內(nèi)：

⑴若函數(shù)人X)是增函數(shù),函數(shù)g(x)是增函數(shù),則/x)+g(x)是增函數(shù);

⑵若函數(shù)八%)是減函數(shù),函數(shù)g(x)是減函數(shù),則/(x)+g(x)是減函數(shù);

⑶若函數(shù)式X)是增函數(shù),函數(shù)g(x)是減函數(shù),則人*)—g(x)是增函數(shù);

⑷若函數(shù)4X)是減函數(shù),函數(shù)g(x)是增函數(shù),則1AX)—g(x)是減函數(shù).

［提示］在利用函數(shù)單調(diào)性解不等式時(shí)，易忽略函數(shù)定義域這一限制條件.

2.函數(shù)的奇偶性

(1)判斷函數(shù)的奇偶性有時(shí)可以用定義的等價(jià)形式：J(x)±f(-x)=o,含\=±1；

J\町

(2)設(shè)Ax),g(x)的定義域分別是小，。2,那么在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇

義奇=偶,偶+偶=偶，偶、偶=偶，奇乂偶=奇.

3.有關(guān)函數(shù);U)周期性的常用結(jié)論：

(1)若/u+a)=/(x一°),則函數(shù)/(X)的周期為2\a\；

(2)若Ax+〃)=一人用，則函數(shù)/(x)的周期為2|a|；

(3)若八*+“)=府，則函數(shù)人幻的周期為2@；

八X)

(4)若兀r+a)=一6，則函數(shù)Ax)的周期為21al.

八町

(二)最值函數(shù)大顯身手

［速解技法——學(xué)一招］

a,a&b,［aa2b,

最值函數(shù)的定義：設(shè)〃為實(shí)數(shù)，則min{a,b}=Jmax{a,6}=］,9,

b9b<a；b9b>a.

解有些求最值問(wèn)題時(shí)，巧妙借助以下性質(zhì)，可如虎添翼.

一a+b一

(l)min{a,b}W?Wmax{a,〃}；

(2)min{a,b}^y［ab^max{a,b}.

a>0,'Yfl>0.?

3i

［例1］對(duì)于任意函數(shù)於)表示y=-x+3,y=^x+^9丁=/一標(biāo)+3中的最大

者，貝！1/(幻的最小值是()

A.2B.3

C.8D.-1

一31

［解析］選A如圖，分別畫(huà)出函數(shù)y=-x+3,y=/+5,

j=x2—4x+3的圖象，

得到三個(gè)交點(diǎn)4(0,3),3(1,2),C(5,8).

由圖象可得函數(shù)7U)的表達(dá)式為

“2—4X+3,

—x+3,0<xWl,

加工fx+l，l<x^5,

2

<x-4x+3,X>59

所以Ax)的圖象是圖中的實(shí)線部分，圖象的最低點(diǎn)是8(1,2),所以函數(shù)犬X)的最小值是

2.

［例2］已知函數(shù)f(x)=f—x+機(jī)一；，g(x)=—log2x,min{/n,〃}表示m9n中的最小值,

設(shè)函數(shù)A(x)=min伏x),g(x)}(x>0),則當(dāng)函數(shù)以外有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

當(dāng)兩函數(shù)圖象交于點(diǎn)4(1,0)時(shí)，即有1一1+析一;=0,解得,"=［,

所以當(dāng)函數(shù)Mx)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，

即為點(diǎn)A和y=/U)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，

'的)＞0,

若滿足條件，則需“,騎＜(),

則＞0,

13

解得'Vmq.

所以實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是Q,5)

［經(jīng)典好題——練一手］

1.設(shè)“，力為平面向量，貝！1()

A.min{H+)|,|。一)|}Wmin{|a|,網(wǎng)}

B.min{|〃+)|Q一引}emin{|a|,向}

C.max{|a+b『，一肝}W|a『+|"2

D.max{|〃+訐，|?-i|2}^|a|2+|6|2

解析：選Dmax{|a+&|2,|〃一)『}2叵土~~=|a|2+|6|2,故選D.

a,a^b

2.(2017?蘭州模擬)記max{〃，b}=\，已知向量〃，b,c滿足網(wǎng)=2,a?b

[b9a<b

=0,c=xa+//A(x^0,〃20,且久+〃=1),則當(dāng)max{c,a,c?萬(wàn)}取最小值時(shí)，|c|=()

州R班

A.5B.3

C.1D.當(dāng)

解析：選A如圖，設(shè)=a,0B=b,

則〃=(1,0),6=(0,2),

V2^0,"20,2+//=l,???0<2Wl.

又

.??c?a=(2q+。一力)?。=心

c?)=Ga+》——2b)?〃=4——4九

4

由7=4—42,得2=g.

4

?\max{c-a,c?)}=<

4

4-4x,

r4

x,聲Wl,

令"0="

4

4-42,O0.q.

「41

則4.

441

?W)min=j,此時(shí)、=g,.=’

3.設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，且5，+4_/=10*,則#+，的最大值為

解析：法一：5*2+4/=10工=>4y2=10%—5/2000WxW2.

4(x2+/)=10x-x2=25-(5-x)2^25-9=16=>x24-/^4.

法二:5X2-4J2=10X=>(X-l)2+|y2=1,

令x-l=sin，，^^y=cos0,0G[0,2n],

=^—1(sin0-4)2+4,

?J-iWsin.,.當(dāng)sin〃=l時(shí)，f+y?取得最大值，即(*2+/溫、=4.

答案：4

(三)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)開(kāi)闊思路

［速解技法——學(xué)一招］

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

①/1'(x)>()今#x)為增函數(shù)；

②/(*)<00/(幻為減函數(shù)；

③/1'(工)=0切厚)為常數(shù)函數(shù).

2.求函數(shù)/(幻極值的方法

求函數(shù)的極值應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，解方程/'(x)=0,再判斷/'(x)=0的根是否是

極值點(diǎn)，可通過(guò)列表的形式進(jìn)行分析，若遇極值點(diǎn)含參數(shù)不能比較大小時(shí)，則需分類討論.

［例1］若函數(shù)1Ax)=2sinx(xG|0,7t))的圖象在切點(diǎn)P處的切線平行于函數(shù)g(x)=2#

g+1)的圖象在切點(diǎn)。處的切線，則直線PQ的斜率為()

8

A-B

3

7近

-D

33

［解析］選A由題意得r(x)=2cosx,g'(”)=丐+%—5.設(shè)P(X1,7U1)),2(必，g(%2)),

又r(Xi)=g'(必)，即2cosXi=9+x-彳2,

21

故4COSXI=X2+X2+2,

所以一4+4cOs2x］=X2+x7一2,

即一加悶=舄2—X—：2)2,

所以sinxi=0,X1=O,4=^一%,X2=l,

故尸(0,0),小,號(hào)，故“=g.

［技法領(lǐng)悟］

求曲線的切線方程時(shí)，要注意是在點(diǎn)尸處的切線還是過(guò)點(diǎn)P的切線，前者點(diǎn)尸為切點(diǎn),

后者點(diǎn)尸不一定為切點(diǎn).

［例2］已知函數(shù)八x)(xCR)滿足11)=1,且人工)的導(dǎo)數(shù)/(x)d，則不等式近￥)號(hào)+；

的解集為.

［解析］設(shè).(x)=Kr)—|r,(x)=f(X)—，V/(x)<1,：.F'(x)=f(x)—1<0,

即函數(shù)尸(x)在R上單調(diào)遞減.??,危2)專+/.?.?。?)一為⑴一泉...尸(的<尸⑴，而函數(shù)F(x)

在R上單調(diào)遞減，：.x2>\,即xW(-8,—1)U(1,+~).

［答案］(-8,-1)U(1,+8)

［例3］已知函數(shù)/U)=(ax+5)lnx—Z>x+3在(1,7U))處的切線方程為y=2.

(1)求a,b的值；

(2)求函數(shù)八x)的極值；

(3)若g(x)=/(x)+-在(1,3)上是單調(diào)函數(shù)，求*的取值范圍.

［解］(1)因?yàn)榛?)=一/>+3=2,所以6=1.

bI

又/‘(x)="+?lnx+a-b=~+alnx+a—l9

而函數(shù)/(幻在(1,人1))處的切線方程為y=2,

所以r(i)=i+a—1=0,所以Q=O.

(2)由(1)得式x)=lnx-x+3,f(x)=^-l(x>0).

令/'(x)=0,得x=l.

當(dāng)0<x<l時(shí)，f(x)>();當(dāng)x>l時(shí)，f(x)<0,

所以Hx)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(I,+8)上單調(diào)遞減，

故人幻的極大值為八1)=2,無(wú)極小值.

(3)由g(x)=Ax)+?x,得g(x)=lnx+優(yōu)一l)x+3(x>0),g'(x)=^+k~l,

又g(x)在X￡(1,3)上是單調(diào)函數(shù)，

若g(x)為增函數(shù)，有g(shù)'(x)20,

即g'(工)=5+?-120,即我》1一；在xW(l,3)上恒成立?

又1一上(0,|),所以心宗

若g(x)為減函數(shù)，有g(shù)'(x)W0,

即/(x)=：+A—1W0,即AW1—：在x￡(l,3)上恒成立，

又D，所以A<0.

綜上，A的取值范圍為(一8,()］Uj,+8).

［技法領(lǐng)悟］

破解此類問(wèn)題需注意兩點(diǎn)：

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域；

(2)求得函數(shù)在多個(gè)區(qū)間單調(diào)性相同時(shí)，區(qū)間之間用“，”分割，或用“和”相連，一般

不用“U”.

［經(jīng)典好題——練一手］

1./lx)=x(2016+lnx),若/'(Xo)=2O17,則孫=()

A.e2B.1

C.In2D.e

解析：選B/'(x)=2016+lnx+x--=2017+lnx,由/'(x0)=2017,得2017+lnx。

=2017,所以lnx()=0,解得xo=l.

2.定義:如果函數(shù)｛X)在［m,”］上存在X"滿足/'(*2)

=42三嗎則稱函數(shù)./U)是［m，"］上的"雙中值函數(shù)”，已知函數(shù)八用=/一￥+。是［0,

切上的“雙中值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

322

解析：選C因?yàn)镴(x)=x—x+a9所以f(x)=3x—2x在區(qū)間［0,a］上存在

/

X2(0<xi<X2<a),滿足，(Xi)=/(必)=1?_J''=a?-a,所以方程3A?-2x=〃2—〃在區(qū)間(o,

a)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根.

令=3x2—2x—a2+a(0<x<?),

d=4-12(-a2+a)>0,

g(0)=-a2+a>0,解得;vavl,

,g(a)=2a2—a>0,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是R,1).

3.已知函數(shù)?r)=［-&2+ax+l(a>0,Z?0),則函數(shù)g(x)=aln工+2")^在點(diǎn)(3,g(b))

處的切線斜率的最小值是.

解析：因?yàn)閞(x)=x2—bx+a,

J-bx

所以g(x)=a加x+―~~+1.

”,a.2x-b

所以g(x)=~+---(x>0),

因?yàn)?>0,Z?0,則/(b)=卡+/口-='+)22,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時(shí)取“=”，

所以斜率的最小值為2.

答案：2

4.已知函數(shù)f(x)=(x+l)2ln(x+1)—x,(p(x)=mx2.

(1)當(dāng)機(jī)=g時(shí)，求函數(shù)g(x)=/(x)一°(x)的極值；

(2)當(dāng)機(jī)=1且x20時(shí)，證明：?r)》e(x)；

(3)若x20,恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解：(1)當(dāng)機(jī)=;時(shí)，

2

g(x)=Ax)—9(x)=(x+l)'ln(x+l)—X-，，X>—1,

所以g'(x)=2(x+l)ln(x+l)+(x+l)2?二［-1—x=2(x+l)ln(x+1).

fx>—1,

由，/、A解得X=0,

1g(x)=0,

當(dāng)X變化時(shí)，g'(x),g(x)的變化情況如下表：

X(-1,0)0(0,+8)

g'（X）一0+

g(x)極小值

所以函數(shù)g(x)的極小值為g(0)=0,無(wú)極大值.

(2)證明：當(dāng)，”=1時(shí)，令p(x)=#x)一O(x)=(x+l)2-In(x+l)-x-x2(x20),

所以p'(x)=2(x+l)ln(x+l)+(x+l)2,^|^'—1—2x=2(x+l)ln(x+l)-x.

設(shè)p'(x)=G(x),則G'(x)=2ln(x+l)+l>0,

所以函數(shù)p'(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以p'(x)》p'(0)=0,

所以函數(shù)p(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以p(x)2p(0)=0.

所以/(幻2°(幻,

(3)設(shè)人00=(工+1)2加(工+1)一工一?。?工,0),

所以(x)=2(x+1)ln(x+1)+x—2mx.

由(2)知當(dāng)x20時(shí)，(x+l)2ln(x+l)^x2+x=x(x+1),

所以(x+l)ln(x+l)，x,所以A'(x)23x—2〃優(yōu).

3

①當(dāng)3—2機(jī)20,即3時(shí)，h,(x)20,

所以Mx)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以Mx)、M0)=0,滿足題意.

②當(dāng)3—2機(jī)<0,即時(shí)，

設(shè)H(x)=h'(x)=2(x+l)ln(x+l)+(l-2m)x,

則H'(x)=21n(x+l)+3-2m,

令H'(x)=0,得x0=e2—1>0,

故a'(x)在［0,X。)上單調(diào)遞減，在［Xo,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)*e［0,*0)時(shí)，h'(x)<h'(0)=0,

所以Mx)在［0,4)上單調(diào)遞減，

所以Mx)<M0)=0,不滿足題意.

綜上，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(一8,1.

［常用結(jié)論——記一番］

1.函數(shù)極值的判別的易錯(cuò)點(diǎn)

(1)可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如函數(shù)人用=1,/'(0)

=0,但x=0不是極值點(diǎn).

(2)極值點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)數(shù)也，當(dāng)x=x。時(shí)，函數(shù)取得極值.在X。處有，(X。)

=0是函數(shù)/(X)在X。處取得極值的必要不充分條件.

2.函數(shù)最值的判別方法

(1)求函數(shù)八x)在閉區(qū)間。，句上最值的關(guān)鍵是求出，(幻=0的根的函數(shù)值，再與八a),

犬勿作比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

(2)求函數(shù)/(x)在非閉區(qū)間上的最值，只需利用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)#x)的單調(diào)性，即可得結(jié)

論.

(四)三角問(wèn)題重在三變

［速解技法——學(xué)一招］

“三變”是指變角、變數(shù)與變式.

⑴變角

如2a=(a+/0+(a-4)，a=(a+//)-/?.

⑵變數(shù)

特別是"1”的代換，I=sin2，+cos2，=tan45。等.

(3)變式

,1+cos2a,1-cos2a

cosa=2，sina=.

tana±tan)?=tan(a±)?)(l:Ftanatan/?),

.一2sinacosa2tana

，

Sin2a=2snacos『ida+cos2a=^TT；

222

22cosQ-sinatana

C0S2a=C0S"一011a=sin2a+cos2a=^VH-

［例1］對(duì)于銳角a,若sin(“一言)=5，貝!Icos(2“+§=()

24g3

AR-

a?258

C.乎D.續(xù)

o

［解析］選D由a為銳角，且sin(a—D=|,

可得儂(々-m=之，

所以。?！?2々+個(gè))=011^-(2〃+個(gè))］

0-2?)=-2sin(a-^)cos(?-Y0

=sinI

=-2XIxi=-&

[例2]若sin2a=害,sin(/?—a)=\^,且aG［孑4昨［元，明，則a+4的值是(

)

A-B-T

C.普或空D.臂鱷

［解析］選A因?yàn)閍Gn,所以2aG

又sin2a邛三支

,故2(z￡5,n,aG4'2」，

所以cos2a=

5?

又,w[rt,y],故A-aeg,y],

于是cos(//-a)=—?今俱,

所以cos(a+/?)=cos［2a+QS—a)］

=cos2acos(/?-a)—sin2asin(/?-a)

__巡J3炯侃.而由

-51―10)510-2，

且a+/?e胃，2TT］,故a+/?=亨.

［經(jīng)典好題——練一手］

1.已知角0的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則

碰，+方的值為()

7^27y[2

B.

1010

c.-米D-w

解析：選D由題意可得tan?=2,cos8=土坐，

4

2tan()-

所以tan20—

1—tan2^3f

4

所以sin2，=cos2^*tan28=g

所以sin(26+g)=^(sin20+cos2。)=乎X《一,)=*.

2.(2017?沈陽(yáng)質(zhì)檢)已知/(x)=2sin2x+2sinxcosx,則/(x)的最小正周期和一個(gè)單調(diào)遞減

區(qū)間分別為()

「3九7冗］「3加77rl

A?2冗，1于yjB.n,卬yj

c27rF---1NTT「一江—1

C,2乃，L8'8」D?兀，8'8」

解析：選BV/(x)=2sin2x+2sinxcosx=l—cos2x+sin2x="\/isin(2x一習(xí)+1,:.T=

4=兀，由弓+2A;rW2x—等+2ATT(A￡Z),得手+ATTWXWI+E(A￡Z),令A(yù)=0得八x)

LL4ZOo

在［V，午］上單調(diào)遞減?

(a+6)=5,則式2。一方=

3.已知。為銳角，若sin|

cos(2a-§=cos(2a+1一不分=sin(2”+§=sin^2(a+初=2sin(”+gcos(a+。

解析:

("+g='Q§'所以看"故cos("+/=M所以cos(2a-f)=2x|

因?yàn)閍為銳角，sin)

4_24

X5=25*

答案垓

?>.Tt則cosg-”)

4.若0<a<r,

解析：由題易知一去。一〃q,一1§—江—云，所以c°\3

4

=-叱-所以cosg_a)=co{(1_a)+(1_g]-X

5

5丁5525?

答案：噂

［常用結(jié)論——記一番］

三角公式中常用的變形：

(1)對(duì)于含有sin<z±cossinacosG的問(wèn)題，利用(sin〃土cos(z)2=l±2sinacos〃，建立sin

a±cosa與sinacosa的關(guān)系.

，?人—d,sina+cosa

(2)對(duì)于含有sin(z,cosa的齊次式［如:〃,

sinacosa),利用tana=^^轉(zhuǎn)化為含tana的式子.

(3)對(duì)于形如cos2a+sin?與cos2a+sinacosa的變形，前者用平方關(guān)系sin2a+cos2a=1

化為二次型函數(shù)，而后者用降幕公式化為一個(gè)角的三角函數(shù).

,,,,tana+tanII

(4)含tana+tanp與tanatanp時(shí)考慮tan(a+/?)=j_tanafanp-

(五)正弦余弦相得益彰

［速解技法——學(xué)一招］

三角函數(shù)求值的解題策略

(1)尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式；

(2)注意切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用；

(3)對(duì)于條件求值問(wèn)題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，對(duì)于很難入

手的問(wèn)題，可利用分析法.

(4)求角的大小，應(yīng)注意角的范圍.

［例1］(2017?福州質(zhì)檢)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且ctanC

=y［3(acosB+bcosA).

⑴求角C；

(2)若c=2小,求△ABC面積的最大值.

［解］(l)TctanC=^(acos8+%cosA),

sinCtanC=y/3(sinAcos3+sinBcosA),

sinCtanC=y/3sin(A+B)=y/3sinC,

V0<C<n,...sinCrO,

；.tanC=巾,；.C=60°.

(2)Vc=2>/3,C=60°,

由余弦定理c2=a2-\-b2-2abcosC,

得l2=a2-^-b2—ab^2ab—ah,

'.ah^：12,.,.SAABc=TabsinCW3'\/5,

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=2小時(shí)取“=”，

所以△ABC的面積的最大值為以.

22

［例2］已知向量/n=(2sina)x9costt>x—sintt>x),〃=(小coscox9l),其中“>0,x￡R.

函數(shù)八幻=獷〃的最小正周期為兀

(1)求功的值；

(2)在△A5C中，若大硝=-2,BC=小,sinB=V3sinA,求京?力？的值.

［解］(lVlr)="〃=2A/5sin<z>xcoscox+cos2?>x-sin2wx=yf3sin2cox+cos2cox=

2§加(2"X+習(xí).

因?yàn)?U)的最小正周期為兀，所以7=部］=兀

因?yàn)棰?gt;0,所以切=1.

(2)設(shè)△ABC中內(nèi)角A,B9C所對(duì)的邊分別是〃，h9C.

因?yàn)?AB)=—2,所以2sin(25+］=-2,

即sin(2B+3=—1,得8=亨.

因?yàn)?c=小，所以。=小.

因?yàn)閟in〃=小sinA,所以得力=3.

由正弦定理有系=得，解得sinA=；.

bill/>.Zr7l/

f1

TTIT

因?yàn)镺vAq,所以A=j

得C弋，c=a=y/3.

所以BA?BC=cacosB=yfix小Xcos^=―

［經(jīng)典好題——練一手］

1.已知AABC的三個(gè)內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若普=￡=也，則該三

角形的形狀是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.鈍角三角形

解析：選A因?yàn)閷??由正弦定理得癮=鵲，所以sin2A=sin2B.由§=也，

v*vfjL/C<LU519dillZJLC?

可知aWZ>,所以.又A,BS(0,n),所以24=180°—28,即4+8=90°,所以C=90°,

于是△ABC是直角三角形.故選A.

2.在△A8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若acosC+ccosA=2加in4,

則A的值為（

解析:選D由“cosC+ccosA=2bsinA結(jié)合正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sin

BsinA,即sin(A+C)=2sinBsinA,故sin8=2sinBsinA.又sinBWO,可得sinA=；,故

jr

3.非直角△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知c=L。=亍若sinC

+sin（A-B）=3sinIB,則△A3C的面積為（）

A.苧B.號(hào)

解析：選D因?yàn)閟inC+sin(A-B)=sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB=6sinBcosB,

因?yàn)椤鰽BC非直角三角形，所以cosBWO,

所以sinA=3sinB,即a=3b.

又c=l,C=g,由余弦定理得/+〃2—〃b=i,

結(jié)合a=3b,可得y=3,

所以Sdoc=3a加inC=不〃~或114=.

4.（2017?陜西質(zhì)檢）在△48C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,面積為S,已知

(1)求證：2(a+c)=3bi

(2)若cos5=；,S=巾氐求瓦

解：(1)證明：由已知得，

a(l+cosC)+c(l+cos

在△ABC中，由余弦定理，得

,a2+Z>2_c2,Z>2+c2-a22b1

acosC+ccosA=a-2ab+丁2bc=五=

3

??.a+c=5。，即2(a+c)=34

(2)Vcos/?sinB=

VS=^acsinB=^^ac=y［159/.ac=8.

又h2=a1+c2—2?ccosB=(a+c)2—2ac(1+cos6),

2(a+c)=3b9

.?.川=等一16X(1+：),解得y=16,

：.b=4.

［常用結(jié)論——記一番］

1.解三角形中常用結(jié)論：

(1)三角形中正弦、余弦、正切滿足的關(guān)系式有：焉=七=占=2R，c2=a2+b2

sinsinIJsinL

-lahcosC,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,a>b^A>B^sinA>sinBOcosA<cosB.

(2)三角形形狀判斷(一般用余弦定理)：

直角三角形=。2+必=。2；

銳角三角形0/+b2>c2(c為最大邊)；

鈍角三角形=“2+戶々2(。為最大邊).

(3)在銳角三角形48c中：

①4+3>與,C+B>?,A+C>?；

②任意角的正弦值都大于其他角的余弦值.

(4)在△ABC中，A,B,C成等差數(shù)列08=60。；在△A8C中，A,B,C成等差數(shù)列，

且a,b,c成等比數(shù)列O三角形為等邊三角形.

2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,其面積為S.

(l)S=；a兒=；珈=4。瓦(兒，hb,兒分別表示a,b,c邊上的高).

(2)S=g〃加inC=g〃csinA=；casinB.

(3)S=gr(a+》+c)(r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑).

(六)向量小題三招搞定

［速解技法——學(xué)一招］

解決與向量有關(guān)的小題，一般用三招，即“構(gòu)圖、分解、建系”，就能突破難點(diǎn)，順利

解決問(wèn)題.

［例1］已知?就=0,|京1=1,\BC\=2,ADDC=0,則|說(shuō)|的最大值為()

A.歲B,2

C.乖D.2^5

［解析］選C由3?同=()可知，~ABLBC.

故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以氐4,8C所在的直線為x軸，y軸建立如/［/\

圖所示的平面直角坐標(biāo)系，Y?

則由題意，可得8(0,0),4(1,0),C(0,2).

設(shè)。(x,y),則AZ)=(x—1,y),DC=(—x,2—y).

由而?虎=0,可得(x-l)(-x)+y(2-y)=0,

整理得q-32+(j-i)2=/

所以點(diǎn)。在以EQ,1)為圓心，半徑r=坐的圓上.

因?yàn)楸硎?,。兩點(diǎn)間的距離，

一下

而|E8|=V，

所以|萬(wàn)方|的最大值為|寶由+r=坐+坐=小.

［例2］已知點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，尸為直線AB外一點(diǎn)，PC是NAPB的平分線，/

為PC上一點(diǎn)，滿足目=京+2就［蘭■+丹-(及0),\'PA\~\PB\=4>VPA~~PB\=

UACI\AP\)

10,則述二等的值為(

)

IBA|

A.2B.3

C.4D.5

［解析］選B

A

E

PN'、式

因?yàn)閨前一鋁|=|衣|=10,PC是N4P8的平分線，又引=前+/蘭:+4；

l|AC|\APt

U>0),

即4/一1匹+圖，

\]AC\\AP\)

所以/在N8AP的平分線上，

由此得/是△ABP的內(nèi)心.

如圖，過(guò)/作〃/"LAS于"，以/為圓心，/”為半徑作△E4B的內(nèi)切圓，分別切P4,

PB于E,F,

因?yàn)閨后|一|五|=4,|~ET—7B1=10,

\BH\=\FB|=|(|PB|+|AB|-|-R4I)

=1[|AB|-(|E4>|-|pi|)]=3.

\BH\

在中，cosZ/BH

\B1\

BI-BA―?―>

所以：-=|Bl|cosZ/B//=|B//|=3.

IBAI

［經(jīng)典好題——練一手］

1.（2017?寶將質(zhì)檢）在等腰直角△ABC中，NABC=90°,\AB\=\BC\=2,M,N（不與A,

C重合）為AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足|而而=也，則而?加的取值范圍為（）

解析：選C以等腰直角三角形的直角邊5c為x軸，BA為y軸，葉

建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則8（0,0）,直線AC的方程為x+y=

2、一

22

設(shè)0<?<1,N（b,2-b）,?:MN=&：.（a-b）+（2-a-2+b）=29

即（a—療=1,解得b=a+l或5=〃一1（舍去），

則N(a+l,l-。),BM=(a,2—a),5N=(a+l,l—a),

.,.Biw-B2V=a(a+l)+(2-a)(l-<z)=2a2-2a+2=2(a-02+1,

VO<?<1,.,.當(dāng)a=；時(shí)，麗?詢?nèi)〉米钚≈等?/p>

又瑞?詢<2,故萬(wàn)方?詢的取值范圍為2).

2.已知向量a,b滿足a-(a+2*)=0,\a\=\b\=l,且匕一“-2〃=1,則|c|的最大值為()

A.2B.4

C.小+1D.小+1

解析：選D設(shè)a=~OA,a+2b=~dB,c=~OC,且設(shè)點(diǎn)A在x軸上，

則點(diǎn)8在y軸上，由|c-a—2"=1,可知|c-(a+2Z>)|=|虎一前尸由才

|=1,所以點(diǎn)C在以5為圓心，I為半徑的圓上，如圖所示.

法一：因?yàn)閍-(a+25)=0,所以2a6=一|?！?

又|。|=四=1,所以|a+2b|=Wa1+4網(wǎng)2+4a6=44|稈一|32=5,

所以|c|max=l萬(wàn)擊+1=|。+2"+1=小+1.

法二：連接A8,因?yàn)樘K=水+笈=a+26

所以就'=2、

因?yàn)閨a尸例=1,所以|成|=2,|7五|=1,

所以|南I川海『一向『=小,

所以|c|max=l^^|+1=5+1.

3.(2017?福州質(zhì)檢)正方形A8CD中，E為8c的中點(diǎn)，向量