第一章特殊平行四邊形2矩形的性質(zhì)與判定（第三課時(shí)）數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)011.矩形的周長(zhǎng)與面積.若矩形相鄰兩邊長(zhǎng)分別為

a

，

b

，則矩形的周長(zhǎng)＝

?

，矩形的面積＝

?.2.矩形中的綜合問(wèn)題.（1）判定矩形的幾種方法；（2）由矩形的性質(zhì)，得出邊角關(guān)系，再計(jì)算.注：矩形的定義既可作為矩形的判定方法，又可作為其性質(zhì).2（

a

＋

b

）

ab

數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版典例講練02

如圖，在矩形

ABC

D中，

AB

＝3，

BC

＝6，對(duì)角線

AC

的垂直平

分線分別交

A

D，

AC

于點(diǎn)

M

，

N

，連接

CM

，則

CM

的長(zhǎng)

為

?.

【思路導(dǎo)航】先由線段垂直平分線的性質(zhì)得出

AM

＝

CM

，再在

Rt

△D

MC

中，由勾股定理，列方程后求出

CM

的長(zhǎng)即可.

【點(diǎn)撥】熟練掌握矩形的性質(zhì)，由勾股定理得出關(guān)于

CM

的方

程是解此題的關(guān)鍵.

如圖，在△

ABC

中，已知∠

A

＝60°，

B

D⊥

AC

，垂足為D，

C

E⊥

AB

，垂足為E，點(diǎn)O為

BC

的中點(diǎn)，連接OD，OE，則

∠DOE的度數(shù)為

?.60°

如圖，在?

ABC

D中，對(duì)角線

AC

與

B

D交于點(diǎn)O，

B

D＝2

AB

，

點(diǎn)

M

，

N

分別為O

A

，O

C

的中點(diǎn)，延長(zhǎng)

BM

至點(diǎn)E，使E

M

＝

BM

，連接DE.（1）求證：四邊形DE

MN

是矩形；（2）若

AB

＝5，D

N

＝4，求四邊形DE

MN

的面積.【思路導(dǎo)航】（1）先證明△O

BM

≌OD

N

，可得

BM

＝D

N

，從

而得出四邊形DE

MN

為平行四邊形，再證明其為矩形；（2）由

勾股定理可以求得

AM

的長(zhǎng)，進(jìn)而得到

MN

的長(zhǎng)，由矩形面積公

式可以求出結(jié)果.

∴△

OMB

≌△

OND

（

AA

S）.∴

BM

＝

DN

.

又∵

EM

＝

BM

，∴

EM

＝

DN

.

∴?

DEMN

為平行四邊形.又∵∠

EMO

＝90°，∴四邊形

DEMN

為矩形.

【點(diǎn)撥】熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、矩

形的面積公式等是解決此類題目的關(guān)鍵.

（2022·云南）如圖，在?

ABC

D中，連接

B

D，點(diǎn)E為線段

A

D

的中點(diǎn)，延長(zhǎng)

B

E與

C

D的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接

A

F，∠

B

DF＝

90°.（1）求證：四邊形

AB

DF是矩形；（1）證明：∵四邊形

ABCD

是平行四邊形，∴

AB

∥

CD

，即

AB

∥

CF

.

∴∠

BAE

＝∠

FDE

.

∵點(diǎn)

E

為線段

AD

的中點(diǎn)，∴

AE

＝

DE

.

又∵∠

AEB

＝∠

DEF

，∴△

ABE

≌△

DFE

（

A

S

A

）.∴

AB

＝

DF

.

又∵

AB

∥

DF

，∴四邊形

ABDF

是平行四邊形.又∵∠

BDF

＝90°，∴?

ABDF

是矩形.（2）若

A

D＝5，DF＝3，求四邊形

ABC

F的面積S.

如圖，將一張矩形紙片

ABC

D（

A

D＞

AB

）折疊一次，使點(diǎn)

A

與點(diǎn)

C

重合，再展開(kāi)，折痕EF交

A

D邊于點(diǎn)E，交

BC

邊于點(diǎn)F，

連接

A

F，

C

E.（1）求證：

A

O平分∠D

A

F；（2）若

A

E＝8cm

，△

AB

F的面積為20cm2，求△

AB

F的周長(zhǎng).【思路導(dǎo)航】（1）由折疊及

A

D∥

BC

可得∠

A

FE＝∠

A

EF，由

等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）在

Rt

△

AB

F中，可得

AB2

＋

B

F2的值，又根據(jù)△

AB

F的面積，可得

AB

·

B

F的值，進(jìn)而求

得

AB

＋

B

F的值，從而可得△

AB

F的周長(zhǎng).（1）證明：由折疊可知，∠

AFE

＝∠

CFE

，

AF

＝

CF

，

EF

⊥

AC

.

∵

AD

∥

BC

，∴∠

AEF

＝∠

CFE

.

∴∠

AFE

＝∠

AEF

.

∴

AE

＝

AF

.

∴△

AEF

為等腰三角形.又∵

AO

⊥

EF

，∴

AO

平分∠

DAF

.

（2）解：由（1）可得，

AF

＝

AE

，∴

AF

＝

AE

＝8cm

.∵四邊形

ABCD

是矩形，∴∠

B

＝90°.在Rt△

ABF

中，由勾股定理，得

AB2＋

BF2＝

AF2，∴

AB2＋

BF2＝82＝64.

∴

AB

·

BF

＝40.

②把②代入①，得（

AB

＋

BF

）2－2×40＝64.∴

AB

＋

BF

＝12（

cm

）或

AB

＋

BF

＝－12（舍去）.∴

AB

＋

BF

＋

AF

＝20（

cm

）.∴△

ABF

的周長(zhǎng)為20cm

.【點(diǎn)撥】折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相

等，且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分.矩形折疊產(chǎn)生菱形時(shí)，常

常會(huì)借助勾股定理建立方程.

如圖，將矩形紙片

ABC

D折疊，使點(diǎn)

C

與點(diǎn)

A

重合，折痕為EF.

若

AB

＝4，

BC

＝8，求D'F的長(zhǎng).解：∵四邊形

ABCD

是矩形，∴∠

B

＝∠

D

＝90°，

CD

＝

AB

＝4，

AD

∥

BC

.

∴∠

AFE

＝∠

CEF

.

由折疊的性質(zhì)，得∠

AEF

＝∠

CEF

，

AE

＝

CE

，∠D'＝∠

D

＝90°，

A

D'＝

CD

＝4.∴∠

AFE

＝∠

AEF

.

∴

AF

＝

AE

＝

CE

.

設(shè)

AF

＝

AE

＝

CE

＝