專題08梯形一、單選題1．下列命題中正確的是（

）A．對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形B．有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形C．一組對(duì)邊平行的四邊形一定是梯形D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形一定是等腰梯形2．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，下列條件中，不一定能判斷梯形ABCD是等腰梯形的是（

）A．AD＝BC B．∠ABC＝∠BAD C．AB＝2DC D．∠OAB＝∠OBA3．如圖，在梯形中，，，，那么下列結(jié)論不正確的是（）A． B．C． D．4．若等腰梯形兩底角為30°，腰長(zhǎng)為8，高和上底相等，則梯形中位線長(zhǎng)為

（

）A．8 B．10 C．4 D．165．如圖，將三角形紙片沿過邊中點(diǎn)D、E的線段折疊，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)F處，下列結(jié)論中，一定正確的個(gè)數(shù)是（

）①是等腰三角形

②③四邊形是菱形

④A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，在中，的平分線與交于點(diǎn)，直線與射線的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．7．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°,BC＝CD＝2AD,E、F分別是BC、CD邊的中點(diǎn)，連結(jié)BF、DE交于點(diǎn)P，連結(jié)CP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q，連結(jié)AF，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．CP平分∠BCD B．四邊形ABED為平行四邊形C．CQ將直角梯形ABCD分為面積相等的兩部分 D．△ABF為等腰三角形8．某花木場(chǎng)有一塊形如等腰梯形ABCD的空地，各邊的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，G，H，測(cè)量得對(duì)角線AC=10米，現(xiàn)想用籬笆圍成四邊形EFGH的場(chǎng)地，則需籬笆總長(zhǎng)度是（）A．40米 B．30米 C．20米 D．10米9．如圖，中，，，，、分別是其角平分線和中線，過點(diǎn)作于，交于，連接，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．210．邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，連接、，點(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為(

)A． B．1 C．2 D．二、填空題11．如圖，在中，點(diǎn)D、E分別是邊、的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為_______．12．如圖，在中，，是的中點(diǎn)．若，則等于______．13．如圖，點(diǎn)E、F分別是梯形兩腰的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，如果圖中的面積為1.5，那么梯形的面積等于___．14．平行四邊形中，兩條鄰邊長(zhǎng)分別為和，與的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則______．15．如圖，梯形ABCD中對(duì)角線，，，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，如果，那么BE：BC=_______．16．在四邊形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，若，，，，則______．17．如圖，在中，，，以為斜邊作．使，，、分別是、的中點(diǎn)，連接、、，則的長(zhǎng)為___________．18．如圖，梯形ABCD中，，，將線段CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．聯(lián)結(jié)AE、BE，設(shè)BE與邊AD交于點(diǎn)F，如果，且，那么梯形ABCD的中位線等于______．三、解答題19．如圖，在△ABC中，D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．證明：四邊形DECF是平行四邊形．20．如圖，矩形的對(duì)角線與相交點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．21．如圖，已知：、分別是的邊和邊的中點(diǎn)，連接、，若，求的面積.22．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．（1）若DE∥AB交AC于點(diǎn)E，證明：△ADE是等腰三角形；（2）若BC＝12，DE＝5，且E為AC中點(diǎn)，求AD的值．23．如圖，在梯形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，當(dāng)，求證：四邊形是等腰梯形；(2)如圖2，如果，且，求的長(zhǎng)．24．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，并延長(zhǎng)DE至F，使EF＝DE，聯(lián)結(jié)BF、CF、AC．(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形．(2)聯(lián)結(jié)BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求證：四邊形ABFC是矩形．25．已知：如圖，矩形的兩條對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．(1)求證：四邊形是等腰梯形；(2)過點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)，如果，求證：四邊形是菱形．26．如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，設(shè)BP＝x，四邊形APCD的面積為y．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(2)連接PD，當(dāng)△APD是以AD為腰的等腰三角形時(shí)，求四邊形APCD的面積．27．如圖1，已知在中，平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，如圖2所示：①求證：；②若，，求的長(zhǎng)．28．在梯形中，，點(diǎn)分別在邊上，，點(diǎn)與在直線的兩側(cè)，，射線與邊分別相交于點(diǎn)，設(shè)．（1）求邊的長(zhǎng)；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在梯形內(nèi)部時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）如果的長(zhǎng)為，求梯形的面積．專題08梯形一、單選題1．下列命題中正確的是（

）A．對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形B．有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形C．一組對(duì)邊平行的四邊形一定是梯形D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形一定是等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的判定定理與梯形定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．【解析】解：A、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，∵四邊形ABCD為梯形，∴DC∥AB，過C作CE∥DB交AB延長(zhǎng)線于E，∴四邊形BECD為平行四邊形∴∠DBA=∠E，BD=CE，∵AC=BD，∴AC=BD=CE，∴∠CAB=∠E=∠DBA，在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（SAS），∴AD=BC，四邊形ABCD為等腰梯形，故本選項(xiàng)正確；B、根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和判定可判斷：直角梯形中有兩個(gè)角相等為90度，但不是等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、一組對(duì)邊平行的四邊形一定是梯形，錯(cuò)誤，因?yàn)檫@組對(duì)邊相等，那么就有可能是平行四邊形，當(dāng)這組對(duì)邊不相等時(shí)是梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等則有兩種情況，即平行四邊形或等腰梯形，所以不能說一定是等腰梯形．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形判定與梯形的識(shí)別，掌握等腰梯形判定定理與梯形的識(shí)別方法是解題關(guān)鍵．2．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，下列條件中，不一定能判斷梯形ABCD是等腰梯形的是（

）A．AD＝BC B．∠ABC＝∠BAD C．AB＝2DC D．∠OAB＝∠OBA【答案】C【分析】等腰梯形的判定定理有：①有兩腰相等的梯形是等腰梯形，②對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．【解析】解：A、∵AD＝BC，∴梯形ABCD是等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵∠ABC＝∠BAD，∴梯形ABCD是等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵AB＝2DC，∴不能推出四邊形ABCD是等腰梯形，故本選項(xiàng)正確；D、根據(jù)∠OAB＝∠OBA，能推出梯形ABCD是等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰梯形的判定，屬于基礎(chǔ)題型．3．如圖，在梯形中，，，，那么下列結(jié)論不正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】A、根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出A不正確；B、通過等腰梯形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)即可得出∠ADB=90°，從而得出B正確；C、由梯形的性質(zhì)得出AB∥CD，結(jié)合角的計(jì)算即可得出∠ABC=60°，即C正確；D、由平行線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得出∠DAC=∠CAB，即D正確．綜上即可得出結(jié)論．【解析】A、∵AD=DC，∴AC＜AD+DC=2CD，故A不正確；B、∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠BAD，在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS），∴∠BAC=∠ABD，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD，∠ABC+∠DCB=180°，∵DC=CB，∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=∠BAC，∵∠ACB=90°，∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=30°，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=60°，B正確，C、∵AB∥CD，∴∠CDA=∠DBA，∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=∠DBA，C正確．D、∵△DAB≌△CBA，∴∠ADB=∠BCA．∵AC⊥BC，∴∠ADB=∠BCA=90°，∴DB⊥AD，D正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是逐項(xiàng)分析四個(gè)選項(xiàng)的正誤．本題屬于中檔題，稍顯繁瑣，但好在該題為選擇題，只需由三角形的三邊關(guān)系得出A不正確即可．4．若等腰梯形兩底角為30°，腰長(zhǎng)為8，高和上底相等，則梯形中位線長(zhǎng)為

（

）A．8 B．10 C．4 D．16【答案】C【分析】分析題意畫出圖形，則DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出DE=4，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)度；運(yùn)用勾股定理得出AE和BF的長(zhǎng)度，易證四邊形CDEF是平行四邊形，得出EF的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出AB+CD的長(zhǎng)度，由梯形中位線的性質(zhì)，即可解答本題.【解析】根據(jù)題意畫出圖形，則DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°.因?yàn)镈E⊥AB，∠A=30°，AD=8，所以DE=AD=4，所以CD=4，AE==4，同理BF=4.因?yàn)镈E⊥AB，CF⊥AB，所以DE∥CF.因?yàn)镃D∥EF，所以四邊形CDEF是平行四邊形，所以EF=CD=4.因?yàn)镃D=4cm，AB=AE+EF+FB=4+4+4=8+4，所以AB+CD=8+4+4=8+8，所以梯形的中位線長(zhǎng)為

(AB+CD)=4+4.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查等腰梯形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于需結(jié)合梯形中位線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)進(jìn)行求解.5．如圖，將三角形紙片沿過邊中點(diǎn)D、E的線段折疊，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)F處，下列結(jié)論中，一定正確的個(gè)數(shù)是（

）①是等腰三角形

②③四邊形是菱形

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐條分析判斷．【解析】解：①∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD，又∵△ADE≌△FDE，∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝CE，∴∠B＝∠BFD，∴△BDF是等腰三角形，故①正確；同理可證，△CEF是等腰三角形，∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=BC，故②正確；∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠C+∠CFE+∠CEF＝180°，∴∠BDF+∠FEC＝2∠A，故④正確．而無(wú)法證明四邊形ADFE是菱形，故③錯(cuò)誤．所以一定正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判別方法是說明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對(duì)角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來確定．6．如圖，在中，的平分線與交于點(diǎn)，直線與射線的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用角平分線的定義與垂直證明證明利用平行四邊形的性質(zhì)證明從而可得答案．【解析】解：∵∠ABC的平分線與CD交于點(diǎn)E，BE⊥AF，∴EF＝AE，，∵CE∥AB∴CF＝BC，∴AD＝BC=AB=，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義，等腰三角形的判定，三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°,BC＝CD＝2AD,E、F分別是BC、CD邊的中點(diǎn)，連結(jié)BF、DE交于點(diǎn)P，連結(jié)CP并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q，連結(jié)AF，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．CP平分∠BCD B．四邊形ABED為平行四邊形C．CQ將直角梯形ABCD分為面積相等的兩部分 D．△ABF為等腰三角形【答案】C【分析】A.根據(jù)邊角邊”證明△BCF≌△DCE，然后利用“角邊角”證明△BEP≌△DFP，再利用“邊角邊”證明△BCP≌△DCP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BCP=∠DCP；B.根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ABED為平行四邊形；C.連接QD，利用“邊角邊”證明△BCQ和△DCQ全等，根據(jù)全等三角形的面積相等判斷出S△BCQ=S△DCQ，判斷出CQ將直角梯形ABCD分成的兩部分面積不相等．D.根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得AB=DE，再求出AB=BF，從而得到△ABF為等腰三角形；【解析】解：∵BC=CD，E、F分別是BC、CD邊的中點(diǎn)，∴BE=CE=CF=DF，在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，即∠BEP=∠DFP，在△BEP和△DFP中，，∴△BEP≌△DFP（ASA），∴BP=DP，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴∠BCP=∠DCP，∴CP平分∠BCD，故A選項(xiàng)結(jié)論正確；∵BC=2AD，E是BC的中點(diǎn)，∴BE=AD，又∵AD∥BC，∴四邊形ABED為平行四邊形，故B選項(xiàng)結(jié)論正確；∴AB=DE，又∵DE=BF（已證），∴AE=BF，∴△ABF為等腰三角形，故D選項(xiàng)結(jié)論正確；連接QD，在△BCQ和△DCQ中，，∴△BCQ≌△DCQ（SAS），∴S△BCQ=S△DCQ，∴CQ將直角梯形ABCD分成的兩部分面積不相等，故C選項(xiàng)結(jié)論不正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角梯形，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記各圖形的判定方法和性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于多次證明三角形全等．8．某花木場(chǎng)有一塊形如等腰梯形ABCD的空地，各邊的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，G，H，測(cè)量得對(duì)角線AC=10米，現(xiàn)想用籬笆圍成四邊形EFGH的場(chǎng)地，則需籬笆總長(zhǎng)度是（）A．40米 B．30米 C．20米 D．10米【答案】C【解析】解：如圖，連接BD．根據(jù)三角形中位線定理，得，∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD．∴EF=FG=GH=HE=5．∴需籬笆總長(zhǎng)度是EF+HG+EH+GF=2AC=2×10=20（米）．故選C．9．如圖，中，，，，、分別是其角平分線和中線，過點(diǎn)作于，交于，連接，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理得到，證明得到，求得，根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．【解析】解：中，，，∴，∵，∴．∵平分，∴，在和中，∴∴，∴，∵是的中線，∴，∴是的中位線，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．10．邊長(zhǎng)為4的正方形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，連接、，點(diǎn)，分別是、的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為(

)A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接GO、HO，可得GO、HO分別是△ACE、△BDF的中位線，從而求出GO，HO的長(zhǎng)，在通過證明△GOH是直角三角形，利用勾股定理求出GH的長(zhǎng)．【解析】解：連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接GO、HO，如圖所示，∵點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)．∴AE=AB=2，BF=BC＝2．∵點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)．∴點(diǎn)O是AC、BD的中點(diǎn)．∵點(diǎn)G是EC的中點(diǎn)．∴GO是△ACE的中位線．∴GO=AE=1，且GO∥AB．同理，HO=1，且HO∥BC．∵∠ABC=90°．∴AB⊥BC．∴GO⊥HO．∴∠GOH=90°．在Rt△GOH中，GH=．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與三角形的中位線性質(zhì)定理，通過作輔助線把GH歸納到直角三角形中是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，在中，點(diǎn)D、E分別是邊、的中點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為_______．【答案】2【分析】由題意得DE為△ABC的中位線，利用三角形中位線定理可求DE．【解析】解：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴DEBC＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在中，，是的中點(diǎn)．若，則等于______．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，由三角形的中位線定理即可得．【解析】解：取的中點(diǎn)，連接，，是的中點(diǎn)，，，，在和中，，≌，，，是的中點(diǎn)，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，點(diǎn)E、F分別是梯形兩腰的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、，如果圖中的面積為1.5，那么梯形的面積等于___．【答案】6【分析】過點(diǎn)A作于H，交于G，根據(jù)梯形中位線定理得到，根據(jù)三角形的面積公式、梯形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解析】解：過點(diǎn)A作于H，交于G，如圖，∵點(diǎn)E、F分別是梯形兩腰的中點(diǎn)，∴是梯形的中位線，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是梯形的中位線、三角形的面積計(jì)算，掌握梯形中位線定理是解題的關(guān)鍵．14．平行四邊形中，兩條鄰邊長(zhǎng)分別為和，與的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則______．【答案】5或2【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題：如圖中，當(dāng)，時(shí)，延長(zhǎng)交于如圖中，當(dāng)，時(shí)；由直角三角形的性質(zhì)，梯形的中位線定理可得出答案．【解析】如圖中，當(dāng)，時(shí)，延長(zhǎng)交于．，，，，，，，，，，，，，；如圖中，當(dāng)，時(shí)，同法可證，，，可得，綜上所述，的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、梯形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)建梯形中位線解決問題，屬于中考常考題型．15．如圖，梯形ABCD中對(duì)角線，，，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，如果，那么BE：BC=_______．【答案】【分析】根據(jù)平行線與等腰三角形證明，進(jìn)而證明，得到AD=DF，再證明EF=CE，根據(jù)線段的和差關(guān)系求得CE，進(jìn)而得到BE即可得出答案．【解析】，，∵梯形ABCD中，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查梯形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判斷，互余的性質(zhì)，求出CE的長(zhǎng)是關(guān)鍵．16．在四邊形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，若，，，，則______．【答案】145°【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到BD＝2EF＝12，EF∥BD，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【解析】解：連接BD，∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，∴BD＝2EF＝12，EF∥BD，∴∠ADB＝∠AFE＝55°，∵，，∵，，∴，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝145°，故答案為：145°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在中，，，以為斜邊作．使，，、分別是、的中點(diǎn)，連接、、，則的長(zhǎng)為___________．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，根據(jù)三角形中位線定理得到，，推出，利用勾股定理即可求解．【解析】解：∵，F(xiàn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵E、F分別是、的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形中位線定理，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．18．如圖，梯形ABCD中，，，將線段CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．聯(lián)結(jié)AE、BE，設(shè)BE與邊AD交于點(diǎn)F，如果，且，那么梯形ABCD的中位線等于______．【答案】8【分析】由根據(jù)三角形的面積公式，由得，進(jìn)而求得DE=2，從而求得底邊EC的長(zhǎng)，于是可求得CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得梯形ABCD的中位線．【解析】解：過點(diǎn)B作BM⊥CE于點(diǎn)M，如下圖，∵，，∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°，∵，∴，∵，∴DE=2，∵BM⊥CE，∴∠BMD=90°，∴四邊形ABMD是矩形，∴DM=AB=4，∴EM=2+4=6，∵將線段CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，∴BE=BC，∵BM⊥CE，∴EC=2EM=12，∴CD=12-2=10，∴梯形ABCD的中位線為：，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的中位線，平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，在△ABC中，D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．證明：四邊形DECF是平行四邊形．【答案】見解析【分析】先由中位線定理得到DF∥BC，，再利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定即可．【解析】證明：∵D、E、F分別為邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．∴DF∥BC，，∴四邊形DECF是平行四邊形．20．如圖，矩形的對(duì)角線與相交點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．【答案】3【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=BD=12，=6，再根據(jù)三角形中位線定理可得．【解析】解：四邊形ABCD是矩形，，，，點(diǎn)P、Q是AO，AD的中點(diǎn)，是的中位線，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，以及三角形中位線定理，關(guān)鍵是掌握矩形對(duì)角線相等且互相平分．21．如圖，已知：、分別是的邊和邊的中點(diǎn)，連接、，若，求的面積.【答案】6cm2．【分析】首先根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，求出S△ACD是多少；然后根據(jù)E是AC的中點(diǎn)，用△ACD的面積除以2，求出△DEC的面積的面積為多少即可．【解析】解：∵D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴S△ACD=24÷2=12（cm2）；又∵E是AC的中點(diǎn)，∴S△DEC=12÷2=6（cm2）．故答案為6cm2．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積的求法，要熟練掌握，解題的關(guān)鍵是要明確：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．22．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．（1）若DE∥AB交AC于點(diǎn)E，證明：△ADE是等腰三角形；（2）若BC＝12，DE＝5，且E為AC中點(diǎn)，求AD的值．【答案】（1）見解析；（2）8【分析】（1）根據(jù)“三線合一”性質(zhì)先推出∠BAD=∠CAD，再結(jié)合平行線的性質(zhì)推出∠BAD=∠ADE，從而得到∠ADE=∠EAD，即可根據(jù)“等角對(duì)等邊”證明；（2）根據(jù)題意結(jié)合中位線定理可先推出AC=2DE，然后在Rt△ADC中利用勾股定理求解即可．【解析】（1）證：∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC為等腰三角形，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴由“三線合一”知：∠BAD=∠CAD，∵DE∥AB交AC于點(diǎn)E，∴∠BAD=∠ADE，∴∠CAD=∠ADE，即：∠ADE=∠EAD，∴AE=DE，∴△ADE是等腰三角形；（2）解：由“三線合一”知：BD=CD，∵BC=12，∴DC=6，∵E為AC中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，∴AB=2DE，∴AC=AB=2DE=10，在Rt△ADC中，，∴AD=8．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理解三角形，以及三角形的中位線定理等，掌握等腰三角形的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用中位線定理和勾股定理計(jì)算是解題關(guān)鍵．23．如圖，在梯形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，當(dāng)，求證：四邊形是等腰梯形；(2)如圖2，如果，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明再證明可得從而可得答案；（2）如圖，過作于過作于證明四邊形是矩形，可得設(shè)則由再建立方程求解即可．【解析】（1）證明：∵∴∵，∴∴∵∴∴∴∴即∵梯形，∴梯形是等腰梯形．（2）如圖，過作于過作于而∴∴四邊形是矩形，∴∵∴設(shè)則∵∴解得：（負(fù)根舍去）∴【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的判定，矩形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的判定，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，掌握以上知識(shí)并靈活運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．24．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，并延長(zhǎng)DE至F，使EF＝DE，聯(lián)結(jié)BF、CF、AC．(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形．(2)聯(lián)結(jié)BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求證：四邊形ABFC是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC＝BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝FB，從而得到AC＝BF，然后證得ACBF，利用一組對(duì)邊平行且相等判定平行四邊形；（2）先證明△BDF是等邊三角形，再證明∠ABF＝90°，即可得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接BD．∵梯形ABCD中，ADBC，AB＝DC，∴四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD，∵△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB＝∠DBC．又∵DE⊥BC，EF＝DE，∴△BDF是等腰三角形，∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，∴ACBF，∴四邊形ABFC是平行四邊形；（2）∵BC垂直平分DF，∴BD＝BF，∠BED＝90°，∵BD＝DF，∴△BDF是等邊三角形，∴∠BDE＝60°，∠DBE＝30°，∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵ADBC，∴∠ADB＝∠DBE＝∠ABD＝30°，∴∠ABF＝90°，∵四邊形ABFC是平行四邊形，∴四邊形ABFC是矩形【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的定義、等邊三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握平行四邊形的判定和矩形的定義是解題的關(guān)鍵．25．已知：如圖，矩形的兩條對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．(1)求證：四邊形是等腰梯形；(2)過點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)，如果，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，，，求出

，，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出，，，求出，，根據(jù)等腰梯形的判定得出即可；（2）根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出．求出，求出處，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形和四邊形是平行四邊形．求出，根據(jù)菱形的判定得出平行四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，求出即可．【解析】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)，，，，，，，即，四邊形是等腰梯形；（2）證明：連接，點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)，，，，，四邊形是矩形，，，由（1）知：，四邊形是平行四邊形，同理：四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，平行四邊形是菱形，，又四邊形是等腰梯形，，又，，四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用等腰梯形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．26．如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，，設(shè)BP＝x，四邊形APCD的面積為y．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(2)連接PD，當(dāng)△APD是以AD為腰的等腰三角形時(shí)，求四邊形APCD的面積．【答案】(1)(2)88或96或48【分析】（