第十一章概率其次講古典概型與幾何概型1.[2024長春市第一次質量監(jiān)測]張老師居住的一條街上,行駛著甲、乙兩路公交車,這兩路公交車的數(shù)目相同,并且都是每隔非常鐘就到達車站一輛(即停即走).張老師每天早晨都是在6:00到6:10之間到達車站乘車到學校,這兩條公交線路對他是一樣的,都可以到達學校,甲路公交車的到站時間是6:09,6:19,6:29,6:39,…,乙路公交車的到站時間是6:00,6:10,6:20,6:30,…,則張老師乘坐上甲路公交車的概率是()A.10% B.50% C.60% D.90%2.[2024安徽省示范中學聯(lián)考]在以正五邊形ABCDE的頂點為頂點的三角形中,任取一個,是鈍角三角形的概率()A.12 B.13 C.13.[2024石家莊質檢]北京冬奧會將于2024年2月4日到2024年2月20日在北京和張家口實行.申奧勝利后,中國郵政接連發(fā)行多款郵票,圖案包括冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”、冬奧會祥瑞物“冰墩墩”、冬殘奧會祥瑞物“雪容融”、多種冰上運動等.現(xiàn)從2枚會徽郵票、2枚祥瑞物郵票、1枚冰上運動郵票共5枚郵票中任取3枚,則恰有1枚祥瑞物郵票的概率為()A.310 B.12 C.34.[2024晉南中學聯(lián)考]把分別寫有1,2,3,4的四張卡片全部分給甲、乙、丙三個人,每人至少一張,且若分得的卡片超過一張,則必需是連號,那么2,3連號的概率為()A.23 B.13 C.35.[2024貴陽四校第一次聯(lián)考][條件創(chuàng)新]在區(qū)間[-2,2]內隨機取一個數(shù)x,則事務“y=2x,x≤0,x+1,xA.78 B.58 C.36.[2024廣東珠海模擬][與音樂結合]現(xiàn)有8位同學參與音樂節(jié)演出活動,每位同學都會拉小提琴或吹長笛,已知5人會拉小提琴,5人會吹長笛,現(xiàn)從這8人中隨機選一人上場演出,恰好選中兩種樂器都會演奏的同學的概率是()A.14 B.12 C.37.[2024蓉城名校聯(lián)考]已知x,y滿意|x|+|y|≤1,則事務“x2+y2≤12”的概率為()A.π8 B.π4 C.1-π8.[2024黑龍江省六校階段聯(lián)考]古希臘雅典學派算學家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論,利用尺規(guī)作圖可畫出已知線段的黃金分割點,詳細方法如下:如圖11-2-1,取線段AB=2,過點B作AB的垂線,并用圓規(guī)在垂線上截取BC=12AB=1,連接AC;以C為圓心,BC長為半徑畫弧,交AC于點D;以A為圓心,AD長為半徑畫弧,交AB于點E.則點E為線段AB的黃金分割點.若在線段AB上隨機取一點F,則使得BE≤AF≤AE的概率約為(參考數(shù)據(jù):5≈2.236)()A.0.236 B.0.382 C.0.472 D.0.618圖11-2-19.[2024洛陽市第一次統(tǒng)考]已知圓O:x2+y2=4交x軸正半軸于點P,在圓O上隨機取一點Q,則使|PQ|<2成立的概率為()A.16 B.13 C.1圖11-2-210.[2024唐山市摸底考試]圖11-2-2由一個半圓和一個四分之一圓構成,其中空白部分為二者的重合部分,兩個陰影部分分別記為A和M.在此圖內任取一點,此點取自A區(qū)域的概率記為P(A),取自M區(qū)域的概率記為P(M),則()A.P(A)>P(M)B.P(A)<P(M)C.P(A)=P(M)D.P(A)與P(M)的大小關系與半徑長度有關11.[2024河南聯(lián)考]陽馬是底面為長方形,有一條側棱與底面垂直的四棱錐.在陽馬P-ABCD中,PC為陽馬P-ABCD中最長的棱,AB=1,AD=2,PC=3,若在陽馬P-ABCD的外接球內部隨機取一點,則該點位于陽馬內的概率為()A.127π B.427π C.827π12.[2024大同市高三調研]中國象棋是中華文化的珍寶,中國象棋棋盤上的“米”字形方格叫作九宮.現(xiàn)有一張中國象棋棋盤的示意圖如圖11-2-3所示.若在矩形ABCD內(其中楚河漢界寬度等于每個小格的邊長)隨機取一點,則該點落在九宮內的概率是.

圖11-2-313.[2024蘇州中學調研]蘇州軌道交通3號線已起先運行,蘇州軌道交通集團面對廣闊市民開展“參觀體驗,征求看法”活動,市民可以通過蘇州地鐵App搶票.小陳搶到了三張體驗票,打算從四位摯友小王、小張、小劉和小李中隨機選擇兩位去參與體驗活動,則小王和小李至多有一人被選中的概率為()A.16 B.13 C.214.[2024江蘇徐州模擬][情境創(chuàng)新]如圖11-2-4,《宋人撲棗圖軸》是作于宋朝的中國古畫.甲、乙兩人想依據(jù)該圖編排一個舞蹈,舞蹈中他們要仿照該圖中小孩撲棗時的爬、扶、撿、頂中的兩個動作,每人仿照一個動作,若他們采納抽簽的方式來確定誰仿照哪個動作,則甲仿照“爬”或“扶”且乙仿照“扶”或“撿”的概率是()A.12 B.C.14 D.圖11-2-415.[2024衡水中學6月模擬]2024年是中國農歷的鼠年,中國郵政為此發(fā)行了一枚名為“鼠兆豐年”的鼠年生肖郵票,兩只大老鼠帶著可愛的小老鼠側身遠望,身邊是寓意豐收的花生,表情高興、得意,寓意2024年五谷豐登,闔家快樂.該郵票的規(guī)格為36×36mm,為了估算圖11-2-5中3只老鼠圖案的面積,現(xiàn)向該郵票內隨機投擲200粒芝麻,恰有120粒芝麻落在老鼠圖案內,據(jù)此可估計老鼠圖案的面積為()A.791mm2 B.778mm2C.745mm2 D.700mm2圖11-2-516.[2024洛陽市第一次聯(lián)考]在[-6,9]內任取一個實數(shù)m,設f(x)=-x2+mx+m,則函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點的概率為()A.215 B.715 C.317.[2024武漢市部分學校質量監(jiān)測]圓周率π是一個在數(shù)學及物理學中普遍存在的數(shù)學常數(shù),它既常用又神奇,古今中外許多數(shù)學家曾探討它的計算方法.下面做一個嬉戲:請足夠多的人各自隨意寫下兩個小于1的正數(shù),然后請他們各自檢查一下,所得的兩數(shù)與1是否能作為一個銳角三角形的三邊長,最終把結論告知你,你只需將每個人的結論記錄下來就能算出圓周率的近似值.假設有n個人說“能”,而有m個人說“不能”,那么應用你學過的學問可算得圓周率π的近似值為()A.mm+n B.nm18.[2024成都市高三摸底測試]為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念,某城區(qū)對轄區(qū)內A,B,C三類行業(yè)共200個單位的生態(tài)環(huán)境治理成效進行了考核評估,考評成果達到80分及以上的單位被稱為“星級”環(huán)保單位,未達到80分的單位被稱為“非星級”環(huán)保單位.現(xiàn)通過分層抽樣的方法抽取了這三類行業(yè)中的20個單位,其考評分數(shù)如下.A類行業(yè):85,82,77,78,83,87.B類行業(yè):76,67,80,85,79,81.C類行業(yè):87,89,76,86,75,84,90,82.(1)試估算這三類行業(yè)中每類行業(yè)的單位個數(shù);(2)若在抽出的A類行業(yè)的這6個單位中,隨機選取3個單位進行溝通發(fā)言,求選出的3個單位中既有“星級”環(huán)保單位,又有“非星級”環(huán)保單位的概率.19.[2024江西省重點中學聯(lián)考][與集合、函數(shù)綜合]對數(shù)的獨創(chuàng)是數(shù)學史上的重大事務,它可以改進數(shù)字的計算方法、提高計算速度和精確度.已知集合M={1,3},N={1,3,5,7,9},若從集合M,N中各任取一個數(shù)x,y,則log3(xy)為整數(shù)的概率為()A.15 B.25 C.3520.[2024河北張家口5月模擬][角度創(chuàng)新]定義一個運算:對于一個正整數(shù)n,假如它是奇數(shù),則將它乘3再加1;假如它是偶數(shù),則將它除以2.如此循環(huán)最終都能夠得到1.如:取n=6,依據(jù)上述過程,得出6,3,10,5,16,8,4,2,1,共9個數(shù).若n=5,從依據(jù)上述過程得出的整數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),則這兩個數(shù)都是偶數(shù)的概率為()A.37 B.715 C.2答案第十一章概率其次講古典概型與幾何概型1.D張老師在早晨6:00到6:10之間到達車站是等可能的,故張老師在早晨6:00到6:09之間到達車站乘坐上甲路公交車的概率為910=90%,故選D2.A在正五邊形ABCDE的五個頂點中任取三個頂點可以構成的三角形有△ABC,△ABD,△ABE,△ACD,△ACE,△ADE,△BCD,△BCE,△BDE,△CDE,共10個三角形,其中△ABC,△BCD,△CDE,△ADE,△ABE這5個三角形是鈍角三角形,所以在以正五邊形ABCDE的頂點為頂點的三角形中,任取一個,是鈍角三角形的概率P=510=【信息提取】本題的本質是求在正五邊形ABCDE的五個頂點中任取三個頂點共構成多少個三角形及構成的三角形中有多少個鈍角三角形.3.C(枚舉法)記5枚郵票中祥瑞物郵票分別為x,y,其余三枚分別為a,b,c,則從5枚郵票中任取3枚的基本領件有abc,abx,aby,bcx,bcy,acx,acy,axy,bxy,cxy,共10個,3枚中恰有1枚祥瑞物郵票的基本領件有abx,aby,bcx,bcy,acx,acy,共6個,所以恰有1枚祥瑞物郵票的概率P=610=34.B由題意知,四張卡片中有兩張卡片要連號,所以分給甲、乙、丙三人共有18種分法,分別是(12,3,4),(12,4,3),(3,12,4),(4,12,3),(3,4,12),(4,3,12),(1,23,4),(4,23,1),(1,4,23),(4,1,23),(23,1,4),(23,4,1),(1,2,34),(2,1,34),(1,34,2),(2,34,1),(34,1,2),(34,2,1).其中2,3連號的有6種,它們是(1,23,4),(4,23,1),(1,4,23),(4,1,23),(23,1,4),(23,4,1),所以2,3連號的概率P=618=15.D設事務M為“y=2x,x≤0,x+1,x>0,且y∈[12,2]”.易知該分段函數(shù)是一個增函數(shù),則x≤0,12≤26.A從8人中隨機選一人上場演出所包含的基本領件數(shù)為8,由題易知,兩種樂器都會演奏的同學有2人,所以恰好選中兩種樂器都會演奏的同學所包含的基本領件數(shù)為2,因此所求概率為P=28=7.B依據(jù)不等式|x|+|y|≤1可得x+y≤1,x-y≤1,-x+y≤1,-x-y≤1,作出其表示的平面區(qū)域可以得到一個邊長為2的正方形及其內部,如圖D11-2-3,x2+y2≤1圖D11-2-38.A由勾股定理可得AC=5,由題圖可知BC=CD=1,AD=AE=5-1≈1.236,BE≈2-1.236=0.764,則0.764≤AF≤1.236,由幾何概型的概率計算公式可知,使得BE≤AF≤AE的概率約為1.236-0.7642=0.9.B由題意,P(2,0).如圖D11-2-4,設Q(x,y),由|PQ|<2,得(x-2)2+y2<4,設圓x2+y2=4與圓(x-2)2+y2=4在第一象限的交點為M,在第四象限的交點為N,連接OM,MP,ON,NP,由x2+y2=4(x-2)2+y2=4,解得M(1,3),N(1,-3),所以|PM|=|PN|=2,則△POM,△PON均是等邊三角形,所以∠MON圖D11-2-410.C不妨設四分之一圓的半徑為1,則半圓的半徑為22.記A區(qū)域的面積為S1,M區(qū)域的面積為S2,則S2=12π×(22)2-(14π×12-S1)=S1,所以P(A)=P11.C依據(jù)題意,可知PC即為陽馬P-ABCD的外接球的直徑,故外接球的體積V球=43π×(32)3=由題意知,PA⊥平面ABCD,則PC=PA所以3=PA所以PA=2,則陽馬P-ABCD的體積V陽馬P-ABCD=13×1×2×2=4所以所求概率P=439π212.19設每個小正方形的邊長為1,則矩形ABCD的面積為72,兩個九宮的面積和為8,所以若在矩形ABCD內隨機取一點,則該點落在九宮內的概率P=813.D解法一(間接法)從小王、小張、小劉和小李中隨機選擇兩位的基本領件總數(shù)為6,小王和小李均被選中的基本領件數(shù)為1,故小王和小李至多有一人被選中的概率為P=1-16=解法二(干脆法)從小王、小張、小劉和小李中隨機選擇兩位的基本領件總數(shù)為6,小王和小李至多有一人被選中分為兩類:第一類,小王、小李均沒被選中,其對應的基本領件數(shù)為1;其次類,小王、小李恰有一人被選中,其對應的基本領件數(shù)為4.故小王和小李至多有一人被選中的概率為P=1+46=14.C甲、乙兩人仿照圖中小孩撲棗時的爬、扶、撿、頂中的兩個動作,共有12種方法.其中甲仿照“爬”或“扶”且乙仿照“扶”或“撿”分下列兩類,第一類:甲仿照“爬”,乙仿照“扶”或“撿”,共有2種方法.其次類:甲仿照“扶”,乙仿照“撿”,共有1種方法.因此所求概率P=2+112=115.B設老鼠圖案的面積為S,依據(jù)題意得S36×36即S=120200×36×36≈778(mm2),故選B16.D記“函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點”為事務A,當函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點時,對于方程-x2+mx+m=0,有Δ=m2+4m≥0,解得m≤-4或m≥0,又m∈[-6,9],所以-6≤m≤-4或0≤m≤9.故P(A)=2+915=17.C因為總人數(shù)是m+n,所以寫出的(m+n)組數(shù)可以看作是(m+n)個點的坐標,滿意與1不能作為一個銳角三角形的三邊長的是指兩個數(shù)構成的點的坐標(x,y)滿意x2+y2≤1,且x>0,y>0,如圖D11-2-5中陰影部分所示,由幾何概型的概率計算公式,得14π×12圖D11-2-518.(1)由題意,抽取的三類行業(yè)的單位個數(shù)之比為3∶3∶4.由分層抽樣的定義,有A類行業(yè)單位的個數(shù)為310×200=60;B類行業(yè)單位的個數(shù)為310×200=60;C類行業(yè)單位的個數(shù)為410×200=80.∴A,B,C三類行業(yè)的單位個數(shù)分別為60,60,80.(2)記“選出的這3個單位中既有‘星級’環(huán)保單位,又有‘非星級’環(huán)保單位”為事務M.在A類行業(yè)的6個單位中隨機選取3個單位,這3個單位的考評分數(shù)的情形有:{85,82,77},{85,82,78},{85,82,83},{85,82,87},{85,77,78},{85,77,83},{85,77,87},{85,78,83},{85,78,87},{85,83,87},{82,77,78},{82,77,83},{82,77,87},{82,