2020-2021學(xué)年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)

試卷

一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第『6題每題4分，第7-12題每題5分）.

1.拋物線f=~4y的準(zhǔn)線方程為_y=l_.

答案：y=l.

2.若復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=2（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為__1_.

答案-1.

-101

3.三階行列式034第3行第2列元素的代數(shù)余子式的值是_-3_.

221

答案：-3.

22

4.方程^--J=1表示橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是（忘，2）U（2,+oo）.

k2-k2___

答案：（后，2）U（2,+oo）.

5.在復(fù)平面上，已知直線/上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=|z-3-i|,則直線/的傾斜角

為九-arctan-.（結(jié)果反三角函數(shù)值表示）

-2-

答案：=arctan—.

2

6.已知直線/經(jīng)過原點，且與直線》=居+1的夾角為30。，則直線/的方程為_y=弓X-

或％=0—.

答案：y=—x,或％=0.

3

y..x

7.設(shè)m>1,當(dāng)實數(shù)x,y滿足不等式組為2%,目標(biāo)函數(shù)2=元+沖的最大值等于3,則

x+M，1

m的值是4.

答案：4.

AB.BC+BC>CA+CA.AB的值等于_-8_.

答案：-8.

9.若直線3x+4y+〃z=0與曲線尸=l+cosO笛為參數(shù))沒有公共點，則實數(shù)機(jī)的取值范

[y=-2+sin〃

圍是_m>10或m<0_.

答案：根>10或相v0.

2

10.過雙曲線彳2一,=1的右支上一點P,分別向圓G：(x+4)2+y2=4和圓

C2：(X-4)2+V=I作切線，切點分別為N,則-的最小值為13.

答案：13.

11.已知。為AABC的外心，|AB|=16,|AC|=10點，而=工通+yZS,且32x+25y=25,

則|砌=10

答案：10.

12.已知曲線r：R(x,y)=O對坐標(biāo)平面上任意一點P(x,y),定義尸[P]=F(x,y).若兩點尸，

。滿足尸[尸]?尸稱點尸，。在曲線「兩側(cè).記到點(0,1)與到x軸距離和為5的點的

軌跡為曲線C,曲線「:FO,y)=/+y2-y—a=o,若曲線C上總存在兩點M,N在曲線「

兩側(cè)，則實數(shù)“的取值范圍是_6<a<24_.

點評：本題考查解析幾何的數(shù)形分析，利用條件建立曲線方程后需要進(jìn)行方程的軌跡分析并

通過圖形分析得出代數(shù)結(jié)論產(chǎn)生答案。需要學(xué)生了解解析幾何的核心在于利用代數(shù)的思想解

決幾何問題，故常需要積累數(shù)的幾何意義與形的代數(shù)解讀兩方向應(yīng)用(即數(shù)到形與形到數(shù)的

關(guān)聯(lián))

答案：6<C7<24.

詳解：設(shè)曲線C上的動點為(x,y),則G+gy+lyj

化簡得曲線C的方程為%2=8(3-刈噫/3)和x2=12(y+2)(-2觸0),

其軌跡為兩段拋物線弧

當(dāng)魄力3時，F(xiàn)(x,y)=y2-9y+24-ae[6-a,24-a]；

當(dāng)一2張60時,F(x,y)=y2+11j+24-ae[6-a,24-a]；

故若有F[M]-F[?/]<0,貝!](6-a)(24-a)<0=>6<a<24.

二、選擇題(本大題共4題，滿分20分，每題5分)

13.直線x+3y-l=0的一個法向量可以是()

A.(3,-1)B.(3,1)C.(1,3)D.(-1,3)

答案：C.

14.設(shè)6、c均為實數(shù)，關(guān)于x的方程無2+6|x|+c=0在復(fù)數(shù)集C上給出下列兩個結(jié)論：

①存在6、c,使得該方程僅有兩個共輾虛根；②存在6、c,使得該方程最多有6個互不

相等的根；

其中正確的是()

A.①與②均正確B.①正確，②不正確

C.①不正確，②正確D.①與②均不正確

答案：A.

15.已知過拋物線C:V=4x焦點F的直線與C交于P,。兩點，交圓/+/-2%=0于”，

N兩點，其中P,M位于第一象限，則一^+」一的值不可能為（）

\PM\|QN|

A.6B.5C.4D.3

答案：D.

16.已知兩個不相等的非零向量G,b,兩組向量X],x2,x3,,4和％,y2,%,

%,%均由2個1和3個B排列而成，記5=占?%+%?%+%?%+X4U4，S,”加表示

S所有可能取值中的最小值，表示S所有可能取值中的最大值.下列說法中正確的個數(shù)

是（）

①S有5個不同的值；②若皿,且|萬|=|5|=1,則與心=5；

③若|5|>4⑷，則%>0；④若|5|=25|,S,?,?=8|5|2,則萬與B的夾角為

A.1B.2C.3D.4

點評：本題的壓軸在于多章節(jié)的穿插應(yīng)用導(dǎo)致難度加大，首先需要根據(jù)條件進(jìn)行排列分布規(guī)

律進(jìn)行分析，結(jié)合排列組合章節(jié)內(nèi)容明確S有三類情況出現(xiàn)，并根據(jù)這三類情況進(jìn)一步分析

進(jìn)行或歸納或變形，而變形的過程又要根據(jù)每一問的條件方向決定變形技巧達(dá)到解題目的

答案：C

詳解：因為%,其。=1,2,3,4,5）均由2個萬和3個6排列而成，

所以S=x,y,可能有三種情況：

222222

Sl=a+a+b+b+b=2a+3P,

22222

S2=a+a>b+a-b+b+b=a+2b+2a>b,

22

S3=a-b+a-b+a-b+a-b+b=4a-b+b,故①錯誤，

22222

S}-S2=S2-S3=a+b-2a-b^i+b-2\a\\b\=（\a\-\b\）0,

所以S中最大值為

若乙_1_萬，且|西=|B|=1,貝!ISs=5;故②正確.

若|5|>4|萬|,貝！JS.=$3=4|洲.|」|cosM+廬〉7|前5|+|訐>一|方『+|5『=0,故③正確，

若|5|=2|方I，S.=8|喬,則5.=53=81612cos0+4|萬『=8|萬

所以2cos6=1,所以。=工，

3

即萬與B的夾角為￡,故④正確.

3

綜上所述，正確的命題是：②③④.

故選：C.

三、解答題(本大題共5題，滿分76分)

3

17.已知復(fù)數(shù)4=----+(/一3?,z,=2-(3o+l)i(aeR,i是虛數(shù)單位).

4+2

(1)若4-W在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點落在第一象限，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若虛數(shù)4是實系數(shù)一元二次方程尤2-6X+〃Z=0的根，求實數(shù)機(jī)的值.

答案：(1)(-oo,-l)；(2)雉=13.

18.如圖，一座圓拱橋，當(dāng)水面在機(jī)位置時，拱頂離水面2米，水面寬12米.當(dāng)水面下降

1米后水面寬多少米？

12

答案：當(dāng)水面下降1米后，水面寬為2庖米.

19.過拋物線外一點加作拋物線的兩條切線，兩切點的連線段稱為點以對應(yīng)的切點弦.已

知拋物線為f=4y,點尸，Q在直線/:y=-l上，過尸，。兩點對應(yīng)的切點弦分別為他，

CD.

(1)當(dāng)點P在/上移動時，直線鉆是否經(jīng)過某一定點，若有，請求出該定點的坐標(biāo)；如果

沒有，請說明理由.

(2)當(dāng)ABLCD時，求線段尸。長度的最小值，及此時點P,。的坐標(biāo).

答案：(1)定點(0,1).(2)當(dāng)尸(2,-1),。(-2,-1)時|PQ|取得最小值4.

20.已知橢圓E:=+當(dāng)=l(a>6>0)經(jīng)過點M(l,組)，月，居是橢圓E的兩個焦點,

ab2

|不乙|=2百，P是橢圓E上的一個動點.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點P在第一象限，且兩'.照,：,求點尸的橫坐標(biāo)的取值范圍；

(3)是否存在過定點N(0,2)的直線/與橢圓E交于不同的兩點A,B,使AAO3為直角三

角形(其中O為坐標(biāo)原點)？若存在，求出直線/的斜率k；若不存在，請說明理由.

答案：(1)—+/=1；(2)(0,同；(3)±2,土尸+巫.

4-V2

2222

21.如圖，曲線「由曲線￡:=+與=l(a>6>0,y,0)和曲線C,:=-4=l(y>0)組成，

abab

其中點耳，F(xiàn)?為曲線C所在圓錐曲線的焦點，點尸3,工為曲線&所在圓錐曲線的焦點，

⑴若工(2,0),巴(-6,0),求曲線「的方程;

(2)如圖，作直線/平行于曲線C?的漸近線，交曲線G于點A、B,求證：弦至的中點

M必在曲線C2的另一條漸近線上;

(3)對于(1)中的曲線r,若直線4過點招交曲線G于點c、D,求ACZ)大面積的最大

值.

點評：本題作為壓軸題對第一問作了適當(dāng)變形，對于求曲線方程的基本處理就是提取關(guān)鍵信

息進(jìn)行待定系數(shù)求解，即使屬于半雙曲線半橢圓也一樣思路；第二問屬于弦的常規(guī)處理，

利用聯(lián)立方程組求得中點坐標(biāo)代入雙曲線漸近線方程即可，第三問屬常見的幾何表達(dá)問

題，根據(jù)條件利用弦的相關(guān)結(jié)論表達(dá)面積問題并進(jìn)一步分析最值

答案：(1)二+E=l(y,,o)和工一上=l(y>0).(2)見詳解(3);.〃=巫時，SCDF.

201620162mA3

詳解:(1)解：8(2,0),瑪(一6,0),

a2+/=36

a2-b2=4

a2=20

解得

/=16

2222

則曲線r的方程為2+匕=1（M,O）和土一二=10>0）.

20162016

（2）證明：曲線C?的漸近線為y=±?x,

a

h

如圖，設(shè)直線I：y=-（x-rn）,

a

b.、

y=-(x-m)

則a,化為—2mx+O?-〃2)=o,

——%+—y=i1

2

b

△=4m2-8(m2—a2)>0,

解得—yf2a<m<\(2a.

又由數(shù)形結(jié)合知6,m<y/2a.

設(shè)點A(玉,%),B(X2,%)'M(%o,%)，

2_2

貝!J玉+/=根，x,x2=--——，

x+xmb、bm

x=---?=—，y0=—(z%-m)=~~.

022a2a

y0=--x0,即點M在直線y=-?無上.

a