PAGE吉林省遼源市第五中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文（含解析）一．選擇題1.某鎮(zhèn)有、、三個(gè)村，，它們的精準(zhǔn)扶貧的人口數(shù)量之比為，現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽出容量為的樣本，樣本中村有15人，則樣本容量為（）A.50 B.60 C.70 D.80【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用分層抽樣的學(xué)問，村抽出15人，結(jié)合三個(gè)村的人口比例解出答案【詳解】設(shè)、B、三個(gè)村的人口分別為則由題意可得解得故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣法，解題的關(guān)鍵是駕馭分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題．2.數(shù)列3，7，13，21，31，…的通項(xiàng)公式是（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.詳解】依題意可知，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖是調(diào)查某學(xué)校高三年級(jí)男女學(xué)生是否喜愛數(shù)學(xué)的等高條形圖，陰影部分的高表示喜愛數(shù)學(xué)的頻率．已知該年級(jí)男生女生各500名（全部學(xué)生都參與了調(diào)查），現(xiàn)從全部喜愛數(shù)學(xué)的同學(xué)中按分層抽樣的方式抽取32人，則抽取的男生人數(shù)為A.16 B.32 C.24 D.8【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等高條形圖可得到喜愛數(shù)學(xué)的女生和男生的比為1:3，再由分層抽樣計(jì)算出抽取的男生人數(shù)．【詳解】由等高條形圖可知：喜愛數(shù)學(xué)的女生和男生的比為1:3，所以抽取的男生數(shù)為24人．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查高條形圖與分層抽樣，需駕馭等高條形圖的性質(zhì)與分層抽樣方法，屬于基礎(chǔ)題．4.在中，，那么是（）A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.非鈍角三角形【答案】B【解析】因?yàn)椋钥稍O(shè)，由余弦定理可得，所以，是鈍角三角形，故選B.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用余弦定理的應(yīng)用以及推斷三角形形態(tài)，屬于中檔題.推斷三角形態(tài)的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行推斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行推斷；（3）依據(jù)余弦定理確定一個(gè)內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形.5.已知等差數(shù)列，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得方程組得到代入通項(xiàng)公式得【詳解】由題意得所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式，考查基本運(yùn)算實(shí)力．6.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】題目已知數(shù)列為等差數(shù)列，且知道某兩項(xiàng)的比值，要求某兩個(gè)前項(xiàng)和的比值，故考慮用相應(yīng)的等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，將要求的式子轉(zhuǎn)化為已知條件來求解.【詳解】，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和等差中項(xiàng)的應(yīng)用.等差數(shù)列求和公式有兩個(gè)，它們分別是，和.在解題過程中，要選擇合適的公式來解決.本題中已知項(xiàng)之間的比值，求項(xiàng)之間的比值，故考慮用其次個(gè)公式來計(jì)算，簡(jiǎn)化運(yùn)算.7.某公司的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出小明等車時(shí)間不超過分鐘的時(shí)間長(zhǎng)度，代入幾何概型概率計(jì)算公式，可得答案．【詳解】設(shè)小明到達(dá)時(shí)間為，當(dāng)在7：50至8：00，或8：20至8：30時(shí)，小明等車時(shí)間不超過10分鐘，依據(jù)幾何概型概率計(jì)算公式得.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查求幾何概型中長(zhǎng)度型的概率，屬于簡(jiǎn)潔題．8.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則的值為（）A.38 B.-19 C.-38 D.19【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知．即．．故本題答案選．9.依據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)得到的回來直線方程，則下列推斷正確的是（）x23456y4.02.5-050.5-2A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)增減性得再求代入驗(yàn)證選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)殡S著增加，大體削減，所以因?yàn)?，所以，故選D【點(diǎn)睛】本題考查回來直線方程，考查基本分析推斷實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.10.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)邊分別為，已知，的面積為，，則的外接圓面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)，可得，化簡(jiǎn)即可得到，再利用三角形的面積公式以及余弦定理聯(lián)立方程，可得，再依據(jù)正弦定理可得，從而求得三角形外接圓的半徑，即可得到面積【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫杭从捎谠谥?，，由誘導(dǎo)公式可得，所以等價(jià)于，由于在中，，則，所以，因?yàn)樵谥?，，故由于的面積為，，所以由三角形面積公式以及余弦定理可得：解得：所以由正弦定理可得，解得：，則的外接圓的半徑為2，其面積為故答案選A【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式在三角形中的應(yīng)用，嫻熟駕馭公式是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生基本的運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題11.為了從甲乙兩人中選一人參與?；@球隊(duì)，教練將二人最近6次籃球競(jìng)賽的得分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，甲乙兩人的平均得分分別是、，則下列說法正確的是（）A.，乙比甲穩(wěn)定，應(yīng)選乙參與競(jìng)賽 B.，甲比乙穩(wěn)定，應(yīng)選甲參與競(jìng)賽C.，甲比乙穩(wěn)定，應(yīng)選甲參與競(jìng)賽 D.，乙比甲穩(wěn)定，應(yīng)選乙參與競(jìng)賽【答案】B【解析】【分析】先計(jì)算出甲乙兩個(gè)學(xué)生的平均得分，再分析得解.【詳解】由題得，，所以.從莖葉圖可以看出甲的成果較穩(wěn)定，所以要派甲參與.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算和莖葉圖，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.12.設(shè)為三角形三內(nèi)角，且方程有兩相等的實(shí)根，那么角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)方程有兩相等實(shí)根可得判別式，在依據(jù)正弦定理把角換成邊，化簡(jiǎn)得，代入余弦定理得，再依據(jù)兩邊平方，得出與的關(guān)系，進(jìn)而推斷出的范圍.【詳解】依題意有，依據(jù)正弦定理得：，即，化簡(jiǎn)得：，整理得：，即，且所以，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)推斷三角形內(nèi)角取值范圍的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有一元二次方程根的個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系，正弦定理，余弦定理，屬于中檔題目.二、填空題：13.數(shù)列，，，，，…的通項(xiàng)公式______．【答案】【解析】【分析】先考慮的通項(xiàng)公式，由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由于是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.14.已知數(shù)列{}的前項(xiàng)和，則其通項(xiàng)；若它的第項(xiàng)滿足，則【答案】2n-10，8【解析】當(dāng)n=1時(shí)，,經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)，也滿足上式，因而,由所以.15.在某城市青年歌手大賽中，七位評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)如下：91，89，91，96，94，95，94.去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的方差為___.【答案】【解析】【分析】去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)為91，91，94，95，94，由此能得出所剩數(shù)據(jù)的平均值進(jìn)而得到方差．【詳解】∵七位評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)如下：91，89，91，96，94，95，94，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)為91，91，94，95，94，∴所剩數(shù)據(jù)的平均值為：，所剩數(shù)據(jù)的方差為：S2＝[（91﹣93）2+（91﹣93）2+（94﹣93）2+（95﹣93）2+（94﹣93）2]＝2.8．故答案為2.8．【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)的平均值和方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意平均數(shù)公式和方差公式的合理運(yùn)用．16.已知是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，，若對(duì)隨意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知可求得數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而求得，再由數(shù)列的性質(zhì)可得的取值范圍．【詳解】由題得，則，對(duì)隨意的，都有成立，而關(guān)于的單調(diào)性為時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞減，且時(shí)，時(shí)．而時(shí)，最大，所以，且，故.【點(diǎn)睛】此題是關(guān)于數(shù)列單調(diào)性的問題，引用函數(shù)的單調(diào)性加以解決，但需考慮定義域是正整數(shù)集，難度屬于中等．三、解答題：本大題共6個(gè)小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列}的前項(xiàng)和（）．（1）求的通項(xiàng)公式：（2）當(dāng)為何值時(shí)，達(dá)到最大？最大值是多少？【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為【解析】【分析】（1）依據(jù)求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸，求得當(dāng)為何值時(shí)，達(dá)到最大以及最大值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)上式也符合.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值，屬于基礎(chǔ)題.18.某商場(chǎng)實(shí)行購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中放有編號(hào)分別為的五個(gè)小球.小球除編號(hào)不同外，其余均相同.活動(dòng)規(guī)則如下：從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)抽取一球，若抽到的小球編號(hào)為，則獲得獎(jiǎng)金元；若抽到的小球編號(hào)為偶數(shù)，則獲得獎(jiǎng)金元；若抽到其余編號(hào)的小球，則不中獎(jiǎng).現(xiàn)某顧客依次有放回的抽獎(jiǎng)兩次.（1）求該顧客兩次抽獎(jiǎng)后都沒有中獎(jiǎng)的概率；（2）求該顧客兩次抽獎(jiǎng)后獲得獎(jiǎng)金之和為元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用列舉法得到全部的基本領(lǐng)件數(shù)，然后依據(jù)古典概型概率公式可得事務(wù)發(fā)生的概率；（2）依據(jù)互斥事務(wù)的概率加法公式求解可得結(jié)果．【詳解】（1）由題意得，該顧客有放回抽獎(jiǎng)兩次的全部可能結(jié)果為：共有25種狀況．設(shè)“該顧客兩次抽獎(jiǎng)后都沒有中獎(jiǎng)”為事務(wù)A，則事務(wù)A包含的結(jié)果為，共4種，所以．即該顧客兩次抽獎(jiǎng)后都沒有中獎(jiǎng)的概率為．（2）兩次抽獎(jiǎng)獎(jiǎng)金之和為100元包括三種狀況：①第一次獎(jiǎng)金為100元，其次次沒有獲獎(jiǎng)，其包含的狀況為，概率為；②第一次沒中獎(jiǎng)，其次次獎(jiǎng)金為100元，其包含的狀況為，概率為；③兩次各獲獎(jiǎng)金50元，包含的狀況有，概率為．由互斥事務(wù)有一個(gè)發(fā)生的概率公式可得所求概率為，即該顧客兩次抽獎(jiǎng)后獲得獎(jiǎng)金之和為元的概率為．【點(diǎn)睛】（1）求古典概型概率的關(guān)鍵是得到基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)，常用的方法是列舉法，解題時(shí)要分清抽取是有放回的還是無放回的，列舉時(shí)要做到不重不漏．（2）對(duì)于一些困難的事務(wù)，在求概率時(shí)可將其分解為若干個(gè)互斥事務(wù)的和來求解，然后利用概率的加法公式可得結(jié)果．19.某城市在進(jìn)行創(chuàng)建文明城市的活動(dòng)中，為了解居民對(duì)“創(chuàng)文”的滿足程度，組織居民給活動(dòng)打分（分?jǐn)?shù)為整數(shù)．滿分為100分）．從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為120的樣本．發(fā)覺全部數(shù)據(jù)均在內(nèi)．現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成以下6組并畫出了樣本的頻率分布直方圖，但不當(dāng)心污損了部分圖形，如圖所示．視察圖形，回答下列問題：（1）算出第三組的頻數(shù)．并補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）請(qǐng)依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）【答案】（1）18人，見解析；（2）眾數(shù)為75分，中位數(shù)為75分，平均數(shù)為73.5分【解析】【分析】（1）先求出分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，再求第三組的頻數(shù),補(bǔ)全頻率分布直方圖；(2)利用頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的求解方法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楦鹘M頻率之和等于1，所以分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為：，所以第三組的額數(shù)為（人）．完整的頻率分布直方圖如圖．（2）因?yàn)楸姅?shù)的估計(jì)值是頻率分布直方圖中最高矩形的中點(diǎn)，從圖中可看出眾數(shù)的估計(jì)值為75分．由題得左邊第一個(gè)矩形面積為0.05，其次個(gè)矩形的面積為0.15,第三個(gè)矩形的面積為0.15,第四個(gè)矩形的面積為0.3，所以中位數(shù)在第四個(gè)矩形里面，設(shè)中位數(shù)為x,則0.05+0.15+0.15+(x-70)×0.03=0.5，所以x=75.所以中位數(shù)為75.又依據(jù)頻率分布直方圖，樣本的平均數(shù)的估計(jì)值為：（分）．所以樣本的眾數(shù)為75分，中位數(shù)為75分，平均數(shù)為73.5分．【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖中頻率頻數(shù)的計(jì)算，考查眾數(shù)中位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.20.己知數(shù)列滿足，（1）數(shù)列是否為等差數(shù)列？說明理由．（2）求．【答案】（1）數(shù)列等差數(shù)列，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)遞推關(guān)系證得數(shù)列是等差數(shù)列；（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此求得.【詳解】（1）依題意，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）得，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.21.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若，面積為2，求．【答案】（1）；（2）2．【解析】試題分析：（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，利用降冪公式化簡(jiǎn)，結(jié)合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理即可求出.試題解析：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．22.在中，分別為角的對(duì)邊，且.（1）求角